2022届重庆市西南大学附属中学校、重庆外国语学校高三上学期“一诊”模拟联合数学试题含解析

2022届重庆市西南大学附属中学校、重庆外国语学校高三上学期“一诊”模拟联合数学试题

一、单选题

1．（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接计算即可

【详解】，

故选：C

2．已知集合，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先解不等式，再求交集.

【详解】

故选：B

3．的展开式的第3项是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二项式展开式通项公式求第3项即可.

【详解】由题设，展开式通项为，

∴第3项为.

故选：A.

4．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（       ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

【答案】C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.

5．“中国天眼”位于我国贵州省，是世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠.球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为，球冠的高为，球冠底面圆周长为，球冠所在球的半径为.已知球冠表面积公式为，当时，的值为（       ）

A．6500 B．650 C．2500 D．250

【答案】B

【分析】根据给定信息结合球的截面小圆性质，再借助勾股定理列式得出，再由得出.

【详解】如图，点O是球冠所在球面的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高，

依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B=h，OO1=R-h，O1A=r，

在中，，即，整理化简得：，

因球冠底面圆周长，则，

又球冠表面积公式为，且，则，再由，得出，解得

故选：B

6．已知，且，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用消元，再利用基本不等式求得的最小值即可

【详解】将代入，可得：

（当且仅当时，取得等号）

故选：D

7．已知为数列的前项和，且，则下列式子正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由已知得， ，两式作差得，再求得 ，，得数列从第2项起构成以为公比的等比数列，求得时，，，代入判断可得选项.

【详解】解：因为，所以，两式作差得，

即，所以，

又，，解得，，

所以数列从第2项起构成以为公比的等比数列，

所以， ，

，

所以，故A不正确，B不正确；

，所以，故C不正确，D正确，

故选：D.

8．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数与函数的图象在上所有交点的横坐标之和为（       ）

A．2020 B．1010 C．1012 D．2022

【答案】A

【分析】根据条件先得出函数的周期性和对称性，然后再利用函数与函数的图像交点研究问题即可.

【详解】因为是定义在上的奇函数，

所以，即当时，

由已知，

，

，故是周期函数，且对称轴为，

又，即，

所以函数关于对称

如图函数和函数在上的图像

在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，

在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，

所以函数和函数在和上都有个交点，

根据对称性可得所有交点的横坐标之和为.

故选：A.

二、多选题

9．如图是国家统计局发布的我国2016-2020年国内游客人数统计数据，根据下图，对于近五年国内游客情况，下列说法正确的有（       ）

A．近五年国内游客人数逐年增加

B．2016-2019年，年份和国内游客人数总体呈正相关

C．2016-2019年，我国城乡游客人数差距逐年增大

D．2020年国内游客人数首次出现下滑，其中城镇居民国内游客下降率大于农村居民国内游客下降率

【答案】BCD

【分析】由条形统计图中的数据，结合统计知识逐一判断即可.

【详解】对于A，由统计图可知，2019年到2020年国内游客人数减少，故A错误；

对于B，2016-2019年，国内游客人数逐年递增，故B正确；

对于C，由，可知，2016-2019年，我国城乡游客人数差距逐年增大，故C正确；

对于D，2020年国内游客人数首次出现下滑，2020年城镇居民国内游客比2019年城镇居民国内游客下降了，2020年农村居民国内游客比2019年农村居民国内游客下降了，则城镇居民国内游客下降率大于农村居民国内游客下降率，故D正确；

故选：BCD

10．已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（       ）

A．的实轴长为6

B．的渐近线为

C．的最小值为

D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】根据双曲线方程写出实轴长、渐近线方程判断A、B；由圆和双曲线的位置关系，结合双曲线的性质、数形结合求的最小值，由为右焦点，根据双曲线的定义将目标式转化为即可求最小值.

【详解】A：由双曲线方程知：，则的实轴长为6，正确；

B：由双曲线方程知：的渐近线为，错误；

C：双曲线、圆如下：为左焦点，当且仅当为x轴交点，为x轴右交点时，最小为，正确；

D：由为右焦点，，则，要使最小只需共线，此时，正确.

故选：ACD.

