人教版初中数学中考专项练习-全等三角形精选200道中考题含详细解析

这是一份人教版初中数学中考专项练习-全等三角形精选200道中考题含详细解析，共151页。

一、选择题
1．（铜仁）如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（　　）

　
A．
5
B．
4
C．
3
D．
2
　
2．（凉山州）如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（　　）

　
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
　
3．（西宁）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）

　
A．
（S．S．S．）
B．
（S．A．S．）
C．
（A．S．A．）
D．
（A．A．S．）
　
4．（江西）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）

　
A．
∠BCA=∠DCA
B．
∠BAC=∠DAC
C．
∠B=∠D=90°
D．
CB=CD
5．（沈阳）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（　　）

　
A．
1对
B．
2对
C．
3对
D．
4对

6 ．（成都）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（　　）

　
A．
∠B=∠E，BC=EF
B．
BC=EF，AC=DF

C．
∠A=∠D，∠B=∠E
D．
∠A=∠D，BC=EF

7．（十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　）

　
A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个

8．（临沂）如图：在平行四边形ABCD中，AB≠BC，AE、CF分别为∠BAD、∠BCD的平分线，连接BD，分别交AE、CF于点G、H，则图中的全等三角形共有（　　）

　
A．
3对
B．
4对
C．
5对
D．
6对

9 ．（乌鲁木齐）如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：
（1）AB=DE； （2）BC=EF； （3）AC=DF； （4）∠A=∠D；
（5）∠B=∠E； （6）∠C=∠F．
以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（　　）

　
A．
（1）（5）（2）
B．
（1）（2）（3）
C．
（4）（6）（1）
D．
（2）（3）（4）

10．（四川）下列说法中，正确的是（　　）
　
A．
两腰对应相等的两个等腰三角形全等
　
B．
两锐角对应相等的两个直角三角形全等
　
C．
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
　
D．
面积相等的两个三角形全等
　
11．（温州）如图，AC、BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（　　）

　
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

12．（贵港）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，若CD⊥AB，DE⊥BC垂足分别是D、E．则图中全等的三角形共有（　　）

　
A．
2对
B．
3对
C．
4对
D．
5对

13．（遵义）如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC=（　　）

　
A．
60°
B．
50°
C．
45°
D．
30°
14．（厦门）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（　　）

　
A．
∠EDB
B．
∠BED
C．
∠AFB
D．
2∠ABF

15．（双鸭山）如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是（　　）
①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．

　
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

16．（鄂州）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（　　）

　
A．

B．
4
C．

D．
5
　
17．（乌兰察布）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（　　）

　
A．
45°
B．
60°
C．
55°
D．
75°
18．（滨州）如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（　　）

　
A．
BE=CD
B．
BE＞CD
　
C．
BE＜CD
D．
大小关系不确定
　
19．（临沂）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　）

　
A．
边角边
B．
角边角
C．
边边边
D．
角角边

20．（随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　）

　
A．

B．

C．

D．
不能确定

21．（龙岩）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（　　）

　
A．
4
B．
3
C．
2
D．

　
22．（聊城）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE=AF．如果∠AED=62°，那么∠DBF=（　　）

　
A．
62°
B．
38°
C．
28°
D．
26°
　
23．（丽水）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（　　）

　
A．

B．

C．

D．
7
　
24．（綦江县）如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（　　）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．

　
A．
只有①②
B．
只有①②③
C．
只有③④
D．
①②③④
　
25．（重庆）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．
其中正确结论的序号是（　　）

　
A．
①③④
B．
①②⑤
C．
③④⑤
D．
①③⑤
　
26．（黄冈）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　　）

　
A．
BE=AF
B．
∠DAF=∠BEC
　
C．
∠AFB+∠BEC=90°
D．
AG⊥BE

27．（安顺）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：
①AC=BD；②AC⊥BD；③等腰梯形ABCD是中心对称图形；④△AOB≌△DOC．
则正确的结论是（　　）

　
A．
①④
B．
②③
C．
①②③
D．
①②③④
　
28．（包头）如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD，AC于点F，G．则旋转后的图中，全等三角形共有（　　）

　
A．
2对
B．
3对
C．
4对
D．
5对
　
29．（眉山）如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）

　
A．
△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合
　
B．
△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合
　
C．
沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合
　
D．
沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合
　
30．（临安市）如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（　　）

　
A．
1
B．
2
C．
3
D．
不能确定

　
二、填空题
1．（中山）如图，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=_______°．

2 ．（遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_______个．
　
3．（中山）如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有_______对．

　
4．（十堰）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC-BD，则∠B：∠C的值是_______．

　
5．（天津）如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=25°，则∠BED等于_______°．

　
6．（荆州）如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=_______°．


7．（河南）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为_______．



8．（安徽）如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是_______．


9．（安顺）已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．E、F分别是边AD、CD上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，则EF的长为_______cm．

　
10．（宿迁）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是_______．

　



三、解答题
1．（扬州）（1）计算：；
（2）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．


2．（南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．

　
3．（保山）如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O．
（1）图中有哪些三角形是全等的？（2）选出其中一对全等三角形进行证明．

　
4．（宁德）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______，并给予证明．

　
5．（柳州）如图，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=_______°，BC=_______．
（2）请你在图中找出一点D，再连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．

　
6．（吉林）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CE⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF于点D，且AD平分∠FAC，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明．

　
7．（达州）如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明．

　
8．（长春）如图，△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使CD=BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边做▱CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG，DE．
（1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）求证：△BCG≌△DCE．

　　
9．（丽水）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF．判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．

　
10．（吉林）如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．


11．（宜昌）如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD．设点E是BC的中点，点F是BD的中点．
（1）请你在图中作出点E和点F；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）连接AE，AF．若∠ABC=∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF．

　
12．（衢州）如图，AB∥CD．
（1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连接AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）．

　
13．（盐城）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？证明你的结论．

　
14．（河池）如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，FC⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）选择（1）中的任意一对全等三角形进行证明．

　
15．（大连）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点．请写出图中两组全等的三角形，并选出其中一组加以证明．（要求：写出证明过程中的重要依据）

　
16．（常州）已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：
（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．


17．（河南）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：
“如图①，已知，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC中内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连结BQ、CP则BQ=CP．”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．之后，他将点P移到等腰三角形ABC外，原题中其它条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．


18．（宁波）如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．


19．（金华）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE．
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．你添加的条件是_______．
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形_______．（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）

　
20．（顺义区）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD=AE．

　
21．（绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）
（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）

　
22．（南充）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．

　
23．（内江）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．

　
24．（漳州）如图，AD∥BC，∠A=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AD于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，求证：AB=FC．

　
25．（梧州）如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC．求证：BD=BC．

　　
26．（乐山）如图，AC∥DE，BC∥EF，AC=DE．求证：AF=BD．

27 ．（深圳）如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AD=1，BD=2，求CD的长．

　
28．（内江）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．

　
29．（淮安）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE，求证：AE=BD．

　
30．（德州）如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB=DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．

31．（楚雄州）如图，点A，E，B，D在同一直线上，AE=DB，AC=DF，AC∥DF．请探索BC与EF有怎样的位置关系？并说明理由．


32．（黄石）如图，C、F在BE上，∠A=∠D，AC∥DF，BF=EC．
求证：AB=DE．


33．（赤峰）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC，CF．求证：CA是∠DCF的平分线．

　
34．（北京）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．
求证：AB=FC．

　
35．（重庆）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：
（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE．

　
36．（云南）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，若点M为线段AD上任意一点（M与A、D不重合）．问：当点M在什么位置时，MB=MC，请说明理由．


37．（泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图2中与△ABE全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE．


38．（安徽）已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．

　
39．（张家界）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点（不与A重合），在E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．

　　
40．（南昌）如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论．

　　
41．（黄冈）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE，AF．
求证：BE=AF．

　
42．（北京）已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．

　
43．（岳阳）如图△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同-直线上，有如下三个关系式：①AD=BC；②DE=CF；③BE∥AF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．

　
44．（陕西）如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．
（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；
（2）求证：∠MAE=∠NCF．

　
45．（日照）如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF．求证：
（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF．

　
46．（内江）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：
（1）AB=AC；（2）AD=AE；（3）∠1=∠2；（4）BD=CE．
请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，
写出一个真命题．（要求写出已知，求证及证明过程）

　
47．（海南）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．
（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；
（2）求证：AE=FC+EF．

　　
48．（防城港）如图，在△ABC和△ABD中，现给出如下三个论断：①AD=BC；②∠C=∠D；③∠1=∠2．请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题．
（1）写出所有的真命题（写成“_______⇒_______”形式，用序号表示）：
（2）请选择一个真命题加以证明．你选择的真命题是_______⇒_______．

　
49．（长春）如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F．求证：PM=QM．

　
50．（安徽）如图，已知长方形ABCD，过点C引∠A的平分线AM的垂线，垂足为M，AM交BC于E，连接MB，MD．
（1）求证：BE=DC；
（2）求证：∠MBE=∠MDC．

　
51．（武汉）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知∠ADC=∠BCD，AD=BC，求证：AO=BO．


52．（广安）某学校花台上有一块形如图所示的三角形ABC地砖，现已破损．管理员要对此地砖测量后再去市场加工一块形状和大小与此完全相同的地砖来换，今只有尺子和量角器，请你帮他设计一个测量方案，使其加工的地砖能符合要求，并说明理由．

53．（武汉）你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′、BB′有何数量关系，为什么？

　　
54．（韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．
（1）求证：EF⊥AD；
（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．

　
55．（娄底）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．

　
56．（宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．

　
57．（中原区）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．当∠A为多少时，点D恰为AB的中点？写出一个你认为适当的角度，并利用此角的大小证明D为AB的中点．

　
58．（河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（2）求证：△AB′O≌△CDO．

　
59．（南充）已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．

　
60．（莱芜）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

　　　
61．（常德）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

　　
62．（江西）如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，
（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；
（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．


63．（上海模拟）如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．
（1）求证：EF=AB；
（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．

　
64．（自贡）已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

　
65．（大田县）如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．

　
66．（内江）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．

　
67．（宿迁）已知如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．
求证：∠ADF=∠CBE．

　　　
68．（潍坊）如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=2，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．
（1）求证：EF=DF；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求DE的长．

　
69．（昆明）己知：如图，点P为平行四边形ABCD中CD边的延长线上一点，连接BP，交AD，于点E，探究：当PD与CD有什么数量关系时，△ABE≌△DPE．画出图形并证明△ABE≌△DPE．

　　
70．（梅州）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．
（1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：
①分别以A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，弧在AC两侧的交点分别为P，Q．
②连接PQ，PQ分别与AB，AC，CD交于点E，O，F；
（2）求证：AE=CF．

　
71．（德阳）如图，已知平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，延长DE，AB相交于点F．
求证：CD=BF．

　　
72．（厦门）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且∠DAF=∠BCE．
（1）求证：△DAF≌△BCE；
（2）若∠ABC=60°，∠ECB=20°，∠ABC的平分线BN交AF与M，交AD于N，求∠AMN的度数．

　　
73．（莆田）已知：如图在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．
（1）观察图形并找出一对全等三角形：△_______≌△_______，请加以证明；
（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？

　　
74．（衢州）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．

　
75．（黔东南州）如图，在平行四边形ABCD中，过A、C分别作对角线的垂线，垂足分别为E、F．
（1）图中有哪几对三角形全等请指出来；
（2）求证：AE=CF．

　　
76．（长春）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．


77．（泸州）如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．线段DF与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF=_______．（写出一条线段即可）

　
78．（嘉兴）如图，矩形ABCD中，M是CD的中点．求证：
（1）△ADM≌△BCM；（2）∠MAB=∠MBA．

　
79．（潼南县）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长．


80．（陕西）如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC．
求证：FN=EC．

　
81．（青海）如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，O A1交AB于点E，OC1交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△BOF；
（2）如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？

82．（随州）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．

　
83．（长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．


84．（崇左）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：
（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由．
（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．

　
85．（资阳）如图，已知四边形ABCD、AEFG均为正方形，∠BAG=α（0°＜α＜180°）．
（1）求证：BE=DG，且BE⊥DG；
（2）设正方形ABCD、AEFG的边长分别是3和2，线段BD、DE、EG、GB所围成封闭图形的面积为S．当α变化时，指出S的最大值及相应的α值．（直接写出结果，不必说明理由）

　
86．（湘潭）如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG，DE．
（1）观察图形，猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若延长BG交DE于点H，求证：BH⊥DE．

　　
87．（南充）如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．
求证：AF=BF+EF．

　　
88．（佛山）如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．若CE=10cm，求DF的长．

　
89．（肇庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．
（1）求证：AE=BF；
（2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长．


