2022届海南省文昌中学高三4月段考数学试题含解析

2022届海南省文昌中学高三4月段考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A．[-2，3） B．[-1，3） C．[-2，3] D．[-1，3]

【答案】B

【分析】先化简集合B，再利用交集运算求解.

【详解】解：因为集合，，

所以，

故选：B

2．复数，（i为复数单位），则（       ）

A．2 B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据复数的运算法则，求得，即可求得，的大答案.

【详解】由题意，复数，所以.

故选：C.

3．以抛物线C：的焦点为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由焦点写出圆心，利用圆与直线相切，可得半径即得.

【详解】解：的焦点F（1，0），准线，

所以圆心为 ,半径r=2，圆的方程为

故选：D

4．曲线在处的切线的倾斜角为，则（       ）

A．- B． C．1 D．-1

【答案】A

【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，求得其倾斜角，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

则，即曲线在处的切线的斜率为，即，

因为，所以，所以.

故选：A.

5．《周髀算经》是中国古代天文学与数学著作，其中有关于24节气的描述，将一年分为24个节气，如图所示，已知晷长指太阳照射物体影子的长度，相邻两个节气的晷长变化量相同（即每两个相邻节气晷长增加或减小量相同，其中冬至晷长最长，夏至晷长最短，从夏至到冬至晷长逐渐变大，从冬至到夏至晷长逐渐变小.周而复始，已知冬至晷长为13.5尺，芒种晷长为2.5尺，则一年中秋分这个节气的晷长为（       ）

A．6.5尺 B．7.5尺 C．8.5尺 D．95尺

【答案】B

【分析】根据冬至到夏至的晷长成等差数列，求出夏至晷长，再由夏至到冬至晷长为等差数列，由秋分的位置，确定出在对应数列中的项，从而求出秋分晷长

【详解】冬至到夏至晷长记为数列，数列为等差数列，公差，

冬至晷长，若芒种晷长所以，所以夏至晷长

夏至到冬至晷长记为数列{}，数列{}为等差数列，公差，夏至晷长

秋分这个节气的晷长

故选：B

6．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且PA 平面ABC，，且，若此球的表面程等于，则三棱锥的体积为（       ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，求出球的半径，即可得出长方体的对角线的长度，从而可得出答案.

【详解】由题意，将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球即为该长方体的外接球.

则该长方体的外接球的直径为该长方体的对角线.

如图，，则球半径，

所以，

所以

故选：A.

7．有两箱零件，第一箱内装有10件产品，其中有2件次品.第二箱内装有20件产品，其中有3件次品，现从两箱产品中任意选一箱，然后从该箱中任意选取1个零件，则取出的零件是次品的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用条件概率和全概率公式即得.

【详解】记事件A“被挑出的是第一箱”，事件B"被挑出的是第二箱”,事件C“被挑出的是次品”

，，，

由全概率公式得：

故选：C

8．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】注意到三个数的结构特点，均符合，构造函数进行解决.

【详解】设，则，又，于是当时，，故单调递减，注意到，则有，即.

故选：B.

二、多选题

9．某学校组建了演讲，舞蹈，航模､合唱，机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图：

则（       ）

A．选取的这部分学生的总人数为500人

B．合唱社团的人数占样本总量的35%

C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为75人

D．选取的学生中参加合唱社团的人数是参加机器人社团人数的2倍

【答案】AC

【分析】根据两个统计图表中的数据，先求出选取的总人数，然后再对选项进行逐一计算判断即可.

【详解】由两个统计图表可得参加演讲的人数为50，占选取的学生的总数的10

所以选取的总人数为人，故选项A正确.

合唱社团的人数为200人，则合唱社团的人数占样本总量的，故选B不正确.

则选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的

所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为人，故选项C正确.

选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团人数为75人，选项D不正确.

故选：AC

10．函数的图象如图所示，则（       ）

A．

B．

C．f（x）的一条对称轴为

D．f（x）的图像向左平移个单位可得到的图像

【答案】ABD

【分析】首先根据图象求出解析式，然后逐一判断即可.

【详解】由题图可得，解得，A正确.

∴，把（，1）代入得，∵，∴，B正确.

，不是整数，C错

f（x）的图像向左平移个单位可得，D正确

故选：ABD

11．如图，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2且，M为边CD的中点，则（       ）

A． B．

C．6 D．在上投影向量的模为2

【答案】BC

【分析】由向量的线性运算判断AB，由向量的数量积的定义结合余弦定理判断C，根据向量数量积的几何意义判断D．

【详解】所以A错，

，所以B对；

，

利用余弦定理求得：，

，，所以C对；

在上投影向量的模为，所以D错.

