2022届山东省济南市历城第二中学高三上学期高考模拟数学试题含解析

2022届山东省济南市历城第二中学高三上学期高考模拟数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合A，再根据交集的运算即可得出答案.

【详解】解：，

所以.

故选：C.

2．已知复数z满足．则（       ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】利用复数运算法则得到，进而求出复数z的模长.

【详解】，所以.

故选：D

3．底面半径为，母线长为的圆锥的体积为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：由题意首先求得圆锥的高度，然后求解圆锥的体积即可.

详解：由题意可得圆锥的高，

则圆锥的体积为：.

本题选择D选项.

点睛：本题主要考查圆锥的空间结构，圆锥的体积公式   等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．函数（，）的图象如图所示，则的解析式为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据图象求得，，，，从而确定函数解析式，再通过诱导公式使解析式满足．

【详解】不妨先设，由图象，得：

，，，

所以，解得，

则，

代入，得，

即，所以，

即，，

所以，，

因为

，

上式中满足，

所以 ．

故选：D.

5．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式可得出面积的最大值.

【详解】因为，所以，，所以，蒙日圆的方程为，

由已知条件可得，则为圆的一条直径，则，

所以，，当且仅当时，等号成立.

故选：A.

6．已知，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由条件可得，结合条件求出，将所求化为，从而可得答案.

【详解】由，即

即，所以，即

所以或，由，所以

故选：B

7．若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数（构造新函数）图象有两个交点，由导数确定函数的性质后可得．

【详解】设切点坐标为，由于，

因此切线方程为，又切线过点，

则，，

设，函数定义域是，

则直线与曲线有两个不同的交点，

，

当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；

当时，时．，单调递减，

时，，单调递增，所以，

由题意知，即．

故选：D．

8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（       ）

A．事件与事件不相互独立 B．，，是两两互斥的事件

C． D．

【答案】C

【分析】依次判断每个选项得到答案.

【详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确

B. ，，两两不可能同时发生，正确

C. ，不正确

D. ，正确

故答案选C

【点睛】本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.

9．为点到直线的距离，则．

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】 选B

二、多选题

10．有一组样本数据，另一组样本数据，其中，c为非零常数，则（       ）

A．两组样本数据平均数相同 B．两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等

C．两组样本数据方差相同 D．两组样本数据极差相同

【答案】BCD

【分析】根据题意，结合平均数、方差、极差、“平均距离”的计算公式，一一判断即可.

【详解】对于选项A， ，，故A错；

对于选项B， ，，故B正确；

对于选项C，，，故C正确；

对于选项D，，故D正确.

故选：BCD.

11．若∈[0，2π]，sinsincoscos0，则的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可．

【详解】解：因为∈[0，2π]，sinsincoscoscos＝0，

则或，

故选：CD．

12．已知椭圆的左､右焦点为点P在椭圆上，且不与椭圆的左､右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（       ）

A．的周长为4+

B．当时，的边

C．当时，的面积为

D．椭圆上有且仅有6个点P，使得为直角三角形

【答案】AD

【解析】利用椭圆的定义结合焦距即可判断选项A；利用时，轴，点横坐标为即可求出点纵坐标，即可判断选项B；利用焦点三角形面积公式求出的面积，即可判断选项C；分别讨论三个内角为直角的情况，即可判断选项D.

【详解】由椭圆的方程可得：，，，

对于选项A: 的周长为，故选项A 正确；

对于选项B：当时，轴，令，可得，所以，故选项B不正确；

当时，的面积为，故选项C不正确；

当点位于椭圆的上下顶点时，，而，此时，有2个直角三角形，当时，，此时点位于第二或第三象限，有2个直角三角形，同理可得时，，此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故选项D正确，

故选：AD

【点睛】结论点睛：以焦点三角形的有关结论

（1）焦点三角形的周长为定值；

（2）设焦点三角形中，则焦点三角形面积为，

（3）当点为短轴端点时，最大.

三、填空题

13．函数在上是减函数，则实数的范围是_______.

【答案】

【分析】转化原函数为，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解

【详解】函数，定义域为，

又，

因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，

因此，解得.

故答案为：

14．已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 交 轴于点 ， 为 上一点， 垂直于 ，垂足为 ， 交 轴于点 ，若 ，则 __________．

【答案】4

【详解】设，，

，

：

故

，

则

故答案为：4

点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，设出各点坐标，按照题意表示出直线斜率，从而解出点坐标，继而算出答案，本题的线段关系较多，不过计算较为简单，属于中档题

15．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.

【答案】20

【分析】利用导函数求函数的最值即得.

【详解】∵f′(x)＝3x2－3，

∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.

∴f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．

∴f(x)min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.