11．已知函数为偶函数，其图象与直线的两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，将的图象向右平移个单位，得到的图象，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．是函数图象的一个对称中心

C．函数在上单调递减

D．若方程在上有两个不等实根，则

【答案】AC

【分析】正弦型三角函数平移，找零点或对称轴.

【详解】由题意可得，函数的最小正周期为 ，则，

又因为函数为偶函数，则当 时， ，

又因为 ，所以，

所以，由得，右移 ，得到，所以，

所以，故A正确；

，故B错误；

函数 在 上单调递减，

所以，故C正确；

当 时，，所以 ，只是在有两解，故D错误；

故选：AC

12．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，则下列结论正确的是（       ）

A．棱上一定存在点，使得

B．三棱锥的外接球的表面积为

C．过点作正方体的截面，则截面面积为

D．设点在平面内，且平面，则与所成角的余弦值的最大值为

【答案】BCD

【分析】建立空间直角坐标系，垂直转化为向量数量积为零，夹角问题转化为向量运算，外接球面积要先求解球的半径，截面面积的求解要先找出截面.

【详解】建系如图，设，其中；；

，

若棱上存在点，使得，则，整理得，此方程无解，A不正确；

取的中点，则四边形是边长为的正方形，其外接圆的半径为，

又底面，所以三棱锥的外接球的半径为，

所以其表面积为，B正确；

过点作正方体的截面，截面如图中六边形，

因为边长均为，且对边平行，所以六边形为正六边形，

其面积为，C正确；

设，则,

；

设是平面的一个法向量，则，

令可得，即；

因为平面，所以，即；

设与所成角为，则；

当时，取最小值，所以与所成角的余弦值的最大值为，D正确；

故选：BCD

三、填空题

13．已知，若，则__________.

【答案】1

【分析】利用向量平行的条件即可求得.

【详解】因为，且，

所以，

解得：.

故答案为：1

14．若某种水果的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为__________.（附：若，则，）

【答案】

【分析】分析可得，，利用原则结合参考数据可求得结果.

【详解】由题意可得，，则，，

所以，

.

故答案为：.

15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点作直线交椭圆于、两点，线段长度的最小值为.若，则弦长的取值范围为__________.

【答案】

【分析】分析可知当取最小值时，不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出的表达式，由的最小值求出的值，可得出椭圆的方程，分析得出，结合韦达定理可求得的取值范围，进而可求得的取值范围.

【详解】易知点，其中，

若直线与轴重合时，，

设直线的方程为，设点、，

联立，可得，

，

由韦达定理可得，，

，

所以，当时，，故椭圆的方程为，

由题意可知，，即，则，

由韦达定理可得，可得，

，即，

当时，点为线段的中点，则；

当时，可得，

因为函数在上单调递增，

所以，当时，，

所以，，则，

所以，，

.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

16．若不等式在上恒成立，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】将原问题转化为在上恒成立，令（），则在上恒成立，令，然后分和两种情况求解即可

【详解】由不等式在上恒成立，得

在上恒成立，

令（），则在上恒成立，

令，则

，

当时，，则在递增，，即恒成立，

当时，由，得，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，即，

令（），

则，

所以在上为增函数，

因为

所以当时，恒成立，

综上，当时，不等式在上恒成立，

所以的取值范围是，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为在上恒成立，再换元令（），则在上恒成立，构造函数，然后利用导数求解使其函数大于等于零，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题

四、解答题

17．为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生､大健康观念，手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司140名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，下表是该运动品牌公司140名员工2021年1月-5月获得“运动达人”称号的统计数据：

(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合“运动达人”员工数与月份之间的关系，求关于的回归直线方程，并预测该运动品牌公司6月份获得“运动达人”称号的员工数；

(2)为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：

请补充上表中的数据（直接写出，的值），并根据上表判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？

参考公式：，，（其中）.

【答案】(1)，6月份获得“运动达人”称号的有（人）

(2)表格答案见解析，没有95%的把握认为获得“运动达人”与性别有关

【分析】（1）利用公式可求线性回归方程，并据此可得预测该运动品牌公司获得“运动达人”称号的员工数；

（2）根据列联表可求参数的值，根据公式可求，结合临界值表可判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关.