90．（丽水）如图，正方形ABCD中，E与F分别是AD，BC上一点．在①AE=CF，②BE∥DF，③∠1=∠2中，请选择其中一个条件，证明BE=DF．
（1）你选择的条件是_______（只需填写序号）．
（2）证明．

　
91．（肇庆）如图，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F．求证：BF=CE．

　
92．（茂名）如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF=AE．
（1）若把△ADE绕点D旋转一定的角度时，能否与△CDF重合？请说明理由．
（2）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交ED于点G．求证：AH⊥ED，并求AG的长．

　
93．（淮安）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于E．
（1）求证：∠DEF=∠CBE；
（2）请找出图中与EB相等的线段（不另添加辅助线和字母），并说明理由．

　
94（长春）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=60°，AD=CD，E、F分别在AD、CD上，DE=CF，AF、BE交于点P．请你量一量∠BPF的度数，并证明你的结论．

　　　
95．（梅州）用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转．
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．

　
96．（临沂）如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

　
97．（锦州）如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD．
（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．

　
98．（岳阳）如图，已知正方形ABCD，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与A重合，两边分别与AB、AD重合．将直角绕点A按逆时针方向旋转，当直角的一边与BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点时，作∠EAF的平分线交CD于G，连接EG．
求证：（1）BE=DF；（2）BE+DG=EG．

　
99．（宜昌）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E为AD中点．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）若BE平分∠ABC，且AD=10，求AB的长．

　
100．（深圳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点，∠BAE=∠MCE，∠MBE=45°．
（1）求证：BE=ME；
（2）若AB=7，求MC的长．

　
101．（湘潭）如图，梯形ABCD，AB∥DC，AD=DC=CB，AD、BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F．
（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）；
（2）从你写出的4组相等的线段中选一组加以证明．

　
102．（北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F分别在AB、DC上，且BE=2EA，CF=2FD．求证：∠BEC=∠CFB．

　
103．（重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．
（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；
（2）求证：∠MPB=90°-∠FCM．


104．（盐城）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．
（1）求∠AED的度数；
（2）求证：AB=BC；
（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30°，求的值．

　
105．（泰安）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．
（1）求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．

　
106．（北京）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图；
观察图形，AB与AC的数量关系为_______；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_______；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______；
（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

　
107．（乐山）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，G是边AB上的一点，过点G作GE∥DC交BC边于点E，F是EC的中点，连接GF并延长交DC的延长线于点H．求证：BG=CH．

　
108．（桂林）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．
（1）图中共有_______对全等三角形；
（2）写出你认为全等的一对三角形，并证明．

　
109．（湛江）如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明．

　
110．（遵义）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，BF⊥AE于点F，请你添加一个条件，使△ABF≌△CDE．
（1）你添加的一个条件是_______；
（2）请写出证明过程．

　
111．（郴州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E是BC边的中点，EM⊥AB，EN⊥CD，垂足分别为M、N．
求证：EM=EN．

　
112．（钦州）已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别在AD、BC上，且DE=CF．
求证：AF=BE．

　
113．（沈阳）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（E点不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G．
（1）求证：四边形EFOG的周长等于2 OB；
（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2 OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明．

　
114．（伊春）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．

115．（镇江）如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．


116．（崇左）如图所示，正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE=BF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么？

　
117．（牡丹江）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB=90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF=2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．

　
118．（鸡西）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF+S△CEF=S△ABC；
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

　
119．（张家界）聪聪用两块含45°角的直角三角尺△ABC、△MNK进行一次探究活动：他将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，让MK经过C点（如图甲），若BC=MK=4．
（1）此时两三角尺的重叠部分（△ACM）面积为_______；
（2）再将图甲中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°得到图乙，此时两三角尺的重叠部分（四边形MDCG）面积为_______；
（3）据此猜想：在MK与BC相交的前提下，将△MNK绕点M旋转到任一位置（如图丙）时两三角尺的重叠部分面积为_______，请说出理由．

　
120．（荆门）将两块全等的含30°角的三角尺如图（1）摆放在一起，它们的较短直角边长为3．
（1）将△ECD沿直线l向左平移到图（2）的位置，使E点落在AB上，则CC′=_______；
（2）将△ECD绕点C逆时针旋转到图（3）的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数=_______；
（3）将△ECD沿直线AC翻折到图（4）的位置，ED′与AB相交于点F，求证：AF=FD′．


　
121．（义乌市）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合．（在图3至图6中统一用F表示）

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH．


　
122．（南平）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度数；
（2）当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；
（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．


123．（呼伦贝尔）图1是边长分别为和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）．
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD，BE，CE的延长线交AB于F（图2）．
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）．
探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．

　
124．（大兴安岭）已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、
OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E．
（1）当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：OD+OE=OC；
（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．


　
125．（聊城）如图，在等腰Rt△ABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB，AC交于点E，F，连接EF．当∠EPF绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），△PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由．

　
126．（鄂州）正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF．
（1）求证：DF=BF，
（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想．


　
127．（锦州）如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE．
（1）线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；
（2）将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，这时（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；
（3）若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形（草图即可），（1）中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由；
（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．


　
128．（福州）（1）如图1，点B、E、C、F在一条直线上，BC=EF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：△ABC≌△DEF．
（2）如图2，在矩形OABC中，点B的坐标为（-2，3）．画出矩形OABC绕点O顺时针旋转90°后的矩形OA1B1C1，并直接写出的坐标A1、B1、C1的坐标．



129．（西宁）（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．


130．（山西）如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．
（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；
（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）


131．（泰安）（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；
（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为_______；∠APB的大小为_______；
（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为_______；∠APB的大小为_______．

132．（青海）请阅读，完成证明和填空．
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：∠NOC=60度．
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=_______，且∠DON=_______度．
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=_______，且∠EON=_______度．
（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．
请大胆猜测，用一句话概括你的发现：_______．

133．（日照）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．


134．（本溪）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=_______度；
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．


135．（杭州）如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．
（1）证明：∠CAE=∠CBF；
（2）证明：AE=BF；
（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG，如果存在点P，能使得S△ABC=S△ABG，求∠ACB的取值范围．


136．（平凉）如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．
（1）求证：MD=MN；
（2）若将上述条件中的“M为AB边的中点”改为“M为AB边上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD=MN”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．


137．（台州）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，
则BE_______CF；EF_______|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_______，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

138．（无锡）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE．
（下面请你完成余下的证明过程）
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．
（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=_______时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）


139．（烟台）（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．
（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．


140．（台州）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK_______MK（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK_______MK（只填“＞”或“＜”）；
（2）猜想：如图4，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论；
（3）如果MK2+CK2=AM2，请直接写出∠CDF的度数和的值．
141．（牡丹江）已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．


142．（包头）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？


143．（德城区）一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．

（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为_______，周长为_______；
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为_______，周长为_______；
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．

144．（鄂尔多斯）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．


145．（重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．
（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．


146．（本溪）如图a，∠EBF=90°，请按下列要求准确画图：
1：在射线BE、BF上分别取点A、C，使BC＜AB＜2BC，连接AC得直角△ABC；
2：在AB边上取一点M，使AM=BC，在射线CB边上取一点N，使CN=BM，直线AN、CM相交于点P．
（1）请用量角器度量∠APM的度数为_______；（精确到1°）
（2）请用说理的方法求出∠APM的度数；
（3）若将①中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其他条件不变，你能自己在图b中画出图形，求出∠APM的度数吗？

　
147．（河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．


148．（绍兴）学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：
如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．

（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①_______；②_______；③_______．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
149．（大连）如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．
1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；
2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．
附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．


150．（临沂）如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）保持图1中△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．

151．（天门）如图所示，在▱ABCD中，AB＞BC，∠A与∠D的平分线交于点E，∠B与∠C的平分线交于F点，连接EF．
（1）延长DE交AB于M点，则图中与线段EM一定相等的线段有哪几条？说明理由；（不再另外添加字母和辅助线）
（2）EF、BC与AB之间有怎样的数量关系？为什么？
（3）如果将条件“AB＞BC”改为“AB＜BC”，其它条件不变，EF、BC与AB的关系又如何？请画出图形并证明你的结论．


152．（仙桃）正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．


153．（海南）如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ADE≌△CDE；
（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH=GH；
（3）设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

154．（莆田）在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MN⊥AB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作OP⊥BE分别交AB，CD于P，Q．
探究：（1）如图①，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；
探究：（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论；
再探究：（3）如图③，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论．


155．（天水）在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．
（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；
（2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明．


156．（广州）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P．
（1）若AG=AE，证明：AF=AH；
（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；
（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．


157．（眉山）如图：∠MON=90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1．
（1）连续D1D，求证：∠D1DA=90°；
（2）连接CC1，猜一猜，∠C1CN的度数是多少？并证明你的结论；
（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断．


158．（河北）如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．
（1）如图1所示，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是_______；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是_______；
③请证明你的上述两个猜想；
（2）如图2所示，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系．

　
159．（河南）（1）操作发现：
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决：
保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；
（3）类比探求：
保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．


160．（随州）如图1，在正方形ABCD的边AB上取一点P（不与端点A，B重合），以AP为一边作正方形APEF，连接BE，DE，观察图形，有如下三个结论成立：①BE=DE；②BP=DF；③BP⊥DF．如图2，将正方形APEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）旋转后，上述三个结论仍然成立的有哪些？写出仍然成立的结论，并证明；
（2）若正方形APEF的边长为，旋转时，正方形APEF的边与AD交于点G，若AG=4，请直接写出旋转角α的度数．



解析：选择：
1解：∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB，∵BE=4，AE=1，∴DE=AB=BE+AE=4+1=5，
故选A．
2解：∵，∴△AEB≌△AFC；（AAS）∴∠FAM=∠EAN，
∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；故选C．

3 解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．故选A．

4 解：A、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故A选项符合题意；
B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；
D、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选A．
　
5 解：∵AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，DF=DF；∴△ADF≌△CDF；
同理可得：△ABF≌△CBF；
∵AD=CD，AB=BC，BD=BD∴△ABD≌△CBD．
因此本题共有3对全等三角形，故选C．
6 解：A、添加∠B=∠E，BC=EF可用SAS判定两个三角形全等，故A选项正确；
B、添加BC=EF，AC=DF可用SSS判定两个三角形全等，故B选项正确；
C、添加∠A=∠D，∠B=∠E可用ASA判定两个三角形全等，故C选项正确；
D、添加∠A=∠D，BC=EF后是SSA，无法证明三角形全等，故D选项错误．
故选D．


7 解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，
加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．
其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④
故选B．
　
8 解：先从平行四边形的性质入手，得到AD=CB，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠ABC=∠CDA，
再由角平分线的性质得到∠BAE=∠DAE=∠DCF=∠BCF，
从而先得到：△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，
进而得到△ABG≌△CDH，△ADG≌△CBH，△BGE≌△DHF．
所以全等三角形共5对，分别是：△ABD≌△CDB（SSS），△ABE≌△CDF（ASA），
△ABG≌△CDH（ASA），△ADG≌△CBH（ASA），△BGE≌△DHF（AAS）．
故选C．


9 解：A、正确，符合判定方法SAS；
B、正确，符合判定方法SSS；
C、正确，符合判定方法AAS；
D、不正确，不符合全等三角形的判定方法．故选D．
10 解：A、两腰对应相等的两个等腰三角形，只有两边对应相等，所以不一定全等；
B、两锐角对应相等的两个直角三角形，缺少对应的一对边相等，所以不一定全等；
C、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，符合ASA；
D、面积相等的两个三角形不一定全等．故选C．

11 解：①在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SAS）；
②∵在△ABC和△DBC中，，∴△ABC≌△DBC（SAS）；
③∵在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（SAS）；
④∵DE∥AC，∴∠ACB=∠DEC，
∵在△ABC和△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（AAS）．故选D．
　
12 解：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，CD=CD，
∴△CAD≌△CBD．（HL）
同理可证明△CDE≌△BDE．故选A．
　
13 解：∵在△AOD中，∠O=50°，∠D=35°，∴∠OAD=180°-50°-35°=95°，
∵在△AOD与△BOC中，OA=OB，OC=OD，∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC，
故∠OBC=∠OAD=95°，
在四边形OBEA中，∠AEB=360°-∠OBC-∠OAD-∠O，
=360°-95°-95°-50°，=120°，
又∵∠AEB+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-120°=60°．
故选A．
14 解：在△ABC和△DEB中，，∴△ABC≌△DEB （SSS），∴∠ACB=∠DBE．
∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，
∠ACB=∠AFB，故选C．
15 解：
（1）△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD=120°，
在△BCD和△ACE中
∵，∴△BCD≌△ACE∴AE=BD，故结论①正确；
（2）∵△BCD≌△ECA，
∴∠GAC=∠FBC，
又∵∠ACG=∠BCF=60°，AC=BC
∴△ACG≌△BCF，
∴AG=BF，故结论②正确；
（3）∠DCE=∠ABC=60°，∴DC∥AB，∴，
∵∠ACB=∠DEC=60°，∴DE∥AC，∴=，
∴，∴FG∥BE，故结论③正确；
（4）
过C作CN⊥AE于N，CZ⊥BD于Z，
则∠CNE=∠CZD=90°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CDZ=∠CEN，
在△CDZ和△CEN中∵，∴△CDZ≌△CEN，∴CZ=CN，
∵CN⊥AE，CZ⊥BD，∴∠BOC=∠EOC，故结论④正确．故选D．
16 解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴AD=BD，∠ADC=∠BDH，
∵∠AHE+∠DAC=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠AHE=∠BHD=∠C，
∴△ADC≌△BDH，
∴BH=AC=4．故选B．

