2021河北省安平中学高一下学期第四次月考（期末）数学试题含答案

安平中学2020--2021学年下学期第四次质量检测考试

高一数学试题

一.    单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.  下表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．

则该队员得分的40百分位数是

A．5             B．6              C．7              D．8

2.  复数满足,则复数的实部与虚部之和为( )

A.  B.
C.  D.

3.  若是等边三角形ABC所在平面外一点,且,,,分别是,,的中点,则下列结论中不正确的是( )

A. 平面 B. 平面
C. 平面平面 D. 平面平面

4.  若,,则的最小值是( )

A.  B.
C.  D.

5.  某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为,,,,只有通过前一关才能进入下一关,其中,第三关有两次闯关机会,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进入第四关的概率为

A.  B.
C.  D.

 6.设的内角,,的对边分别为,,,若,,,则的面积为( )

A.  B.
C.  D.

7.  在中,为边上的中点,为边上的点,且;点为与的交点,则下列说法正确的是( )

A.                B.
C.                D.

8.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,四棱锥为阳马,侧棱底面,,为棱的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( )

A.      B.    C.     D.

二. 多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部答对得5分，部分答对得3分，答错不得分。）

9.  某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况,随机选取了名学生,绘制了如图所示频率分布直方图,则( )

A. 众数的估计值为           B. 中位数的估计值为
C. 平均数的估计值为        D. 样本中有名同学阅读时间不低于分钟

A．                     B．若，则，中至少有一个为0

C．                       D．若，则

11.  抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（    ）

A.  A与B是互斥事件但不是对立事件      B.   A与C是互斥事件也是对立事件

C.  A与D是互斥事件                    D.  C与D不是对立事件也不是互斥事件

12.  在棱长为的正方体中,点是棱的中点,点是底面上的动点,且,则下列说法正确的有( )

A. 与所成角的最大值为       B. 四面体的体积不变
C. 的面积有最小值          D. 平面截正方体所得截面面积不变

三.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.  已知向量＝(﹣1，2)，＝(x，﹣6)，且，，若A，B，C三点共线，则实数x的值为       ．

14. 年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从名男医生和名女医生志愿者中,随机选取名医生赴湖北支援,则至少有名女医生被选中的概率为__________.

15. 在△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，延长BC到D，使得CD＝5，则AD的长为       ．

16. 已知半径为的球面上有、、、四点,满足,,,则球心到平面的距离为__________,三棱锥体积的最大值为__________.（本小题第一空2分，第二空3分）

四. 解答题（本题共6道小题,共70分。解答应写出文字说明和演算步骤）

17.（本题10分）已知向量,,________,若,,且,求.

在①,②,③,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.

18.（本题12分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．

（I）写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；

（II）求事件B发生的概率；

（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率．

19. （本题12分） 如图,在四棱锥中,,,,,点,分别为棱,的中点,且.

求证:(1)平面平面; (2)平面平面.

20.  （本题12分）已知点,,为坐标原点,向量,计算: (1)求向量的单位向量; (2)求,;

 (3); (4)求点到直线的距离.

21.（本题12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

22. （本题12分） 如图所示,某镇有一块空地,其中,,。当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中都在边上,且,挖出的泥土堆放在地带上形成假山,剩下的地带开设儿童游乐场. 为安全起见,需在的周围安装防护网.

(1)    当时,求防护网的总长度;

(2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍,试确定的大小;

(3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？

河北安平中高年级第四次月考数学试题答案

一、单选题

1.【答案】C

2.  【答案】D

3.  【答案】D

【解析】∵是等边三角形所在平面外一点,且,,,分别是,,的中点,∴, ∵平面,平面,∴平面,故A正确; ∵,是中点,∴,, ∵,,平面,∴平面, ∵,∴平面,故B正确; ∵平面,平面,∴平面平面,故C正确; 设,连结,∵不是等边三角形的重心,∴与平面不垂直,∴平面与平面不垂直,故D错误.故选:D.