又∵f(0)＝－a，f（3）＝18－a，

∴f(0)＜f（3）．

∴f(x)max＝f（3）＝18－a＝m，

∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.

故答案为：20.

四、双空题

16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.

【答案】     5    

【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.

【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；

故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，

设，

则，

两式作差得：

，

因此，.

故答案为：；.

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.

五、解答题

17．已知数列满足：，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足：，求数列的通项公式.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由可化为，令，推出，根据的特征即可求出.

（Ⅱ）根据题意可得，与原式作差再由（Ⅰ）即可求解.

【详解】（Ⅰ）由可化为.

令，则，即.

因为，所以，

所以，

即，故.

（Ⅱ）由，

可知，

两式作差得，

即.

又当时，也满足上式，

故.

【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式以及与的关系，属于中档题.

18．某学校组织的“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，规定每位参赛选手共需回答3道问题.现有两种方案供参赛选手任意选择.方案一：只选类问题：方案二：第一次类问题，以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选类问题，回答错误则下一次选类问题.类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分：类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分.

已知小明能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）求小明采用方案一答题，得分不低于100分的概率：

（2）试问：小明选择何种方案参加比赛更加合理？并说明理由.

【答案】（1）；（2）小明选择方案二参加比赛更加合理，理由见解析.

【分析】（1）由题知得分不低于100分的情况为至少答对两道试题，进而根据二项分布的概率公式求解即可；

（2）分别求解两种方案得分的概率分布列，求得分的期望，期望高的更合理.

【详解】解：（1）小明采用方案一答题，得分不低于100分的情况为至少答对两道试题，

所以其概率为.

（2）小明选择方案二参加比赛更加合理.理由如下：

若采用方案一，则其得分的可能为取值为，

，，，.

所以的概率分布列为

所以的数学期望为；

若采用方案二，则其得分的可能为取值为，

所以，，，，， .

所以的概率分布列为

所以的数学期望为，

因为，

所以小明选择方案二参加比赛更加合理.

19．已知函数，在中，角、、所对的边分别为、、，

(1)求函数的最大值，并求出此时的值；

(2)若，且，求的值．

【答案】(1)的最大值为，此时；

(2).

【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，由角的取值范围以及正弦函数的有界性可求得的最大值及其对应的的值；

（2）由已知条件结合角的取值范围可求得，利用正弦定理可得出关于的等式，结合角为锐角可求得的值.

(1)

解：

，

，则，当时，即当时，取得最大值.

(2)

解：，所以，，

，则，则，可得，

因为，则，即，

所以，，

因为为锐角，则，解得.

20．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；

(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.

【详解】（1）因为，O是中点，所以，

因为平面，平面平面，

且平面平面，所以平面．

因为平面，所以.

（2）[方法一]：通性通法—坐标法

如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

则，设,

所以，

设为平面的法向量，

则由可求得平面的一个法向量为．

又平面的一个法向量为，

所以，解得．

又点C到平面的距离为，所以，

所以三棱锥的体积为．

[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作，垂足为点G．

作，垂足为点F，连结，则．

因为平面，所以平面，

为二面角的平面角．

因为，所以．

由已知得，故．

又，所以．

因为，

．

[方法三]：三面角公式

考虑三面角，记为，为，，

记二面角为．据题意，得．

对使用三面角的余弦公式，可得，

化简可得．①

使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②

将①②两式平方后相加，可得，

由此得，从而可得．

如图可知，即有，

根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，

结合的正切值，

可得从而可得三棱锥的体积为．

【整体点评】

(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；

方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.

方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.

21．已知抛物线过点，直线经过抛物线的焦点与抛物线交于两点.

（1）若直线的方程为，求的面积；

（2）若直线的斜率为，且，求直线的方程.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）将点代入求出的值，再根据韦达定理和点到直线的距离，即可求出三角形的面积，

（2）设直线方程为，根据韦达定理和斜率公式，即可求出．

【详解】解：（1）将点代入抛物线方程，可得，则抛物线方程为.

设，联立，可得.

∴，则.

又点到直线的距离为.

∴.

（2）由题意知直线的斜率存在且不为，设直线方程为.

，联立，可得，

显然，从而.

∴，

，

∴.

∴直线的方程为.

【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率公式，属于中档题．

22．已知函数．

(1)求曲线在点，处的切线方程；

(2)当时，求的单调区间；

(3)当时，在区间有一个零点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．

(3)

【分析】（1）求出函数在处的导数值，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；

（2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间；

（3）转化为，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出.

(1)

，所以，

又，

所以在，处的切线方程：，即．

(2)

当时，，

，

所以在，上，，单调递增，

在，，，上，，单调递减，

所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．

(3)

当时，令，得，

所以，

令，，，

当，时，，，即，

所以在，上单调递增，

又，，

若在区间有一个零点，则，

故的取值范围，．