17解：等边△ABC中，有
∵，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60°．故选B．

18 解：∵△ABD与△ACE均为正三角形，∴BA=DA，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠DAC，∴△BAE≌△DAC，∴BE=CD，故选A．

19 解：△OAB与△OA′B′中，
∵AO=A′O，∠AOB=∠A′OB′，BO=B′O，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．
故选A．
　
20 解：过P作PM∥BC，交AC于M；
∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM是等边三角形；
又∵PE⊥AM，∴AE=EM=AM；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；
又∵PA=PM=CQ，
在△PMD和△QCD中∴△PMD≌△QCD（AAS）；
∴CD=DM=CM；∴DE=DM+ME=（AM+MC）=AC=，故选B．

　
21解：∵等边三角形ABC，AD⊥BC，∴BD=DC，∠CDF=∠BDF=90°
∴△BDF≌△CDF
同理可证：△BDE≌△CDE，△ABD≌△ACD，∴△BEF≌△CEF，△ABE≌△ACE
∴S阴影=S△ABC=×
∵AB=4，AD==2，∴S阴影==．
故选C．

22 解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．
又∵∠BAC=90°，∴BD=AD=CD．
又∵CE=AF，∴DF=DE．
∴Rt△BDF≌Rt△ADE（SAS）．∴∠DBF=∠DAE=90°-62°=28°．故选C．

23 解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°
又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE，
，∴△ABD≌△BCE，∴BE=AD=3
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC==，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=×=2；
故选A．


24 解：∵△ABE、△ADF是等边三角形，∴FD=AD，BE=AB
∵AD=BC，AB=D，C∴FD=BC，BE=DC
∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE，∴∠CDF=∠EBC，∴△CDF≌△EBC，故①正确；
∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+（180°-∠CDA）=300°-∠CDA，
∠FDC=360°-∠FDA-∠ADC=300°-∠CDA，
∴∠CDF=∠EAF，故②正确；
同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF，
∵BC=AD=AF，BE=AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF=∠BEC，
∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，∴∠FEC=60°，
∵CF=CE，∴△ECF是等边三角形，故③正确；
在等边三角形ABE中，
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段
∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG=30°，∠ABC=150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．
故选B．
25 解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，∴△APD≌△AEB（故①正确）；
③∵△APD≌△AEB，∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED（故③正确）；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE===，∴BF=EF=（故②不正确）；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，∴EP=，
又∵PB=，∴BE=，∵△APD≌△AEB，∴PD=BE=，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=S正方形ABCD-×DP×BE=×（4+）-××=+．（故④不正确）．
⑤∵EF=BF=，AE=1，∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+，
∴S正方形ABCD=AB2=4+（故⑤正确）；故选D．

26 解：∵ABCD是正方形，∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC
∵BF=CE，∴△ABF≌△BCE，∴AF=BE（第一个正确）
∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC（第三个错误）
∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∴∠DAF=∠BEC（第二个正确）
∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠CBE+∠AFB=90°，
∴AG⊥BE（第四个正确）故选C．
　
27 解：①正确，等腰梯形的两条对角线相等．②不正确，无法得到．
③不正确，等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形．④正确，∵AB=DC，AD=DA，AC=DB，∴△ABD≌△DCA，∴∠ABD=∠DCA，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC．故选A．
28 解：旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG≌△DCE，△A′B′C≌△ADC，△AGF≌△A′EF，△ACE≌△A′CG，共4对．故选C．

29 解：A、根据题意可知AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD=135°，△EAC≌△BAD，旋转角∠EAB=90°，正确；
B、因为平行四边形是中心对称图形，要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，错误；
C、根据题意可知∠EAC=135°，∠EAD=360°-∠EAC-∠CAD=135°，AE=AE，AC=AD，△EAC≌△EAD，正确；
D、根据题意可知∠BAD=135°，∠EAD=360°-∠BAD-∠BAE=135°，AE=AB，AD=AD，△EAD≌△BAD，正确．故选B．

30 解：作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC．
∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，
∵AD=2，BC=3，∠BCD=45°，∴DG=CG，
∴DE=DC，DE⊥DC，∠CDG=∠EDF，∴△CDG≌△EDF，
∴DF=DG=CG=3-2=1，EF=GC=1，∴△ADE的面积是：×2×1=1．故选A．

填空：
1解：∵△OAD≌△OBC，∴∠OAD=∠OBC；
在△OBC中，∠O=65°，∠C=20°，∴∠OBC=180°-（65°+20°）=180°-85°=95°；
∴∠OAD=∠OBC=95°．

2 解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，
所以一共能作出7个．
故答案为：7．


3 解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，且AO平分∠BAC，
∴△ODA≌△OEA，∴∠B=∠C，AD=AE，∴△ADC≌△AEB，∴AB=AC，∴△OAC≌△OAB，∴△COE≌△OBD．
故填4．

4 解：在AC上截取AE=AB=X，于是AB=AE
又∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠EAD
又∵AD=AD
∴△ABD≌△AED
∴∠1=∠B，DE=BD=CE=X
∴在等腰三角形DEC中，∠B=∠1=2∠C
∴∠B：∠C=2：1或2．


5 解：∵OA=OB，OC=OD，∠O=60°，
∴△OAD≌△OBC，
∴∠D=∠C=25°，
∵∠DBE=∠O+∠C=85°，
∴∠BED=180°-25°-85°=70°．

6 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC，
∵AD=CE，∴△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE
∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°．
7 解：解法一：连接EF．
∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，
∴AF=AE；∴△AEF是等腰三角形；
又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，
∵∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；
在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，
∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50°，
∴∠CAD=25°；
在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，
∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；故答案是：65°．


8 解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABM+∠CBN=90°，
而AM⊥MN，CN⊥BN，
∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°，∴△AMB≌△BCN（AAS），
∴BM=CN，∴AB为．

9 解：连接EF，作OM⊥AB于点M，∵OD=OC，∵OE⊥OF∴∠EOD+∠FOD=90°
∵正方形ABCD∴∠COF+∠DOF=90°∴∠EOD=∠FOC
而∠ODE=∠OCF=45°∴△OFC≌△OED，
∴OE=OF，CF=DE=3cm，则AE=DF=4，
根据勾股定理得到EF==5cm．


10解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△AEB和△AFD中，
∵，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴S△AEB=S△AFD，
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16．

解答：
1 解：（1）原式=3-2-8=-7；
（2）证明：∵∠FAB+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠FAB=∠DAE，
∵∠AB=AD，∠ABF=∠ADE，
∴△AFB≌△ADE，
∴DE=BF．
　
2 证明：（1）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB．
（2）∵△ABC≌△BAD，∴AC=BD，
又∵OA=OB，∴AC-OA=BD-OB，即：OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∵∠AOB=∠COD，∠CAB=，∠ACD=，
∴∠CAB=∠ACD，∴AB∥CD．
3 解：（1）△AOB≌△COD、△AOD≌△COB、△ABD≌△CDB、△ADC≌△CBA；
（2）以△AOB≌△COD为例证明；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．
在△AOB和△COD中，OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，∴△AOB≌△COD．

4 解：①添加条件：AE=AF，证明：在△AED与△AFD中，
∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD（SAS），
②添加条件：∠EDA=∠FDA，
证明：在△AED与△AFD中，
∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA，
∴△AED≌△AFD（ASA）．

5 （1）解：依题意得∠ABC=135°，
BC为边长为2的正方形的对角线，
则BC=2；
（2）证明：∵FD3=FD4=ED2=ED3=BC=，
∴∠EFD3=∠EFD4=∠FED2=∠FED1=∠ABC=90°+45°=135°，
EF=AB=2，
∴△FED1≌△FED2≌△EFD3≌△EFD4≌△ABC．


6 解：△ADC≌△ADF、△ADC≌△CEB，
若选择△ADC≌△ADF，证明如下：
∵AD平分∠FAC，∴∠CAD=∠FAD，∵AD⊥CF，∴∠ADC=∠ADF=90°，
在△ADC和△ADF中，，∴△ADC≌△ADF（ASA）．
7 解：有，△ABN≌△AEM．
证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=DC，∠B=∠C=∠DAB=90°
∵四边形NCDM翻折得到四边形NAEM，
∴AE=CD，∠E=∠D=90°，∠EAN=∠C=90°．
∴AB=AE，∠B=∠E，
∠DAB=∠EAN，
即：∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM，
∴∠BAN=∠EAM．
在△ABN与△AEM中，

∴△ABN≌△AEM（ASA）．

8 （1）解：∠ACB=∠GCD．
理由如下：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵CG∥AB，
∴∠ABC=∠GCD，
∴∠ACB=∠GCD．

（2）证明：∵四边形CDFE是平行四边形，
∴EF∥CD．
∴∠ACB=∠GEC，∠EGC=∠GCD．
∵∠ACB=∠GCD，
∴∠GEC=∠EGC，
∴EC=GC，
∵∠GCD=∠ACB，
∴∠GCB=∠ECD．
在△BCG和△DCE中

∴△BCG≌△DCE．
9 解：是假命题．以下任一方法均可：
①添加条件：AC=DF．
证明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．
在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠FDE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SAS）；
②添加条件：∠CBA=∠E．
证明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．
在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE，AB=DE，∠CBA=∠E，∴△ABC≌△DEF（ASA）；
③添加条件：∠C=∠F．
证明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．
在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE，∠C=∠F，AB=DE，∴△ABC≌△DEF（AAS）．

10解：（1）△ADB≌△ADC、△ABD≌△ABE、△AFD≌△AFE、△BFD≌△BFE、△ABE≌△ACD（写出其中的三对即可）．
（2）以△ADB≌△ADC为例证明．
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵在Rt△ADB和Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）．

11 解：（1）能看到“分别以B，C为圆心，以大于BC，长为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN，交BC于E”的痕迹，能看到用同样的方法“作出另一点F（或以B为圆心，BE为半径画弧交BD于点F）”的痕迹（凡正确作出点E，F中的一个后，另一个只要在图上标注了大致位置．

（2）∵BC=BD，E，F分别是BC，BD的中点，∴BE=BF，
在△ABE和△ABF中，BE=BF，∠ABE=∠ABF，AB=AB，
∴△ABE≌△ABF．

12 解：（1）作图如下；

（2）取点F和画AF正确（如图）；添加的条件可以是：
添加AF⊥CE，可根据AAS判定△ACF≌△AEF；
添加∠CAF=∠EAF，可根据AAS判定△ACF≌△AEF等．（选一个即可）

13 解：△ABC与△DEF全等．
证明：∵AC∥DF，∴∠C=∠F．
在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．

14 解：（1）①△ABD≌△CDB②△ABE≌△CDF③△AED≌△CFB；
（2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=CB，
∵BD=DB，∴△ABD≌△CDB．
②证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°．
∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD．∴∠ABE=∠CDF．
∴△ABE≌△CDF．
③证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°．
∵ABCD是平行四边形，∴AD∥CB且AD=CB．∴∠ADE=∠CBF．∴△AED≌△CFB．

15 解：△ABE≌△ACD，∠FAE=∠EAD或△BFD≌△CFE（写出两个即可）
（1）选△ABE≌△ACD．
证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴．
又∵AB=AC，∴AD=AE．
在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）．
（2）选△BCD≌△CBE．
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴，．∴BD=CE．
在△BCD和△CBE中，，∴△BCD≌△CBE（SAS）．
（3）选△BFD≌△CFE．
方法一：
证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴，
又∵AB=AC，∴AD=AE
在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠ACD，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴，，∵AB=AC，∴BD=CE，
在△BFD和△CFE中，，∴△BFD≌△CFE（AAS）．
方法二：
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴，．∴BD=CE．
在△BCD和△CBE中，，∴△BCD≌△CBE（SAS）．∴∠BDC=∠CEB．
在△BFD和△CFE中，，∴△BFD≌△CFE（AAS）．