4.  【答案】C

【解析】,,,,即的最小值为.

5.  【答案】D

【解析】第一种情况:该选手通过前三关,进入第四关,所以, 第二种情况:该选手通过前两关,第三关没有通过,再来一次通过,进入第四关, 所以. 所以该选手能进入第四关的概率为. 故选D.
 

 6.【答案】B

【解析】由,可得,即, 所以,即, 又由,所以, 即,解得或(舍去), 所以, 又因为为三角形内角,故, 所以的面积为. 故选:B.
7.  【答案】B

【解析】设,.因为为边上的中点,为边上的点,且,所以. 又由于向量与向量不共线,则由平面向量基本定理知:,解得. 所以

8.【答案】A

【解析】因为平面,平面,故可得, 又,,平面, 故可得平面.连接. 故即为直线与平面所成角.不妨设, 故在直角三角形中,,, 故可得.则. 则直线与平面所成角的正弦值为.

二、多选题

9.  【答案】A,C,D

10.【答案】A,B,C

11. 【答案】ABD

12. 【答案】B,C,D

【解析】由题意以为坐标原点,,,所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,如图所示:则,,,,,,则,设,则,,由,可得,即,对于选项A,由,可得,为定值, 所以选项A错误;对于选项B,四面体的体积,为定值,即体积不变,所以选项B正确;对于选项C,因为,且,所以,因为,所以,所以选项C正确;对于选项D,其截面为五边形,为定值,所以选项D正确,所以答案选BCD.

三、填空题（每小题5分，共4小题20分）

13.  【答案】3

14.【答案】

15. 【答案】7

16. 【答案】,

四、解答题（共70分，写出必要的步骤和文字说明）

17.【解析】选择方案①, 因为,所以,所以,所以, 因为,, 所以,所以, 因为,,所以, 而,所以, 因为,,所以, 因此有 选择方案②, 因为,所以,所以, 因为,, 所以,所以, 因为,,所以, 而,所以, 因为,,所以, 因此有 选择方案③, 因为,,, 所以,即, 因为,,所以, 而,所以, 因为,,所以, 因此有.
18.答案及解析：

（I）所有可能的基本事件为：

共种.

其中“两数之和为”的有共种，故.

（II）由（I）得“两数之和是的倍数”的有共种，故概率为.

（III）由（I） “两个数均为偶数”的有种，“两数之和为”的有共种，重复的有 三种，故事件与事件至少有一个发生的有种，概率为.

19. 【解析】(1)因为是的中点,所以, 又因为,所以四边形是平行四边形, 所以,因为平面,平面, 所以平面. 又因为是的中点,所以,所以平面, 又,所以平面平面. (2)因为,,,满足, 所以.因为,所以. 在中,,是的中点,所以, 所以,, 由,可得, 所以,又,所以平面. 因为平面,所以平面平面.
 

20. 【解析】由已知得:(1),则(2),,,(3). (4)在上的投影为,,点到直线的距离.

21.【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，

得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，

根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．

如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，

如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，

如果最高气温低于20，需求量为200瓶，

∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p．

（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，

Y＝450×2＝900元，

当温度在[20，25）℃时，需求量为300，

Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，

当温度低于20℃时，需求量为200，

Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，

当温度大于等于20时，Y＞0，

由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：

90﹣（2+16）＝72，

∴估计Y大于零的概率P．

22.【答案】(1)防护网的总长度为（2）(3)

【解析】(1)∵在中,,∴, 在中,,由余弦定理,得, ∴,即,∴,∴为正三角形,所以的周长为9,即防护网的总长度为.

(2)    设,∵, ∴,即, 在中,由,得, 从而,即, 由,得,∴,即.

（3）设，由（2）知，

 又在中，由，得

， ∴， ∴当且仅当，即时，的面积取最小值为.