2022届重庆市第八中学高三下学期调研检测（三）数学试题含解析

这是一份2022届重庆市第八中学高三下学期调研检测（三）数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届重庆市第八中学高三下学期调研检测（三）数学试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数函数的性质求出集合A，再根据交集的定义即可求解.【详解】解：因为集合，，所以，故选：A.2．已知复数的共轭复数为，若（为虚数单位），则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，再根据条件建立方程求解即可.【详解】设，由，有，得，由，有，得，故.故选：B3．已知函数（是的导函数），则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】对函数进行求导，求出，再令代入解析式，即可得到答案；【详解】，，，，故选：D.4．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用三角函数的恒等变换确定点P的坐标，再根据三角函数的定义求得答案.【详解】,,即，则，故选：D.5．函数的图象是A． B．C． D．【答案】A【详解】试题分析：由偶函数排除B、D,排除C.故选A.【解析】函数的图象与性质．6．的展开式中项的系数是（       ）A．420 B．-420 C．1680 D．-1680【答案】A【解析】表示的是8个相乘，要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取，其余4个因式都取1，然后算出即可.【详解】表示的是8个相乘，要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取其余4个因式都取1所以展开式中 项的系数是.故选：A【点睛】本题考查的是二项式定理，属于典型题.7．已知，两点是函数与轴的两个交点，且满足,现将函数的图像向左平移个单位，得到的新函数图像关于轴对称，则的可能取值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据，即可求得，再根据平移后函数为偶函数，即可求得.【详解】令，解得，因为，故令，并取，则，即可求得.此时，向左平移个单位得到，若其为偶函数，则，解得.当时，.故选：A.【点睛】本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题.8．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为A，，过点A的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为B，若，且，则的离心率为(       )A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由向量数量积等式推出l⊥x轴，求出点Q坐标，进而得点B坐标，再代入双曲线方程求解即得.【详解】由已知得，设，由，得，所以轴，即，不妨设点在第一象限，则.设，由，得，，，即，点在双曲线上，，整理得，，解得，或(负值舍去).故选C.故选：C【点睛】求解双曲线离心率的问题，根据条件建立关于a，b，c的齐次式，结合b2=c2-a2转化为a，c的齐次式，再转化为关于e的方程，解之即可得e.二、多选题9．已如正三角形的边长为，设为的中点，则下列结论正确的是（       ）A．与的夹角为 B．C． D．【答案】BD【分析】根据向量的夹角的定义及正三角判断A，由三角形中线的向量表示判断B，由向量线性运算及模的意义判断C，根据正三角的性质及向量加法判断D.【详解】因为与的夹角为，故A错误；因为为的中点，所以, 故B 正确；因为，故C不正确；因为，在等边三角形中，，所以，故D正确.故选：BD10．已知，则下列不等式正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据不等的性质可判断选项A、C是否正确，根据函数的单调性可判断选项B、D是否正确，进而可得正确选项.【详解】对于A项，因为，所以，故A项错误；对于B项，因为，所以，即，又函数在上单调递增，所以，故B项正确；对于C项，因为，所以，则 所以，可得，所以，故C项正确；对于D项，令函数，得，所以函数在上单调递增，又，所以，即，故D项错误．故选：BC．11．如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（       ） A．B．平面C．与所成的角的余弦值为D．点到平面的距离为【答案】AD【分析】根据线线垂直、线面平行、线线角、点面距等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.【详解】A选项:取中点为，则易得：，故与，，可得平面，又平面，故，A正确；B选项：若平面，则平面或在平面内，显然不成立，B错误；C选项：取中点为，则即为所求角，，故，D错误；D选项：三棱锥中，，等边三角形的外接圆半径为，所以到平面的距离为，D正确.故选：AD12．已知函数，则下列结论正确的是（       ）A．函数存在两个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．若时，，则的最小值为【答案】ABC【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．【详解】对于A．，解得，所以A正确；对于B．，当时，，当时，或，所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．三、填空题13．已知函数，则______．【答案】【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解.【详解】由，得；故答案为：.14．已知向量，，，若，则m=___________.【答案】【分析】先求出的坐标，再根据向量平行得出关于的方程，得出答案.【详解】由题意可得由，可得，解得 故答案为：15．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为___.（用含n的式子表示）【答案】（，n为奇数）【分析】可得为奇数时，即数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，即可求解.【详解】当为奇数时，为偶数，为奇数，则，故数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，（，n为奇数），故解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为（，n为奇数）.