16证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）．
∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）．
又∵AE=CD（已知）∴△AEF≌△CDE（SSS）．
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF，△DEF是等边三角形，
∴∠DEF=60°，∴∠BCA=60°，
由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，
∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，
又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，
∴△ABC中，AB=BC．
∴△ABC是等边三角形．

17 证明：∵∠QAP=∠BAC
∴∠QAP+∠PAB=∠PAB+∠BAC
即∠QAB=∠PAC　　　　　　　　　　　　　
在△ABQ和△ACP中，，∴△ABQ≌△ACP（SAS），∴BQ=CP．

18解：△BCF≌△CBD．△BHF≌△CHD．△BDA≌△CFA．
证明：在△BCF与△CBD中，∵AB=AC．∴∠ABC=∠ACB
∵BD、CF是角平分线．∴∠BCF=∠ACB，∠CBD=∠ABC．∴∠BCF=∠CBD，
∴，∴△BCF≌△CBD（ASA）．

19 解：添加条件例举：BA=BC；∠AEB=∠CDB；∠BAC=∠BCA；
证明例举（以添加条件∠AEB=∠CDB为例）：
∵∠AEB=∠CDB，BE=BD，∠B=∠B，∴△BEA≌△BDC．
另一对全等三角形是：△ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA．

20证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠ADB=90°，
∵AE⊥EB，∴∠E=∠ADB=90°，
∵AB平分∠DAE，∴∠1=∠2；
在△ADB和△AEB中，，∴△ADB≌△AEB（AAS），∴AD=AE．


21证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B=∠D，∴∠B=∠D=90°，
∠CAD=∠CAB=∠DAB=30°，
∴AB=AC，AD=．∴AB+AD=．
（2）由（1）知，AE+AF=AC，
∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，∴CE=CF．
而∠ABC与∠D互补，
∠ABC与∠CBE也互补，∴∠D=∠CBE．
∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE．∴DF=BE．
∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=AC．
22解：AD是△ABC的中线．
理由如下：
∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE和△CDF中，

∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BD=CD．∴AD是△ABC的中线．

23 解：全等三角形为：△ACD≌△CBE．
证明如下：
由题意知∠CAD+∠ACD=90°，
∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE．
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）．
24证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠A=90°，CF⊥BE，
∴∠A=∠CFB=90°，
∵BE=BC，
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴AB=FC．

25 证明：∵AB是∠DAC的平分线，
∴∠DAB=∠CAB，
在△ABD和△ABC中

∴△ABD≌△ABC（SAS）．
∴BD=BC

26 证明：∵AC∥DE，∴∠A=∠D，
∵BC∥EF，∴∠CBA=∠EFD．
又∵AC=DE，∴△ABC≌△DFE，∴AB=DF，
∴AB-BF=DF-BF，
即AF=BD．

27 （1）证明：∵∠DOB=90°-∠AOD，∠AOC=90°-∠AOD，
∴∠BOD=∠AOC，
又∵OC=OD，OA=OB，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，
∴∠CAB=∠CAO+∠BAO=90°，
∴CD===．

28解：猜测AE=BD，AE⊥BD；
理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB，
又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=CD，CE=CB，
在△ACE与△DCB中，

∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB；
∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DHF=∠ACD=90°，
∴AE⊥BD．
故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系．
29证明：
∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC，
∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD．

30（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE．
又∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB=DC．
（2）解：△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，∴△OEF为等腰三角形．

31解：BC∥EF．理由如下：
∵AE=DB（已知）∴AE+EB=DB+BE（等式的性质）∴AB=DE
又∵AC∥DF（已知）∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）
在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴∠ABC=∠DEF（全等三角形的对应角相等）
∴BC∥EF（内错角相等，两直线平行）．

32证明：∵AC∥DF，
∴∠ACE=∠DFB，
∴∠ACB=∠DFE．
又BF=EC，
∴BF-CF=EC-CF，即BC=EF．
又∠A=∠D，
∴△ABC≌△DEF．
∴AB=DE．
33证明：∵BF是∠ABC的平分线，∴∠1=∠2，
又AB=BC，BF=BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴FA=FC，∴∠3=∠4，
又AF∥DC，∴∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴CA是∠DCF的平分线．


34证明：∵FE⊥AC于点E，∠ACB=90°，∴∠FEC=∠ACB=90°．
∴∠F+∠ECF=90°．
又∵CD⊥AB于点D，∴∠A+∠ECF=90°．∴∠A=∠F．
在△ABC和△FCE中，，
∴△ABC≌△FCE（AAS），
∴AB=FC．

35证明：（1）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF．
在△BFC和△DFC中，
∴△BFC≌△DFC（SAS）．
（2）连接BD．
∵△BFC≌△DFC，∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．
∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．
∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．
∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．
又∵BD是公共边，∴△BAD≌△BED（ASA）．∴AD=DE．

36解：当点M是AD的中点时，MB=MC．
理由如下：如图，连接MB、MC，
∵在梯形ABCD中，AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，从而∠A=∠D．
∵点M是AD的中点，
∴MA=MD．
又∵AB=DC，
∴△MAB≌△MDC．
∴MB=MC．


37（1）解：图2中△ACD≌△ABE．
证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．
即∠BAE=∠CAD．
∵在△ABE与△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）证明：由（1）△ABE≌△ACD，
则∠ACD=∠ABE=45°．
又∵∠ACB=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°．∴DC⊥BE．

38（1）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由题意知，
在Rt△OEB和Rt△OFC中
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；
（2）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

由题意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，
∵在Rt△OEB和Rt△OFC中∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠OBE=∠OCF，
又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（3）解：不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB=AC，否则AB≠AC．（如示例图）


39解：相等．
证明如下：
在△ABC和△ADC中，
AB=AD，AC=AC（公共边），BC=DC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAE=∠BAE，
在△ADE和△ABE中，
AB=AD，∠DAE=∠BAE，AE=AE，
∴△ADE≌△ABE（SAS），
∴BE=DE．

40解：AB∥CF．证明如下：
∵∠AED与∠CEF是对顶角，
∴∠AED=∠CEF，
在△ADE和△CFE中，
∵DE=FE，∠AED=∠CEF，AE=CE，
∴△ADE≌△CFE．
∴∠A=∠FCE．
∴AB∥CF．

41证明：∵△ACE和△BCF是等边三角形，
∴∠ACE=∠FCB=60°，CE=AC，CF=CB，
∴∠ACF=∠ECB=60°+∠ACB．
在△CEB与△CAF中，，∴△CEB≌△CAF（SAS），∴BE=AF．

42证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，
∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP．
∴∠AOB=∠COD．
在△AOB和△COD中，．
∴△AOB≌△COD．
∴AB=CD．
43解：（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①．
（2）对于“如果①，③，那么②”证明如下：
∵BE∥AF，∴∠AFD=∠BEC．
∵AD=BC，∠A=∠B，∴△ADF≌△BCE．∴DF=CE．∴DF-EF=CE-EF．
即DE=CF．
对于“如果②，③，那么①”证明如下：
∵BE∥AF，∴∠AFD=∠BEC．
∵DE=CF，∴DE+EF=CF+EF．
即DF=CE．
∵∠A=∠B，∴△ADF≌△BCE．∴AD=BC．

44（1）解：有4对全等三角形．
分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA；
（2）证明：∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF，
∴△OCF≌△OAE．
∴∠EAO=∠FCO．
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO．
∴∠EAM=∠NCF．

45证明：（1）在△AEO与△BFO中，
∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形
∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO（SAS），
∴AE=BF；
（2）延长AE交BF于D，交OB于C，
则∠BCD=∠ACO，
由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．


46解：解法一：如果AB=AC，AD=AE，BD=CE，那么∠1=∠2．
已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE，
求证：∠1=∠2．
证明：∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠1=∠2．
解法二：如果AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，那么BD=CE．
已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，
求证：BD=CE．证明：∵∠1=∠2
∴∠BAD=∠CAE，而AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE∴BD=CE．

47（1）解：△AED≌△DFC．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°．
又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，
∴∠EAD=∠FDC．∴△AED≌△DFC（AAS）．
（2）证明：∵△AED≌△DFC，∴AE=DF，ED=FC．
∵DF=DE+EF，
∴AE=FC+EF．
48解：（1）真命题是：①③→②；②③→①
（2） 选择命题一：①③→②
证明：在△ABC和△BAD中，
∵AD=BC，∠1=∠2，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD．∴∠C=∠D．
选择命题二：②③→①
证明：在△ABC和△BAD中，
∵∠C=∠D，∠2=∠1，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD．∴AD=BC．

49证明：在正方形ABCD中，△PBC、△QCD都是等边三角形，
∴∠QCB=∠PCD=30°．
又∵BC=CD，
∴在△EBC与△FDC中，，∴△EBC≌△FDC（ASA），
∴CE=CF．
又∵CQ=CD=BC=CP，∴PF=QE，
又∵∠P=∠Q，
∠QME=∠PMF，∴△MEQ≌△MFP，∴PM=QM．

50证明：（1）∵AM平分∠BAD，∠BAD=90°，∴∠BAE=45°∴△BAE为等腰直角三角形，又AB=DC，∴BE=DC．
（2）由CM⊥AM易得，∠EMC=90°，
又∵∠BAE=45°，∠BEA=45°，∴∠MEC=45°，∴∠MEC=∠MCE，
∴△MEC为等腰直角三角形，
∴ME=CM且∠MEC=∠MCE=45°，∴∠BEM=∠DCM=135°．
又BE=DC，∴△BEM≌△DCM．∴∠MBE=∠MDC．

51证明：在△ADC和△BCD中
∵，∴△ADC≌△BCD（SAS）．∴∠DAO=∠CBO．
在△ADO和△BCO中，∵∴△ADO≌△BCO（AAS）．∴AO=BO．
52解：①用量角器量出∠A和∠B的度数，用尺子量出边AB的长度，
②根据这三个数据，按照原来的位置关系去加工地砖，
∵在△ABC与△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′．
故形状和大小完全相同．

53解：数量关系：AA′=BB′；
理由如下：
∵O是AB′、A′B的中点，∴OA=OB′，OA′=OB，
在△A′OA与△BOB′中，，
∴△A′OA≌△BOB′（SAS），∴AA′=BB′．


54（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，
∴∠EAD=∠DAF．
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴∠DEA=∠DFA=90°
又AD=AD，
∴△DEA≌△DFA．
∴EA=FA
∵ED=FD，
∴AD是EF的垂直平分线．
即AD⊥EF．
（2）解：∵DE∥AC，
∴∠DEA=∠FAE=90°．
又∠DFA=90°，
∴四边形EAFD是矩形．
由（1）得EA=FA，
∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．
55证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）．

56（1）证明：在△ABE和△CBF中，
∵，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
∴AE=CF．
（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，
∴∠CAB=∠ACB=（180°-90°）=45°，∠EAB=45°-30°=15°．
∵△ABE≌△CBF，
∴∠EAB=∠FCB=15°．
∵BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠BFE=∠FEB=45°．
∴∠EFC=180°-90°-15°-45°=30°．


57解：当∠A=30°时，点D恰为AB的中点．
证明：∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠CBA=60°．
又△BEC≌△BED，
∴∠CBE=∠DBE=30°，且∠EDB=∠C=90°，∴∠EBA=∠A，
∴BE=AE，又∠EDB=90°，即ED⊥AB．
∴D是AB的中点．

58解：（1）△ABB′，△AOC和△BB′C；
（2）在▱ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠D，
由轴对称知AB′=AB，∠ABC=∠AB′C，
∴AB′=CD，∠AB′O=∠D．
在△AB′O和△CDO中
，
∴△AB′O≌△CDO（AAS）．
59证明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵AO平分∠BAC，
∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∵∠1=∠2，
∴OB=OC．
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．
∴∠5=∠6．
∴∠1+∠5=∠2+∠6．
即∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．

60解：△EMC是等腰直角三角形．理由如下：
连接MA．
∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，∴∠DAB=90°，
∵△EDA≌△CAB，∴DA=AB，ED=AC，∴△DAB是等腰直角三角形．
又∵M为BD的中点，∴∠MDA=∠MBA=45°，AM⊥BD（三线合一），
AM=BD=MD，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠EDM=∠MAC=105°，
在△MDE和△CAM中，
ED=AC，∠MDE=∠CAM，MD=AM
∴△MDE≌△MAC．∴∠DME=∠AMC，ME=MC，
又∵∠DMA=90°，
∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°．
∴△MEC是等腰直角三角形．


