初中数学21.3 实际问题与一元二次方程教案及反思

第2课时　平均变化率及利润问题

◇教学目标◇

【知识与技能】

会用列一元二次方程的方法解决有关平均增长(降低)率问题和利润问题.

【过程与方法】

1.进一步体会利用一元二次方程解决实际问题的一般规律和方法.

2.进一步提高分析问题、解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

在问题解决过程中,强化学生数学应用意识,培养学生学以致用的能力,激发学生的求知欲.

◇教学重难点◇

【教学重点】

解决与平均变化率、利润有关的问题.

【教学难点】

把实际问题抽象成数学问题,并根据实际问题的意义构建等量关系,列出方程.

◇教学过程◇

一、情境导入

小明学习非常认真,学习成绩直线上升.第一次月考数学成绩是a分,第二次月考数学成绩增长了10%,第三次又增长了10%,问他第三次数学成绩是多少?

二、合作探究

探究点1　与增长率有关的问题

典例1　今年,我市某中学响应“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用,经调查,该品牌足球2020年的单价为200元,2021年的单价为162元.

(1)求2020年到2021年该品牌足球单价平均每年降低的百分率.

(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:

试问去哪个商场购买足球更优惠?

[解析]　(1)设2020年到2021年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x.

根据题意,得200×(1-x)2=162,

解得x=0.1=10%或x=1.9(舍去).

答:2020年到2021年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.

(2)100×≈90.91(个),

在A商场需要的费用为162×91=14742(元),在B商场需要的费用为162×100×=14580(元),且14742>14580.

答:去B商场购买足球更优惠.

列一元二次方程解决增长(降低)率问题时,要理清原数、后来数、增长率(或降低率),以及增长(或降低)的次数之间的数量关系.如增长率:若原数是a,每次增长的百分率为x,则第一次增长后为a(1+x);第二次增长后为a(1+x)+a(1+x)·x=a(1+x)2.即原数×(1+增长的百分率)2=后来数.同理得降低率问题的关系式:原数×(1-降低的百分率)2=后来数.另外,还要注意,增长率可以大于1,但降低率不能大于1.

变式训练　某农机厂四月份生产零件50万个,第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是              (　　)

A.50(1+x)2=182

B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182

C.50(1+2x)=182

D.50+50(1+x)+50(1+2x)=182

[答案]　B

探究点2　与利润有关的问题

典例2　山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元,请回答:

(1)每千克核桃应降价多少元?

(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?

[解析]　(1)设每千克核桃应降价x元.

根据题意,得(60-x-40)(100+×20)=2240.

化简,得x2-10x+24=0,解得x1=4,x2=6.

答:每千克核桃应降价6元或4元.

(2)由(1)可知每千克核桃可降价6元或4元.

因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.

此时,售价为60-6=54(元),×100%=90%.

答:该店应按原售价的九折出售.

三、板书设计

平均变化率及利润问题

1.平均变化率=(实际数-基数)/基数.

2.平均增长(或降低)率公式:Q=a(1±x)2,其中a是增长(或降低)的基础量,x是平均增长(或降低)率,2是增长(或降低)的次数.

3.利用平均变化率的关系式解决有关平均变化率问题的应用题,适用直接开平方法来解.

◇教学反思◇

　　本节主要内容是平均变化率和利润问题.在教学中注重了问题的形成过程,而不是向学生直接给出平均变化率公式,有利于学生对知识的掌握和理解.在今后的教学中要注意学生需根据情况对实际问题进行验根.