故答案为：（，n为奇数）.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列.四、双空题16．将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为_________，该组合体的外接球的体积为_______．【答案】          【分析】连接交底面于点，点就是该组合体的外接球的球心，根据等边三角形性质计算，，得到答案.【详解】如图，连接交底面于点，则点就是该组合体的外接球的球心.设三棱锥的底面边长为，则，得，所以，，所以.故答案为：；. 五、解答题17．已知正项等比数列的前项和为，是和的等差中项，且.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，且的前项和为，求使得成立的的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】(1)由条件转化为首相和公比的等式，求得首项和公比，再求通项公式；（2）由等差和等比数列的前项和，转化不等式为，【详解】(1)，∵，∴，∴，.∴，(2).，，数列为单调递增，当时，.当时，.∴.18．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，为底面圆上两点，且四边形为平行四边形，过点作，点为线段上一点，且满足．(1)证明：平面；(2)若圆锥的侧面积为底面积的2倍，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据平面，得出，然后证明四边形为菱形，可得，最后可证平面；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用法向量求解二面角的余弦值.【详解】(1)在圆锥中，平面，又平面，∴，四边形为平行四边形，又在圆锥中，，∴四边形为菱形，∴．又，平面AOB，，∴平面．(2)在圆锥中，平面，又平面，∴，，由（1）知，又，∴，以点为坐标原点，向量的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系．设圆锥的底面半径为r，母线长为R．则，．由题意知，即，∴．不妨令，则，∴，，，，∴，，，设平面BPF的法向量为，则，令，则，，∴是平面EPF的一个法向量．设平面EPF的法向量为，则，令，则，，∴是平面BPF的一个法向量．设二面角的大小为，则，∴二面角的余弦值为．19．5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如表：时间（月份）123456收入（百万元）6.68.616.121.633.041.0 根据以上数据绘制散点图，如图.(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的5G经济收入；(3)从前6个月的收入中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据：3.5021.152.8517.50125.356.73 其中设，参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，，.【答案】(1)(2)回归方程为，8月份的5G经济收入百万元.(3)答案见解析【分析】（1）根据散点图判断可得答案；（2）根据（1）的结果，然后根据参考数据求出方程，进而求得y关于x的回归方程，再将代入方程可得答案；（3）求出X的可能取值及概率，可得分布列和数学期望.【详解】(1)，散点图中点的分布不是一条直线，相邻两点在y轴上差距是增大的趋势，故用表示更合适.(2)由得，设，所以，因为，，，，所以，，，所以，即，则回归方程为，预测该公司8月份的5G经济收入百万元.(3)月收入超过16百万的个数为的可能取值为1，2，3，则，，，则的分布列为123 所以.20．如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，的面积为．(1)求b，c．(2)O为边AC上一点，过点A作交BO延长线于点D，若的面积为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据求得，根据面积公式求得，结合余弦定理可求得答案;（2）设，根据三角形面积之间的关系可得，结合以及的面积为，可求得，从而求得，再利用余弦定理可求答案.【详解】(1)∵，，∴，，则，在中，由余弦定理得，即，∴,∴，∴，∴，解得：，∴．(2)设， ，则，∴，，则∽．∴，∴，∴，解得：或（舍去）或0（舍去），∴，在中，由余弦定理得．在中，由余弦定理得，则，，又，则，∴．21．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率大于的直线与椭圆相交于不同的两点和，直线、分别交轴于 、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用点在椭圆上，右焦点为，得关于 的方程，解出即可；（2）联立方程组，得，将面积之和表示为关于的式子，表示出直线、，求出点 、的坐标，得到，，即可表示出、的面积，再求面积中的范围，结合韦达定理，利用反比例函数得出范围.【详解】（1）由题意知：.将点代入得：.，得故椭圆的方程为：；（2）如图所示：由题意知直线的斜率大于，所以可设直线方程为，设，.直线与椭圆联立：，得，即，，由于斜率大于，，直线的斜率：，的方程：，令，则直线的斜率：，的方程：，令，则，，现求的取值范围：将用表示代入：原式由韦达定理得：原式原式，所以，函数为递增，.【点睛】表示出面积以后，将式子转化为关于 的形式，利用 以及反比例函数的知识求范围.依题意逐步求解，特别注意计算准确性.22．已知函数，是的导数，且.(1)求的值，并判断在上的单调性；(2)判断在区间内的零点个数，并加以证明.【答案】(1)，在上单调递增；(2)在区间内只有一个零点，证明见解析.【分析】(1)对函数f(x)化简并求导，求出a值，再进行二次求导，判断值在给定区间上的正负得解；(2)由(1)知，在上，把函数f(x)的零点等价转化成易于解决的另一函数的零点.【详解】(1)，.由，得，，令，，，，在上单调递减，则，故在上单调递增.(2)由(1)知：，令得，显然当时等式不成立，当时，，则，令，，因为表示单位圆上的点与定点连线的斜率，则当时，，，所以在上单调递减，，当，，由零点存在性定理可知，存在唯一的一个零点使得.故在区间内只有一个零点.【点睛】(1)利用导数判断函数单调性，可以判断导函数的单调性，以确定导函数值的正负；(2)较复杂函数的零点问题，关键在于合理地等价转化.