61解：（1）猜想：AP=CQ，
证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC．
又AB=BC，BP=BQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；
（2）由PA：PB：PC=3：4：5，
可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
连接PQ，在△PBQ中由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ为正三角形．∴PQ=4a．
于是在△PQC中
∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2∴△PQC是直角三角形．

62解：（1）△DEF是等边三角形．
证明如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA，
又∵AD=BE=CF，∴DB=EC=FA，∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形；
（2）AD=BE=CF成立．
证明如下：
如图，∵△DEF是等边三角形，∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，
∴∠1+∠2=120°，
又∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠2+∠3=120°，∴∠1=∠3，同理∠3=∠4，
∴△ADF≌△BED≌△CFE， ∴AD=BE=CF．


63证明：（1）连接BE，
∵DB=BC，点E是CD的中点，∴BE⊥CD．
∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，∴EF=；
（2）[方法一]在△ABG中，AF=BF，AG∥EF，
∴EF是△ABG的中位线，∴BE=EG．
在△ABE和△AGE中，AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，
∴△ABE≌△AGE；
[方法二]由（1）得，EF=AF，∴∠AEF=∠FAE．
∵EF∥AG，∴∠AEF=∠EAG．∴∠EAF=∠EAG．
∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，∴△ABE≌△AGE．

64（1）证明：
连接AD，


∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=AD．
∴∠B=∠DAC=45°
又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）．
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
（2）解：△DEF为等腰直角三角形．
证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：
连接AD，

∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），
∴∠DAC=∠ABD=45°．
∴∠DAF=∠DBE=135°．
又AF=BE，∴△DAF≌△DBE（SAS）．
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．
∴△DEF仍为等腰直角三角形．
65（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC．
∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
（2）解：又∠BAC=45°
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，
即△EAD是直角三角形
∴DE===13．

66（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠BCD=90°，
在△ACE和△BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）解：直线AE与BD互相垂直，理由为：
证明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠DBC，
又∵∠DBC+∠CDB=90°，∴∠EAC+∠CDB=90°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥BD，
即直线AE与BD互相垂直．

67证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=CB．
∴∠DAF=∠BCE．
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF．
∴AF=CE．
在△ADF和△CBE中，
，∴△ADF≌△CBE．
∴∠ADF=∠CBE．
68（1）证明：过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，

则∠GEF=∠CDF，∠G=∠DCF，
在平行四边形ABCD中，
AB∥CD，AB=CD，
∴EG∥AB．
∵BE∥AC，
∴四边形ABEG是平行四边形．
∴EG=AB=CD．
∴△EGF≌△DCF（ASA）．
∴EF=DF．
（2）解：∵∠ADC=60°，AC⊥DC，∴∠CAD=30°．
∵AD=2，∴CD=1，∴AC=，
又∵AC=2CF，∴CF=．
在Rt△DCF中
DF==，∴DE=2DF=．

69解：当PD=CD时，△ABE≌△DPE．
画出图形如图：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠PDE，
又∵PD=CD，
∴AB=DP，
在△ABE和△DPE中

∴△ABE≌△DPE中（AAS）．
70解：（1）作图，

（2）证明：根据作图知，PQ是AC的垂直平分线，∴AO=CO，且EF⊥AC．
∵四边形ABCD是平行四边形∴∠OAE=∠OCF．∴△OAE≌△OCF（ASA）．
∴AE=CF．

71证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，即DC∥AF．
∴∠1=∠F，∠C=∠2．
∵E为BC的中点，∴CE=BE．∴△DCE≌△FBE．∴CD=BF．


72（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠B
又∠DAF=∠BCE
∴△DAF≌△BCE（ASA）．
（2）解：四边形QCFM的内角和为360°，
∵∠ABC=60°，∠ECB=20°，∴∠BEC=100°，
∵△DAF≌△BCE，∴BE=DF，∴AE=CF，AB∥CD，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴∠EAF=∠BEC=100°，∴∠AEC=∠MFC=80°，
则∠QMF+∠MFC+∠FCQ+∠CQM
=∠AMN+80°+100°+50°=360°
∴∠AMN=130°．

73解：（1）△DOE≌△BOF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠EDO=∠FBO，∠E=∠F．
又∵OD=OB，
∴△DOE≌△BOF（AAS）．
①△BOM≌△DON．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．
∴∠MBO=∠NDO，∠BMO=∠DNO．
又∵BO=DO，∴△BOM≌△DON（AAS）．
②△ABD≌△CDB．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AB=CD．
又∵BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS）．
（2）绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．

74证明：（1）∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+FE，即AF=CE．
又ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC．∴∠DAF=∠BCE．
在△ADF与△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS）．
（2）∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA=∠BEC．∴DF∥EB．

75（1）解：3对；△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，△ABD≌△CDB．
（2）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠ABD=∠CDB，
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90．
在△ABE和△CDF中有
∴△ABE≌△CDF．
∴AE=CF．

76（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B．
∴∠B=∠DAE．
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD．
（2）解：∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠DAE=∠BAE；
又∵∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB=∠B．
∴△ABE为等边三角形．
∴∠BAE=60°．
∵∠EAC=25°，
∴∠BAC=85°．
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED=∠BAC=85°．

77解：AB．
证明：因为AE=AD，∠AEB=∠DAF，∠ABE=∠DFA=90°，
∴△EAB≌△ADF（AAS），
∴DF=AB．

78证明：（1）∵M是CD的中点，∴DM=CM；
∵有矩形ABCD，∴AD=BC∠D=∠C=90°；
∴在△ADM和△BCM中，
∴△ADM≌△BCM；（SAS）
（2）∵△ADM≌△BCM，∴AM=BM，∴∠MAB=∠MBA．

79（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△ABE≌△DAF．
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB=30°，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠AGB=30°，
∵∠1+∠4=∠DAB=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AFD=180°-（∠1+∠3）=90°，
∴DF⊥AG，
∴DF=AD=1，∴AF=，
∵△ABE≌△DAF，∴AE=DF=1，
∴EF=-1．
故所求EF的长为-1．

80证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，
AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°，
∵AB=2BC，即BC=BN=AB，∴BN=BE，即N为BE的中点，
∴EN=NB=BC，
∴△FNE≌△EBC，∴FN=EC．

81（1）证明：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°，
∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF．
在△AOE和△BOF中，
∴△AOE≌△BOF．
（2）答：两个正方形重叠部分面积等于a2，
因为△AOE≌△BOF，
所以：S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=．
82解：线段AE与EF的数量关系为：AE=EF．
证明：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
又∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，
∵AD∥BC∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
又∵△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，
∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH-BA=BE-BC=EC，
又∵CF平分∠DCE，∴∠FCE=45°=∠EHA，
在△HAE和△CEF中∴△HAE≌△CEF（ASA），∴AE=EF．

83（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°．∴在△BEC与△DEC中，
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△BEC≌△DEC，∴∠BEC=∠DEC=∠BED．
∵∠BED=120°，∴∠BEC=60°=∠AEF．∴∠EFD=60°+45°=105°．

84解：（1）∠EAF的大小没有变化．理由如下：
根据题意，知AB=AH，∠B=90°，
又∵AH⊥EF，∴∠AHE=90°，
∵AE=AE，∴Rt△BAE≌Rt△HAE（HL），∴∠BAE=∠HAE，
同理，△HAF≌△DAF，∴∠HAF=∠DAF，
∴∠EAF=∠EAH+∠FAH=∠BAH+∠HAD=（∠BAH+∠HAD）=∠BAD，
又∵∠BAD=90°，∴∠EAF=45°，∴∠EAF的大小没有变化．
（2）△ECF的周长没有变化．理由如下：
∵由（1）知，Rt△BAE≌Rt△HAE，△HAF≌△DAF，
∴BE=HE，HF=DF，
∴C△EFC=EF+EC+FC=EB+DF+EC+FC=2BC，
∴△ECF的周长没有变化．

85（1）证明：
证法一：∵四边形ABCD，AEFG均为正方形，
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，
∴将AD、AG分别绕点A按顺时针方向旋转90°，它们恰好分别与AB、AE重合．
即点D与点B重合，点G与点E重合．
∴DG绕点A顺时针旋转90°与BE重合，
∴BE=DG，且BE⊥DG．
证法二：∵四边形ABCD、AEFG均为正方形，
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，
∴∠DAB+α=∠GAE+α，
∴∠DAG=∠BAE，
①当α≠90°时，由前知△DAG≌△BAE（SAS），
∴BE=DG，
∴∠ADG=∠ABE，
设直线DG分别与直线BA、BE交于点M、N，
又∵∠AMD=∠BMN，∠ADG+∠AMD=90°，
∴∠ABE+∠BMN=90°，
∴∠BND=90°，
∴BE⊥DG，
②当α=90°时，点E、点G分别在BA、DA的延长线上，显然BE=DG，且BE⊥DG．
（说明：未考虑α=90°的情形不扣分）

（2）解：当α=90°时，点E、点G分别在BA、DA的延长线上，形成的图形是一个等腰梯形BDEG，
通过观察比较可知，当α=90°时，S有最大值，且S=×3×2×2+×2×2+×3×3=．
当S取得最大值时，α=90°．

86（1）解：猜想：BG=DE；
∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，
∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，CG=CE，
在△BCG和△DCE中
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE；
∴∠CBG=∠CDE，
∵∠CBG+∠BGC=90°，∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BGC=∠CED，
∴∠BHE=∠BCD=90°，
∴BG⊥DE；
（2）证明：在△BCG与△DHG中，
由（1）得∠CBG=∠CDE，
∠CGB=∠DGH，
∴∠DHB=∠BCG=90°，
∴BH⊥DE．

87证明：∵ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°
∵DE⊥AG，
∴∠DEG=∠AED=90°
∴∠ADE+∠DAE=90°
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠DEG=∠AED．
在△ABF与△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴BF=AE．
∵AF=AE+EF，
∴AF=BF+EF．


88解：∵CE⊥DF，
∴∠CDF+∠DCE=90°，
又∵∠DCB=∠DCE+∠BCE=90°，
∴∠CDF=∠BCE，
又∵BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°，
∴△BCE≌△CDF（ASA），∴CE=DF，
∵CE=10cm，∴DF=10cm．

89（1）证明：∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A=∠B．
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=GF，∠DEA=∠GFB=90°．
∴△ADE≌△BGF．
∴AE=BF．
（2）解：∵∠DEA=90°，∠A=45°，
∴∠ADE=45°．
∴AE=DE，同理BF=GF，又AB=BC，
∴EF=AE=BF=AB===（cm）．
∴正方形DEFG的边长为cm．

90解法一：
（1）选①；
（2）证明：∵ABCD是正方形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°．
又∵AE=CF，∴△AEB≌△CFD．∴BE=DF．
解法二：（1）选②；
（2）证明：∵ABCD是正方形，∴AD∥BC．
又∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形．∴BE=DF．
解法三：（1）选③；
（2）证明：∵ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°．
又∵∠1=∠2，
∴△AEB≌△CFD．
∴BE=DF．

91证明：在正方形ABCD中，∠DAF=∠ABE=90°，DA=AB=BC，
∵DG⊥AE，
∴∠FDA+∠DAG=90°．
又∵∠EAB+∠DAG=90°，
∴∠FDA=∠EAB．
在Rt△DAF与Rt△ABE中，DA=AB，∠FDA=∠EAB，
∴Rt△DAF≌Rt△ABE．
∴AF=BE．
∵AB=BC，
∴BF=CE．

92解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AD=DC=2，AE=CF=1，∠BAD=∠DCF=90°，
在△ADE与△CDF中，
∵，
∴△ADE≌△CDF，
∴把△ADE绕点D逆时旋转90°时能与△CDF重合．
（2）由（1）可知∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，∴∠EDF=90°，
∵AH∥DF，∴∠EGH=∠EDF=90°，∴AH⊥ED，
∵AE=1，AD=2，
∵ED=，
∴AE•AD=ED•AG，
即×1×2=××AG，∴AG=．


93（1）证明：∵EF⊥BE，∴∠DEF+∠CEB=90°．
∵∠CBE+∠CEB=90°，∴∠DEF=∠CBE．
（2）EB=EF．理由如下：
∵AE平分∠DAB，∴∠DEA=∠EAB=∠DAE，
DA=DE，DA=BC，∴DE=BC．
∵EF⊥BE，∴∠DEF+∠CEB=∠EBC+∠CEB=90°，
∴∠DEF=∠EBC，
∵∠C=∠D=90°，∴△FDE≌△CEB（ASA）．∴EB=EF．