(1)

，

，

，，

∴，

由过，故，∴，

∴6月份获得“运动达人”称号的有（人）.

(2)

，，

，

∴没有95%的把握认为获得“运动达人”与性别有关.

18．已知中，.

(1)求的值；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由两角和与差的余弦公式展开已知式用方程组思想解得和，从可得；

（2）由诱导公式得，从而得，利用正弦定理得三角形外接圆半径，然后由面积公式计算．

(1)

由，可得

又由，可得，

联立方程组，解得，

所以.

(2)

因为，所以，

因为，所以，

所以三角形的外接圆的直径为，

所以的面积为

.

19．如图，在平面四边形中，，将沿翻折，使点到达点的位置，且平面平面.

(1)证明：；

(2)若为的中点，二面角的平面角等于，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，证明线面垂直，进而证明线线垂直；

（2）法一：先找到已知的二面角，据此求出，然后利用等体积法求解P点到平面的距离为,进而求的结果；

法二：建立空间直角坐标系，确定相关的点的坐标以及向量的坐标，再求平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

(1)

证明：因为平面平面，

平面平面平面，

所以平面，

又因为平面，所以.

又因为，所以平面，

又因为平面，所以

(2)

（法一）因为，

所以是二面角的平面角，

即，在中，，

设，因为平面，所以点到平面的距离，

所以点到平面的距离，

，设P点到平面的距离为,

因为，所以，

所以，

设直线与平面所成角为.

（法二）因为，

所以是二面角的平面角，即，

在中，，

因为平面，

即两两垂直，

以为原点建立如图所示的坐标系，

设，则，

，

，设平面的一个法向量为，

则由得，令，得，

令直线与平面所成角为，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．抛物线，点是抛物线上一点，为此抛物线的焦点，为坐标原点，.

(1)求抛物线的方程；

(2)抛物线的两条互相垂直的弦和交于点和分别是和的中点，求到直线的最大距离.

【答案】(1)

(2)2

【分析】(1)由抛物线定义及点在曲线上，可以列出方程组；

(2)由题意可以设AB，CD的方程，求出点M，N的坐标，再求直线MN的方程；点到直线的距离结合基本不等式；通过平移顶点，设MN的直线方程，再通过消未知数，得到一元二次方程，利用韦达定理，结合斜率关系，得到直线过定点.

(1)

设，由题得：

，解得

方程为；

(2)

由题，斜率均存在且不为0

设，与联立得

则，同理

（法一）当时，

所以，直线方程是：即，

所以直线恒过定点

当时，直线方程是：，也过

到直线的最大距离为

（法二）当时，直线方程是：

到直线的距离为

仅当时取等号

当时，直线方程是：到直线的距离为2

到直线的最大距离为

（法三）和都在上且

设，设

，则直线恒过点

到直线的最大距离为.

21．学习资料：有一正项数列，若作商，则当时，当时，.这是一种数列放缩的方法.现有一等差数列的前项和为的前项和为.

(1)求；

(2)求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设公差，根据可得首项和公差，利用等差数列前n项公式可得答案；

（2）求出，计算出，根据单调性再计算出当时，

可得，利用等比数列求和公式可得答案.

(1)

设公差，，

解得，，

.

(2)

（随递减），

当时，，即（，仅时相等），

（从开始放缩），

.

22．和是关于的方程的两个不同的实数根.

(1)求实数的取值范围；

(2)若，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）分离参数a，设新的函数，利用导数判断其单调性，求出最值，即可求得实数的取值范围；

（2）设，从而将变形为，再利用对数运算确定的范围，再利用换元法，结合方程的跟满足方程，构造新的函数，利用导数求该函数的最小值，则问题可得到证明.

(1)

当，即，

设，则，

当时，，所以 在时递增，

当时，，所以 在时递增，

故x=-1时，取得最大值 ，

又时，，

当时，，且当 时，，

所以由关于的方程有两个不同的实数根.可得：；

(2)

设，则

，

，设 ，则，

，

，

设 ，

，

设，则，

则在递增，而，

时，，即

在上递减，则，

.