2021浙江省”共美联盟“高一下学期期末模拟考试数学试题含答案

绝密★考试结束前

2020学年第二学期“共美联盟”期末模拟考试

高一年级数学试题卷

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．

4．考试结束后，只需上交答题纸．

选择题部分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．复数（是虛数单位）＝（    ）．

A．    B．    C．    D．

2．下列说法正确的是（    ）．

A．四棱柱的所有面均为平行四边形

B．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等

C．用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似

D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

3．已知向量，，若，则（    ）．

A．5    B．3    C．    D．

4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ）．

A．若，，则      B．若，，则

C．若，，，则    D．若，， 则

5．如图所示，在中，为的中点，则（    ）．

A．     B．

C．     D．

6．一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是（    ）．

A．这组新数据的平均数为    B．这组新数据的平均数为

C．这组新数据的方差为    D．这组新数据的方差为

7．在中，已知，，，则的形状是（    ）．

A．锐角三角形     B．直角三角形

C．钝角三角形     D．不能确定

8．在中，点，在线段上，，当点在线段上运动时，总有，则一定有（    ）．

A．     B．

C．     D．

二、选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．）

9．已知事件，，且，，则下列说法正确的是（    ）．

A．如果，那么，

B．如果与互斥，那么，

C．如果与相互独立，那么，

D．如果与相互独立，那么，

10．如图，正四棱台的高为，，，则下列说法正确的是（    ）．

A．        B．

C．二面角的大小为    D．点到面的距离为

11．已知向量，，满足，，，，则下列说法正确的是（    ）．

A．        B．若，则

C．，有恒成立    D．若，则

12．如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（    ）．

A．存在某个位置，使直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．的最小值是

D．直线与平面所成角的最小角为，则

非选择题部分

三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）

13．棱长为1的立方体的外接球表面积等于______．

14．已知向量，，则在上的投影向量坐标为______．

15．昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产云南，国家二级保护植物，为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株测量胸径（厘米）作为样本，得到样本频率分布直方图如图所示，则纵坐标______．

16．如图，直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则与所成的角的余弦值为______．

17．平面四边形中，，，，，，则______．

18．已知中，，，，如图，点为斜边上一个动点，将沿翻折，使得平面平面．当______时，取到最小值．

四、解答题（本大题共5小题，每题12分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．已知，为复数，且满足，（是虚数单位） ．

（Ⅰ）若是纯虚数，求；

（Ⅱ）求的最大值．

20．袋中装有4个形状、大小完全相同的球，其中白球2个、红球2个，甲先取出2个球（不放回），乙再取出剩余的2个球，规定取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，取出球的总积分多者获胜．

（Ⅰ）求甲、乙成平局的概率；

（Ⅱ）记甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，比较与的大小．

21．在中，角，，的对边分别为，，，在①；

②；③这三个条件中任选一个．解答下列问题．

（Ⅰ）求角大小；

（Ⅱ）若点在上，满足为的平分线，，，求的长．

22．如图，在四棱锥中，，，平面平面，且，，，，，分别为棱，的中点．

（I）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

23．如图，在中，，满足，，且．

（Ⅰ）求与的关系式；

（Ⅱ）若存在唯一实数，使得，求的值．

2020学年第二学期共美联盟高一期末模拟考试

高一年级数学试题答案

一、单选题

二、多选题

三、填空题

13．   14．   15．   16．

17．7   18．

四、简单题

19．解：（1）为纯虚数，则．

设，

则，所以．

（2）因为，则对应的点在以原点为圆心，5为半径的圆上，

表示的点到点的距离，

所以当复数对应的点为，即时，有最大值6．

20．解：（Ⅰ）记白球为1，2号，红球为3，4号，甲取出的球号记为，

则甲的可能取球共有以下6种情况：

，，，，，．

甲乙平局时都得3分，所以甲取出的2个小球是一白一红，共6种情况，

故平局的概率．

（Ⅱ）甲获胜时，得分只能是4分，取出的是2红，共1种情况，

故先取者（甲）获胜的概率，

后取者（乙）获胜的概率，

∴，故先取后取获胜的概率一样．

21．解：（Ⅰ）若选①

∵，

∴由正弦定理得，

∴，

∵，∴，

∴，

又为三角形的内角，，

∴，∴，

又为三角形内角，∴．

若选②

∵，∴，

即，

∴由余弦定理可得，

∵，∴．

若选③

∵，，

∴由已知得，，

∴，∴，

又为三角形的内角，∴．

（Ⅱ）由（1）得角，

又因为为的平分线，点在上，

所以，

又因为，且，

所以，

所以，

在中，由正弦定理得，

即，解得．

22．（1）∵，，

∴，

∵面面，面面，面，

∴面．

∵在中，，分别是，的中点，

∴．

又∵在中，，是的中点，

∴．

∵，面，面，

∴面．

（2）延长至点，使得，

∵，．

∴四边形是平行四边形，∴，

∴面，

∴为所求角．

在中，

∵，，

∴．

23．解：（1）作垂足为，，垂足为，

∵，则，

∵≌，∴，

∵，，

∴，即．

（2）假设存在非零实数，使得，

设，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵关于方程有唯一解，经检验得，

，∴．