94解：∠BPF=120°，
证明：∵在等腰梯形ABCD中，AD=CD=AB，∠BAE=∠D，DE=CF，
∴AE=DF∴△ABE≌△DAF（SAS）∴∠ABE=∠DAF，∠AEB=∠DFA，
∵∠ABC=∠C=60°，∴∠BAD=∠CDA=120°，
∵∠ABE+∠AEB+∠BAD=180°，∴∠ABE+∠AEB=60°，
∵∠DAF+∠AEB+∠APE=180°，
∠BPF=∠APE，∴∠BPF=180°-（∠DAF+∠AEB）
=180°-（∠ABE+∠AEB）=180°-60°=120°．

95解：（1）BG=EH．
∵四边形ABCD和CDFE都是正方形，
∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，
∵∠CDG+∠CDH=∠FDH+∠HDC=90°，∴∠CDG=∠FDH，
在△CDG和△FDH中

∴△CDG≌△FDH（ASA），
∴CG=FH，
∵BC=EF，
∴BG=EH．
（2）结论BG=EH仍然成立．
同理可证△CDG≌△FDH，∴CG=FH，
∵BC=EF，∴BC+CG=EF+FH，
∴BG=EH．
96（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA=∠AFO．∴△BOE≌△AOF．∴OE=OF．
（2）解：OE=OF成立．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF=90°，
∠E+∠OBE=90°，
又∵∠MBF=∠OBE，∴∠F=∠E．
∴△BOE≌△AOF．∴OE=OF．

97解：（1）猜想：AF=BD且AF⊥BD．
证明：设AF与DC交于点G．
∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF．
∴△ACF≌△BCD．
∴AF=BD．
∴∠AFC=∠BDC．
∵∠AFC+∠FGC=90°，∠FGC=∠DGA，
∴∠BDC+∠DGA=90度．
∴AF⊥BD．
∴AF=BD且AF⊥BD．
（2）结论：AF=BD且AF⊥BD．
图形不惟一，只要符合要求即可．
画出图形得（1分），写出结论得（1分），此题共（2分）．如：
①CD边在△ABC的内部时；②CF边在△ABC的内部时．

98证明：（1）∵∠BAE=∠DAF，AB=AD，∠B=∠ADF=90°，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，BE=DF．
（2）∵AG为∠EAF的角平分线，
∴∠EAG=∠FAG，
又∵AE=AF，AG=AG，
∴△AEG≌△AFG，
∴EG=FG，
∵FG=DG+FD，
∴EG=BE+DG．

99（1）证明：∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠BAE=∠CDE．
又E为AD中点，∴AE=ED．
∴△ABE≌△DCE．
（2）解：∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠EBC．
又BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC．∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE．
又，∴AB=5．

100（1）证明：∵AD∥BC，EA⊥AD，
∴∠DAE=∠AEB=90°．
∵∠MBE=45°，∴∠BME=45°．
∴BE=ME．
（2）解：∵∠AEB=∠AEC=90°，∠1=∠2，
又∵BE=ME，
∴△AEB≌△CEM，
∴MC=BA=7．


101解：（1）∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
∴GA=GB．
∵AD=BC，
∴GD=GC，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CE⊥AG，CF⊥AB，
∴CE=CF，
∴△CAE≌△CAF，
∴AE=AF；
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF．
∵∠DAB=∠CBA，
∴GA=GB．
∴CE=CF，AE=AF，DE=BF，DG=CG，AG=BG；（任选4组）
（2）①：∵AB∥DC，AD=BC，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
∴GA=GB，
或：②：由①得，GA-DA=GB-CB，
∴GD=GC，
或：③：∵AB∥DC，
∴∠CAB=∠DCA，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠CAB=∠DAC，
∵CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，∴CE=CF．
或：④：由③可证△CAE≌△CAF，得AE=AF
或：⑤：可证明△CDE≌△CBF（AAS），得DE=BF．
102证明：在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=DC，∴∠ABC=∠DCB（等腰梯形在同一底上的两个角相等），
∵BE=2EA，CF=2FD，∴BE=AB，CF=DC，∴BE=CF，
在△EBC和△FCB中，∴△EBC≌△FCB，∴∠BEC=∠CFB．

103证明：（1）连接MD，
∵点E是DC的中点，ME⊥DC，∴MD=MC，
又∵AD=CF，MF=MA，∴△AMD≌△FMC，∴∠MAD=∠MFC=120°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠MAB=30°，
在Rt△AMB中，∠MAB=30°，
∴BM=AM，
即AM=2BM；
（2）连接MD，

∵点E是DC的中点，ME⊥DC，
∴MD=MC，
又∵AD=CF，MF=MA，
∴△AMD≌△FMC，
∴∠ADM=∠FCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠CMD
∴∠CMD=∠FCM，
∵MD=MC，ME⊥DC，
∴∠DME=∠CME=∠CMD，
∴∠CME=∠FCM，
在Rt△MBP中，
∠MPB=90°-∠CME=90°-∠FCM．

104（1）解：∵∠BCD=75°，AD∥BC，
∴∠ADC=105°．
由等边△DCE可知∠CDE=60°，
故∠ADE=45°．
由AB⊥BC，AD∥BC，可得∠DAB=90°，
∴∠AED=45°．
（2）证明：由（1）知∠AED=45°，
∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上．
由△DCE是等边三角形得CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上．
∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE．
连接AC，

∵∠AED=45°，∴∠BAC=45°，
又∵AB⊥BC，∴∠ACB=45°，∴BA=BC．
（3）解：∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°．
连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，

∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，∴∠BFC=75°，故BC=BF．
由（2）知：BA=BC，故BA=BF，
∵∠ABF=60°，
∴AB=BF=FA，
又∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠FAG=∠G=30°．∴FG=FA=FB．
∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG，∴△BCF≌△GDF．
∴DF=CF，即点F是线段CD的中点．
∴=1．
105（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，
在△BAD和△CBE中，，∴△BAD≌△CBE（ASA），∴AD=BE．
（2）证明：∵E是AB中点，∴EB=EA，
∵AD=BE，∴AE=AD，
∵AD∥BC，∴∠7=∠ACB=45°，
∵∠6=45°，∴∠6=∠7，
又∵AD=AE，
∴AM⊥DE，且EM=DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）解：△DBC是等腰三角形（CD=BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD=CE，由（1）得：CE=BD，∴CD=BD．∴△DBC是等腰三角形．


106解：（1）

①当∠BAC=90°时，
∵∠BAC=2∠ACB，
∴∠ACB=45°，
在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC（等角对等边）；
②当∠DAC=15°时，
∠DAB=90°-15°=75°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=75°，
∴∠DBA=180°-75°-75°=30°，
∴∠DBC=45°-30°=15°，即∠DBC=15°，
∴∠DBC的度数为15°；
③∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，
∴∠DBC=15°，∠ABC=45°，
∴∠DBC：∠ABC=1：3，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．
（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同．
证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．

∴四边形ABKC是等腰梯形，
∴CK=AB，
∵DC=DA，
∴∠DCA=∠DAC，
∵∠KCA=∠BAC，∴∠KCD=∠3，∴△KCD≌△BAD，∴∠2=∠4，KD=BD，∴KD=BD=BA=KC．
∵BK∥AC，
∴∠ACB=∠6，
∵∠BAC=2∠ACB，且∠KCA=∠BAC，
∴∠KCB=∠ACB，
∴∠5=∠ACB，
∴∠5=∠6，∴KC=KB，∴KD=BD=KB，
∴∠KBD=60°，
∵∠ACB=∠6=60°-∠1，∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1，
∵∠1+（60°-∠1）+（120°-2∠1）+∠2=180°，
∴∠2=2∠1，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．

107证明：在△GEF和△HCF中，
∵GE∥DC，∴∠GEF=∠HCF．
∵F是EC的中点，∴FE=FC．
而∠GFE=∠CFH（对顶角相等），∴△GEF≌△HCF．∴GE=HC．
四边形ABCD为等腰梯形，∴∠B=∠DCB．
∵GE∥DC，∴∠GEB=∠DCB．
∴∠GEB=∠B，∴GB=GE=HC．∴BG=CH．

108解：（1）3；
（2）△ABC≌△DCB．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB．
又BC=CB，∴△ABC≌△DCB．

109解：△ABC≌△DCB
证明：∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC∴∠ABC=∠DCB
在△ABC与△DCB中∴△ABC≌△DCB（注：答案不唯一）

110（1）解：AE=BE；
（2）证明：∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA；
又AD∥BC，AB=DC，∴∠EBA=∠C；∴∠BAF=∠C；
又DE⊥BC，BF⊥AE，
∴∠AFB=∠CED=90°；∴△ABF≌△CDE．

111证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C．
∵点E是BC边的中点，
∴BE=CE．
∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠BME=∠CNE=90°
∴△BME≌△CNE，
∴EM=EN．

112证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，AD=BC，
又∵DE=CF，
∴AE=BF，
在△AFB与△BEA中，
．
∴△AFB≌△BEA（SAS），
∴AF=BE

113（1）证明：如图1
∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠DCB．
又∵BC=CB，AB=DC，∴△ABC≌△DCB．∴∠1=∠2．
又∵GE∥AC，∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．
∴EG=BG．
∵EG∥OC，EF∥OB，∴四边形EGOF是平行四边形．
∴EG=OF，EF=OG．
∴四边形EGOF的周长=2（OG+GE）=2（OG+GB）=2OB
（2）解：方法1，如图2，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC上一个动点，（点E不与B、C两点重合）EF∥BD，交AC于点F，EG∥AC交BD于点G
求证：四边形EFOG的周长等于2OB．
方法2：如图3，已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC上一个动点，（点E不与B、C两点重合）EF∥BD，交AC于点F，EG∥AC交BD于点G
求证：四边形EFOG的周长等于2OB．

114解：（1）△AED≌△CEB′
证明：∵四边形ABCD为矩形，∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，
又∵∠B′EC=∠DEA，∴△AED≌△CEB′；
（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，
∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC=8-3=5．
在△ADE中，AD===4，
延长HP交AB于M，则PM⊥AB，∴PG=PM．∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．


115（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，AB=AD，∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE．
（2）解：∵△ABC≌△ADE，∴AC与AE是一组对应边，∴∠CAE为旋转角，
∵AE=AC，∠AEC=75°，∴∠ACE=∠AEC=75°，∴∠CAE=180°-75°-75°=30°．

116（1）证明：在正方形ABCD中，
∠D=∠ABC=90°，∴∠ABF=90°，∴∠D=∠ABF=90°，
又DE=BF，AD=AB，∴△ADE≌△ABF．
（2）解：将△ADE顺时针旋转90后与△ABF重合，旋转中心是点A．

117解：图2，AF+BF=2CE仍成立，
证明：过B作BH⊥CE于点H，

∵∠BCH+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCH，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°∴△ACE≌△CBH．
∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
图3中，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，

∵AC=BC，
可得∠AEC=∠CGB，
∠ACE=∠BCG，
∴△CBG≌△CAE，
∴AE=BG，
∵AF=AE+EF，
∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，
∴AF-BF=2CE．

118解：（1）显然△AED，△DEF，△ECF，△BDF都为等腰直角三角形，且全等，
则S△DEF+S△CEF=S△ABC；
（2）图2成立；图3不成立．
图2证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，
又∵∠C=90°，
∴DM∥BC，DN∥AC，
∵D为AB边的中点，
由中位线定理可知：DN=AC，MD=BC，
∵AC=BC，
∴MD=ND，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°，
∴∠MDE=∠NDF，
在△DME与△DNF中，
∵，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S△DME=S△DNF，
∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF，
由以上可知S四边形DMCN=S△ABC，∴S△DEF+S△CEF=S△ABC．

图3不成立，连接DC，
证明：△DEC≌△DBF（ASA，∠DCE=∠DBF=135°）
∴S△DEF=S五边形DBFEC，
=S△CFE+S△DBC，
=S△CFE+，
∴S△DEF-S△CFE=．
故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF-S△CEF=S△ABC．

119解：（1）4；（2）4；（3）4；
理由：根据旋转的性质知∠NMA=∠KMC，∠A=∠MCG=45°，
∵AM是直角三角形ABC斜边上的中线，
∴AM=CM，
则△ADM≌△CGM，
∴S△CGM=S△ADM，
∴S重叠=S△AMC=S△ABC=4．

120（1）解：CC′=3-．
理由如下：∵EC=3，∠A=30°，
∴AC=3，
∴AE=3-3，
∴CC′=EE′= 3-；
（2）解：△ECD绕点C旋转的度数即∠ECE′的度数；
∵∠ABC=60°，BC=CE′=3，AB=6，
∴△E′BC是等边三角形，
∴BC=E′C=E′B=3，
∴AE′=E′C=3，
∴∠E′AC=∠E′CA，
∴∠ECE′=∠BAC=30°；
（3）证明：在△AEF和△D′BF中，
∵AE=AC-EC，D′B=D′C-BC，
又∵AC=D′C，EC=BC，
∴AE=D′B，
又∵∠AEF=∠D′BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD′E=30°，
∴△AEF≌△D′BF，
∴AF=FD′．


121解：（1）图形平移的距离就是线段BF的长，
又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30°，
∴BF=5cm，
∴平移的距离为5cm；
（2）∵∠A1FA=30°，
∴∠GFD=60°，∠D=30°，
∴∠FGD=90°，
在Rt△EFD中，ED=10cm，
∵FD=，
∴FG=cm；
（3）△AHE与△DHB1中，
∵∠FAB1=∠EDF=30°，
∵FD=FA，EF=FB=FB1，
∴FD-FB1=FA-FE，即AE=DB1，
又∵∠AHE=∠DHB1，
∴△AHE≌△DHB1（AAS），
∴AH=DH．
122解：（1）由题意知，△ABP≌△CQB，
∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，
∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．
（2）当AB=4，AP：PC=1：3时，有AC=4，AP=，PC=3，
∴PQ==2．
（3）存在2PB2=PA2+PC2，
由于△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ=PB，
∵AP=CQ，
∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，
故有2PB2=PA2+PC2．

123解：（1）BE=AD．
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°
∵∠BCE=30°，
∴∠ACE=30°，
∴∠ACD=30°
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴BE=AD．
（2）设PR、RQ分别交AC于G、H，QC=x，
∵由（1）可知∠ACF=30°，∠PQR=60°，
∴∠CHQ=30°，
∴QH=QC，∠RHG=∠CHQ=30°，
∴∠RGH=90°，RH=3-QH=3-QC=3-x，
∴RG=（3-x），GH=（3-x），
所以SRt△GHR=RG•GH=（3-x）2，
而∵△C′D′E′的边长为3，得出S△PQR=，
∴重叠部分面积y=-（3-x）2，
即：y=-+x+（0≤x≤3）．
124解：（1）当CD与OA垂直时，
∵△CDO为Rt△，
∴OC=，
∴，
由题意得四边形ODCE是正方形，
∴OD+OE=OD+OD=2OD，
∴OD+OE=．
（2）过点C分别作CK⊥OA，垂足为K，CH⊥OB，垂足为H．

∵OM为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠1与∠2都为旋转角，
∴∠1=∠2，∴△CKD≌△CHE，∴DK=EH，
∴OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK．
由（1）知：OH+OK=，
∴OD+OE=．
（3）结论不成立．
过点C分别作CK⊥OA，CH⊥OB，

∵OC为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角，∴∠KCD=∠HCE，
∴△CKD≌△CHE，∴DK=EH，
∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，
由（1）知：OH+OK=，∴OD，OE，OC满足．
125解：理由如下：
连接PA，
∵PA是等腰△ABC底边上的中线，
∴PA⊥PC（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一））．
又AB⊥AC，
∴∠1=90°-∠PAC，∠C=90°-∠PAC，
∴∠1=∠C（等量代换）．
同理可得PA⊥PC，PE⊥PF，
∴∠2=90°-∠APF，∠3=90°-∠APF，
∴∠2=∠3．
由PA是Rt△ABC斜边上的中线，得：
PA=BC=PC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
在△PAE和△PCF中，∠1=∠C，PA=PC，∠2=∠3，
∴△PAE≌△PCF（ASA）．
∴PE=PF（全等三角形对应边相等），
则△PEF始终是等腰直角三角形．


126（1）证明：∵AD=AB，AG=AE=EF=FG，
∠DGF=∠BEF=90°，
∴DG=BE，
∴△DGF≌△BEF，
∴DF=BF．
（2）猜想：DG=BE，DG⊥BE．
证明：如图，由正方形性质与旋转知AD=AB，AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∴△DAG≌△BAE，
∴DG=BE，∠ADG=∠ABE，
延长DG交BE或延长线于H，交AB于I，

∵∠ADG=∠ABE，∠DIA=∠BIH，
又∵∠ADG+∠DIA=90°，
∴∠ABE+∠BIH=90°，
∴∠DHB=90°，
即DG⊥BE．

127解：（1）AF=BE．
证明：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60°，
∴△AFC≌△BEC．
∴AF=BE．
（2）成立．
理由：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°，
∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB，
即∠ACF=∠BCE．∴△AFC≌△BEC，
∴AF=BE．
（3）此处图形不惟一，仅举几例．
如图，（1）中的结论仍成立．

（4）根据以上证明、说明、画图，归纳如下：
如图a，大小不等的等边△ABC和等边△CEF有且仅有一个公共顶点C，
则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE．
128（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF．
在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF．
（2）解：如图所示，矩形OA1B1C1就是所求作的，
A1（0，2），B1（3，2），C1（3，0）．


129解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，
∵只有OP=OP，PM=PN不能判断△OPM≌△OPN；∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；方案（Ⅱ）可行．
证明：在△OPM和△OPN中，，∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）；∴OP就是∠AOB的平分线．
（2）当∠AOB是直角时，此方案可行；
∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，∴∠AOB=90°，
∵PM=PN，
∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），
当∠AOB不为直角时，此方案不可行；
因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．


130解：（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF．
（2）AE⊥DF．
证明：设AE与DF相交于点H．
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠BAF．
又∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF．∴∠1=∠2．
又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE，∴△ADE≌△BCE．∴∠3=∠4．
∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHD=90°．∴AE⊥DF．

（3）∵∠ADE=90°，AE⊥DF．∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°．∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4，∴∠4=∠5．∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，
∴△DCM≌△BCE．∴CE=CM，
又∵E为CD中点，且CD=CB，∴CE=CD=BC，
∴CM=CB，即M为BC中点，∴BM=MC．


131解：（1）①∵∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC．即：∠AOC=∠BOD．
又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD．∴AC=BD．
②由①得：∠OAC=∠OBD，
∵∠AEO=∠PEB，∠APB=180°-（∠BEP+∠OBD），
∠AOB=180°-（∠OAC+∠AEO），∴∠APB=∠AOB=60°．
（2）AC=BD，α
（3）AC=k•BD，180°-α．


132（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC，
在△ABN和△BCM中，，∴△ABN≌△BCM，∴∠ABN=∠BCM，
又∵∠ABN+∠OBC=60°，
∴∠BCM+∠OBC=60°，∴∠NOC=60°；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM=∠ABN=90°，AD=AB，
又∵AM=BN，∴△ABN≌△DAM（SAS），∴AN=DM，∠ADM=∠BAN，
又∵∠ADM+∠AMD=90°，
∴∠BAN+∠AMD=90°
∴∠AOM=90°；
即∠DON=90°．
（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A=∠B，AB=AE，
又∵AM=BN，
∴△ABN≌△EAM，∴AN=ME，
∴∠AEM=∠BAN，
∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°；
（4）解：以上所求的角恰好等于正n边形的内角．

133（1）证明：∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°；
在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC；
（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°-45°=135°；
又∵CF是∠DCH的平分线，
∠ECF=90°+45°=135°；
在△AGE和△ECF中，；
∴△AGE≌△ECF；
（3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；
又∵∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
∵AB=a，E为BC中点，
∴BE=BC=AB=a，
根据勾股定理得：AE==a，
∴S△AEF=a2．

134解：（1）90°．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°∴∠BCE=90°；
（2）①α+β=180°，理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；
②当点D在射线BC上时，α+β=180°；
理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，∴α+β=180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．
理由：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，∴∠BAC=∠BCE，即α=β．



135（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△BCP．
∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．
（2）证明：∵在△ACE与△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（ASA）．
∴AE=BF．
（3）解：∵由（2）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，
∴S△ABC=S△ABG．∴AE=AC．
①当∠ACB为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立；
②当∠ACB为锐角时，∠CAH=90°-∠ACB，而∠CAE＜∠CAH，要使AE=AC，只需使∠ACB=∠CEA，此时，∠CAE=180°-2∠ACB，
只须180°-2∠ACB＜90°-∠ACB，
解得：60°＜∠ACB＜90°．

136（1）证明：取AD的中点F，连接FM．
∵∠FDM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，∴∠FDM=∠BMN，
∵AF=AD=AB=AM=MB=DF，
∵BN平分∠CBE，即∠NBE=∠CBE=45°，
又∵AM=AF，∴∠AFM=45°，∴∠DFM=∠MBN=135°．
∵DF=MB，在△DFM和△MBN中∵，∴△DFM≌△MBN．
∴DM=MN．

（2）解：结论“DM=MN”仍成立．
证明如下：
在AD上截取AF'=AM，连接F'M．
∵DF'=AD-AF'，MB=AB-AM，AD=AB，AF'=AM，∴DF'=MB．
∵∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，∴∠F'DM=∠BMN．
又∠DF'M=∠MBN=135°，
在△DF'M和△MBN中∵，∴△DF'M≌△MBN．∴DM=MN．


137解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，
∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|CF-CE|=|BE-AF|．
②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．
证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠α．
∵∠BCA=180°-∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，
∴∠CBE=∠ACF，
又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，CE=AF，
又∵EF=CF-CE，∴EF=|BE-AF|．
（2）猜想：EF=BE+AF．
证明过程：
∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°，∴∠BCE=∠CAF，
又∵BC=CA，∴△BCE≌△CAF（AAS）．

138（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．
∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，
BE=AB-AE=BC-MC=BM，
∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．
∵N是∠DCP的平分线上一点，
∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．
在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．

（2）解：结论AM=MN还成立
证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．
在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE，
BE=AB-AE=BC-MC=BM，∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．
∵N是∠ACP的平分线上一点，∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．
在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，
∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．

（3）解：若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，则当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．

139解：（1）△ABC与△AEG面积相等．
理由：过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则∠AMC=∠ANG=90°，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG，
∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°，∴∠BAC+∠EAG=180°，
∵∠EAG+∠GAN=180°，∴∠BAC=∠GAN，
在△ACM和△AGN中，，∴△ACM≌△AGN，∴CM=GN，
∵S△ABC=AB•CM，S△AEG=AE•GN，∴S△ABC=S△AEG，
（2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和．
∴这条小路的面积为（a+2b）平方米．

140解：（1）①在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=BD=CD=，∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°-30°=30°，
又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时，∴∠CKD=90°，
∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），
∵CK=0，或AM=0，∴AM+CK=MK；
②由①，得
∠ACD=30°，∠CDB=60°，
又∵∠A=30°，∠CDF=30°，∠EDF=60°，∴∠ADM=30°，
∴AM=MD，CK=KD，∴AM+CK=MD+KD，
∴在△MKD中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）．
（2）＞
证明：作点C关于FD的对称点G，
连接GK，GM，GD，
则CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中点，∴AD=CD，
∴GD=AD．∠DAC=∠DCA=30°，∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，
∠ADM+∠CDK=60°．
∴∠ADM=∠GDM，
∵DM=DM，∴∴△ADM≌△GDM，（SAS）∴GM=AM．
∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．
（3）由（2），得GM=AM，GK=CK，
∵MK2+CK2=AM2，∴MK2+GK2=GM2，∴∠GKM=90°，
又∵点C关于FD的对称点G，∴∠CKG=90°，∠FKC=∠CKG=45°，
又由（1），得∠A=∠ACD=30°，
∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°，
在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，
∴∠GMK=30°，∴=，∴=
综上可得：∠CDF的度数为15°，的值为．


141解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴AE=BE，CF=BF；
∵∠MBN=60°，BE=BF，
∴△BEF为等边三角形；
∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；
图2成立，图3不成立．
证明图2．
延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，

在△BAE和△BCK中，
则△BAE≌△BCK，
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，
∴∠FBC+∠ABE=60°，
∴∠FBC+∠KBC=60°，
∴∠KBF=∠FBE=60°，
在△KBF和△EBF中，∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，
即AE+CF=EF．
图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF．

142解：（1）①∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．
又∵PC=BC-BP，BC=8cm，∴PC=8-3=5cm，∴PC=BD．
又∵AB=AC，∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴点P，点Q运动的时间s，∴cm/s；

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得x=3x+2×10，解得．
∴点P共运动了×3=80cm．
△ABC周长为：10+10+8=28cm，
若是运动了三圈即为：28×3=84cm，
∵84-80=4cm＜AB的长度，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．

143解：（1）∵AM=MC=AC=a，则
∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为a2，周长为（1+）a．
（2）∵重叠部分是正方形
∴边长为a，面积为a2，周长为2a．
（3）猜想：重叠部分的面积为．
理由如下：
过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G
设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F
∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a
∴MH=MG=
又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，
∴∠HME=∠GMF，
∴Rt△MHE≌Rt△MGF
∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积
∵正方形CGMH的面积是MG•MH=×=
∴阴影部分的面积是．


144（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）
（2）解：答案如图所示．M（3，4）或M′（4，3）．

（3）证明：连接EC，

∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC=BE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC2+EC2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．
即四边形ABCD是勾股四边形．
145解：（1）过点C作CD⊥OA于点D．（如图1）
∵OC=AC，∠ACO=120°，
∴∠AOC=∠OAC=30°．
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=DA=1．
在Rt△ODC中，OC=

（i）当0＜t＜时，OQ=t，AP=3t，OP=OA-AP=2-3t．
过点Q作QE⊥OA于点E．（如图1）
在Rt△OEQ中，
∵∠AOC=30°，
∴QE=OQ=，
∴S△OPQ=OP•EQ=（2-3t）•=-+t，
即S=-+t；
（ii）当＜t≤时（如图）
OQ=t，OP=3t-2．
∵∠BOA=60°，∠AOC=30°，
∴∠POQ=90°．
∴S△OPQ=OQ•OP=t•（3t-2）=-t，
即S=-t；
故当0＜t＜时，S=-+t；当＜t≤时，S=-t．

（2）（i）当D点在OA上，
①以D为顶点，如图OCD1，∠COA=30°，OC=OD1，则OD1=，
②以O为顶点，如图OCD2，OD2=OC=，
③以C为顶点，此时D点和A点重合．
（ii）当D点在OB上，
由于∠BOC=90°，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形，
以O为顶点时，如图OCD3，OD3=OC，∠AOB=60°，则D3（，1）．
（iii）当D点在AB上时，
此时OD的最短距离为OD⊥AB时，此时OD=＞，因此OD≠OC，不存在以O为顶点的等腰三角形；
当以C为顶点时，D点和A点重合，
当以D为顶点时，如图OCD4，易得此时D4（，）．
综上所述，D点坐标为（，1）或（，0）或（，0）或（，）．

（3）△BMN的周长不发生变化．理由如下：
延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．（如图）
又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，∴△MOC≌△FAC，
∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA
=∠OCA-∠MCN=60°，∴∠FCN=∠MCN．
在△MCN和△FCN中，，∴△MCN≌△FCN，∴MN=NF．
∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+BA+AF=BA+BO=4．
∴△BMN的周长不变，其周长为4．


146解：（1）45°．
（2）过点A作AK⊥AB，且AK=CN，连接CK、MK，
∴四边形ANCK是平行四边形．
∵CN=MB，∴AK=MB，
∵AM=CB，∠B=∠KAM，∴△AKM≌△BMC．∴∠AKM=∠BMC，KM=MC．
∵∠AKM+∠AMK=90°，∴∠BMC+∠AMK=90°．∴∠KMC=90°．
∴△KMC是等腰直角三角形．∴∠MCK=45°．
∵CK∥AN，∴∠APM=∠MCK=45°．
（3）过点A作AK⊥AB，且AK=CN，连接CK、MK．

∴四边形ANCK是平行四边形．
∵CN=MB，∴AK=MB，
∵AM=CB，∠B=∠KAM，∴△AKM≌△BMC．∴∠AKM=∠BMC，KM=MC．
∵∠AKM+∠AMK=90°，∴∠BMC+∠AMK=90°．∴∠KMC=90°．
∴△KMC是等腰直角三角形．
∴∠MCK=45°．
∵CK∥AN，∴∠APM+∠MCK=180°．
∴∠APM=135°．

147解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中
∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；

（2）DE+DF=CG；
证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）
∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形
∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC
∵AB=AC∴∠FCD=∠GBC=∠HDC
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH
∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；
（3）仍然成立．
证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）
∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH，
∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．

148（1）证明：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．
（2）①是；②是；③否．
②的证明：如图，
在△ACM和△BAN中，，
∴△ACM≌△BAN（SAS），∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，∴∠BQM=60°．
③的证明：如图，
在Rt△ABM和Rt△BCN中，，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN（SAS），∴∠AMB=∠BNC．
又∵∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，
∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．

149解：△DEF是等腰三角形
证明：如图，过点C作CP⊥AC，交AN延长线于点P
∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAC=90°，∠ACB=45°
∴∠PCN=∠ACB，∠BAD=∠ACP
∵AM⊥BD∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°
∴∠ABD=∠CAP∴△BAD≌△ACP∴AD=CP，∠ADB=∠P
∵AD=CE∴CE=CP
∵CN=CN∴△CPN≌△CEN∴∠P=∠CEN
∴∠CEN=∠ADB
∴∠FDE=∠FED∴△DEF是等腰三角形．

附加题：△DEF为等腰三角形
证明：过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P
∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAC=90°，∠ACB=45°
∴∠PCN=∠ACB=∠ECN
∵AM⊥BD∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°
∴∠ABD=∠CAP∴△BAD≌△ACP∴AD=CP，∠D=∠P
∵AD=EC，CE=CP
又∵CN=CN∴△CPN≌△CEN
∴∠P=∠E∴∠D=∠E
∴△DEF为等腰三角形．

150解：（1）△ABC是等腰直角三角形．理由如下：
在△ADC与△BEC中，AD=BE，∠D=∠E=90°，DC=EC，
∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AC=BC，∠DCA=∠ECB．
∵AB=2AD=DE，DC=CE，∴AD=DC，
∴∠DCA=45°，∴∠ECB=45°，∴∠ACB=180°-∠DCA-∠ECB=90°．
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）DE=AD+BE．理由如下：
在△ACD与△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，DC=EB．∴DC+CE=BE+AD，
即DE=AD+BE．
（3）DE=BE-AD．理由如下：
在△ACD与△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，DC=EB．∴DC-CE=BE-AD，即DE=BE-AD．

151解：（1）与线段EM一定相等的线段有2条，DE和BF
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵AE、DE分别平分∠DAB和∠ADC
∴AE⊥DM，AE平分∠DAB．∴ED=EM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD，
∵AE、CF是角平分线．∴∠DAE=∠BCF，
同理∠ADE=∠CBF，AD=BC．∴△ADE≌△CBF∴DE=BF，ED=EM．∴BF=EM．
（2）EF+BC=AB．
由（1）易证∠AMD=∠ABF，∴EM∥BF，EM=BF．
∴四边形EFBM是平行四边形．∴EF=MB，BC=AD=AM．∴EF+BC=AB．
（3）EF+AB=BC．
同（2）易知EFBM是平行四边形，
故BM=EF，BC=AD=AM，∴AD=AM．∴EF+AB=BC．

152解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；

∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，∴四边形OECF是正方形，∴OM=OF=OE=AM，∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，∴△AMO≌△FOE（AAS），∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．
（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；

∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
∴四边形MBEP是正方形，∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE（SAS），∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．
（3）题（1）（2）的结论仍然成立；如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．

153（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠1=∠2=45°，DE=DE，∴△ADE≌△CDE．
（2）证明：∵△ADE≌△CDE，∴∠3=∠4，
∵CH⊥CE，∴∠4+∠5=90°，
又∵∠6+∠5=90°，∴∠4=∠6=∠3，
∵AD∥BG，∴∠G=∠3，∴∠G=∠6，∴CH=GH，
又∵∠4+∠5=∠G+∠7=90°，∴∠5=∠7，∴CH=FH，∴FH=GH．
（3）解：存在符合条件的x值此时，
∵∠ECG＞90°，要使△ECG为等腰三角形，必须CE=CG，∴∠G=∠8，
又∵∠G=∠4，∴∠8=∠4，∴∠9=2∠4=2∠3，
∴∠9+∠3=2∠3+∠3=90°，∴∠3=30°，
∴x=DF=．


154解：（1）如图①结论：AE=MP+NQ．证明：过Q作QQ'⊥AB于Q'，
则∠MQ′Q=90°，∵MN⊥AB，∴∠AMN=90°，
∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴四边形AMND为矩形，
∴MN=AD=AB，∴∠Q′MN=∠QNM=90°，∴四边形MNQQ′为矩形，
∴QQ′=MN=AB，NQ=Q′M，
在△BAE和△QQ′P中，
∵PQ⊥BE，∴∠Q′QP+∠Q′PQ=90°，
∵∠ABE+∠Q′PQ=90°，∴∠Q′QP=∠ABE，
∵∠PQ′Q=∠BAE=90°，QQ′=AB，∴△BAE≌△QQ′P．∴Q′P=AE，
∵Q′P=MP+Q′M=MP+NQ，∴AE=MP+NQ．
（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，结论AE=QN-MP．
（3）如图，若点E1在线段DH上时，结论：AE1=MP1+NQ1．
若点E2在射线HG上时，结论：AE2=MP2-NQ2．

155解：（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF；
在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF；
在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF．

（2）对图①中结论证明如下：
∵BE⊥PA，DF⊥PA，∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∵在△BAE和△ADF中，，
∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF．

156（1）证明：连接AH、AF．

∵ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠B=90°．
∵ADHG与ABFE都是矩形，∴DH=AG，AE=BF，
又∵AG=AE，∴DH=BF．
在Rt△ADH与Rt△ABF中，
∵AD=AB，∠D=∠B=90°，DH=BF，∴Rt△ADH≌Rt△ABF，∴AF=AH．
（2）证明：将△ADH绕点A顺时针旋转90°到△ABM的位置．
在△AMF与△AHF中，
∵AM=AH，AF=AF，
∠MAF=∠MAH-∠FAH=90°-45°=45°=∠FAH，∴△AMF≌△AHF．
∴MF=HF．
∵MF=MB+BF=HD+BF=AG+AE，∴AG+AE=FH．

（3）解：设BF=x，GB=y，则FC=1-x，AG=1-y，（0＜x＜1，0＜y＜1）
在Rt△GBF中，GF2=BF2+BG2=x2+y2
∵Rt△GBF的周长为1，
∴BF+BG+GF=x+y+=1
即=1-（x+y）
即x2+y2=1-2（x+y）+（x+y）2
整理得2xy-2x-2y+1=0∴xy-x-y=-，
∴矩形EPHD的面积S=PH•EP=FC•AG=（1-x）（1-y）=xy-x-y+1=-，
∴矩形EPHD的面积是．
157（1）证明：
∵∠D1AD+∠B1AD=90°，∠OAB1+∠B1AD=90°，
∴∠B1AO=∠D1AD，
∵AD1=AB1，AO=AD，
∴△OAB1≌△DAD1，
∴∠D1DA=∠O=90°；（D1，D，C在同一条直线上）．


（2）解：猜想∠C1CN=45°．
证明：作C1H⊥ON于H．作C1G⊥CD1于G；
则有C1G=CH．
∵∠C1D1C+∠AD1D=90°，∠C1B1H+∠AB1O=90°
∴∠C1D1C=∠C1B1H，
∵C1D1=B1C1，∠D1C1E=∠C1HB1=90°，
∴△C1GD1≌△C1B1H，
∴C1G=C1H，
又∵CH=C1G，
∴直角三角形CHC1是个等腰直角三角形，
∴∠C1CN=45°．

（3）解：作图；
得∠ADD2=90°（∠ADD2=90°、∠C2CN=45°均可）．

158解：
（1）①DE=EF；
②NE=BF；
③∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，
∵N，E分别为AD，AB中点，
∴AN=DN=AD，AE=EB=AB，
∴DN=BE，AN=AE，
∵∠DEF=90°，
∴∠AED+∠FEB=90°，
又∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠FEB=∠ADE，
又∵AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，
又∵∠A=90°，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，
又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，
∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，
在△DNE和△EBF中
，
∴△DNE≌△EBF（ASA），
∴DE=EF，NE=BF．
（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），
连接NE，则点N可使得NE=BF．
此时DE=EF．
证明方法同（1），证△DNE≌△EBF（ASA）．


159解：（1）同意，连接EF，
则根据翻折不变性得，
∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），∴GF=DF；
（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2
∴y=2x，
∴；
（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2
∴y=2x，
∴或．


160解：（1）旋转后，仍然成立的结论是：②BP=DF，③BP⊥DF．
证明：连接BP，DF，
∵∠PAB=α=90°-∠DAP=∠FAD，
AP=AF，AB=AD，
∴△ABP≌△ADF，
∴BP=DF，
延长BP，分别交AD，DF于点M，N，
由△ABP≌△ADF得∠MBA=∠MDN，
又∠BMA=∠DMN，
∴∠DNM=∠BAD=90°，即BP⊥DF．

（2）分两种情况：①当G在EF边上时，如备用图．
在直角三角形FGA中，cos∠FAG=AF：AG=：2，因此∠FAG=30°．
因此，∠GAP=60°，∠PAB=∠α=30°．
②当G在EP边上时，如图2．
求法同①只不过是在直角三角形GAP中进行求值，求出的结果是∠PAB=∠α=60°．
故旋转角α的度数为30°或60°．