故选：BC．

12．已知圆，一条光线从点射出经x轴反射，下列结论正确的是（       ）

A．圆C关于x轴的对称圆的方程为

B．若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为

C．若反射光线与圆C相切于A，与x轴相交于点B，则

D．若反射光线与圆C交于M、N两点，则面积的最大值为

【答案】ABD

【分析】对于A，由对称的性质直接求解即可，对于B，由题意可知入射光线所在的直线过点和，从而可求出直线方程，对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则，然后由圆的性质可求出，进而可求得的值，对于D，设，，表示弦长和弦心距，可表示出面积，从而可求出其最大值

【详解】由，得，则圆心，半径为1，

对于A，圆关于x轴的对称圆的方程为，所以A正确，

对于B，因为反射光线平分圆C的周长，所以反射光线经过圆心，所以入射光线所在的直线过点，因为入射光线过点，所以入射光线所在的直线的斜率为，所以入射光线所在直线方程为，即，所以B正确，

对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则，

因为，所以，所以C错误，

对于D，设，，则圆心到直线的距离为

，，

所以，

所以当，即时，面积取得最大值，所以D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）数据如下表：

若已知y与x的线性回归方程为，设残差记为观测值与预测值之间的差（即残差）那么选取的女大学生身高为175cm时，相应的残差为___________.

【答案】4

【分析】利用残差的定义直接求解.

【详解】已知y与x的线性同归方程为

当时：，相应的残差为：

故答案为：4

14．已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.

【答案】0.5

【分析】点坐标代入幂函数解析式，求得，然后计算函数值．

【详解】点A（4，2）代入幂函数解得，，

故答案为：．

15．已知是双曲线C：的左右焦点，以为圆心，双曲线的半焦距c为半径的圆与双曲线交于P，Q两点，若与圆相切，则双曲线C的离心率为___________.

【答案】

【分析】连接，可得，得到，求得，结合双曲线的定义和离心率的定义，即可求解.

【详解】如图所示，根据题意可得，，

连接，可得，所以，解得，

因为，所以，可得.

故答案为：.

16．已知正方体的棱长为2，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，点P在平面内，点Q在线段A1N上，若，则PQ长度的最小值为____.

【答案】1

【分析】取的中点，连接，得到，求得，得到点在以为圆心，1为半径的半圆上，在平面图形中，求得，结合，即可求解.

【详解】如图所示，取的中点，连接，则平面，所以，

因为，正方体的棱长为2，是的中点，

所以，

所以点在以为圆心，1为半径的位于平面内的半圆上，

单独画出平面及相关点、线，如图所示，

所以点到的距离减去半径就是长度的最小值，

连接，作交于，

则，

所以，解得

所以长度的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．如图所示，在平面四边形ABCD（A，C在线段BD异侧）中，，，，.

(1)求BD的长；

(2)求四边形ABCD的周长的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在△ABD中，利用余弦定理求出答案；（2）法一：设出，表达出四边形周长为，结合，求出最大值；法二：由勾股定理得到，使用基本不等式求出的最大值，从而求出四边形周长的最大值.

【详解】(1)在△ABD中，，，.

由余弦定理得：，

所以.

(2)法一：设，所以，

四边形ABCD的周长为

∵，∴时，）最大值为1，

∴四边形ABCD的周长的最大值.

法二：由（1）知：，

又，所以.

.

当且仅当时，取得最大值.

∴四边形ABCD的周长的最大值为

18．数列{}为正项等比数列，且已知.

(1)求数列{}的通项公式；

(2)在数列{}中的与两项之间插入m个实数，，，…，.得，，，……，，数列{}，要使得等差数列{}的公差d不大于2，当m取得最小值时，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用基本量表示即得；

（2）利用通项公式和求和公式即得.

【详解】(1)设等比数列{}的公比为），

因为，

解得或（舍去）

数列{}的通项公式.

(2)由（1）可知，

所以等差数列{}的首项，

即，

因为，所以，故.

所以等差数列{}共19项，

.

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为长方形，PA底面ABCD，PA=AB=2，E为线段PB的中点.

(1)若点F在线段BC上运动时，求证：；

(2)从下面两个条件中任选一个作为后面的条件补充，条件①：二面角所成的平面角大小为；条件②：直线PC与平面PAB所成角的正切值大小为. 若F为线段BC的中点，且___________（从上面两个条件选一个）求：平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明BC平面PAB，从而得到，进一步证明AE 平面PBC，从而得证.

(2) 若选条件①,则∠PDA是二面角所成的平面角，从而可得；若选条件②：因为CB 平面PAB，则∠CPB是直线PC与平面PAB所成的角，从而，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】(1)因为，E为线段PB的中点，所以①

因为PA底面ABCD，BC平面ABCD，所以，

又因为四边形ABCD为长方形，所以，

又，所以BC平面PAB，

因为AE平面PAB，∴，②.

因为   ③.

由①②③所以AE 平面PBC，因为点F在线段BC上运动，即平面

所以

(2)若选条件①：因为，

故∠PDA是二面角所成的平面角，，

所以

若选条件②：因为CB 平面PAB，

所以∠CPB是直线PC与平面PAB所成的角，

，所以.

由题意，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系

则A（0，0，0），B（2，0，0），E（1，0，1），F（2，1，0），

易知平面ABCD的一个法向量为.

设平面AEF的法向量为，则，

可得：，，取

设平面AEF与平面ABCD的夹角为，

所以，

平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为.

20．根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务.成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模､多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成，规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为，每位选手每次编程都互不影响.

(1)求乙闯关成功的概率；（结果用分数表示）

(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望；

(3)判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.

【答案】(1)

(2)分布列答案见解析，数学期望：

(3)甲比乙闯关成功的概率要大

【分析】（1）利用独立重复试验的概率求解；

（2）根据甲只能正确完成其中6个，利用超几何分布求解；

（3）由（1）（2）的结果比较.

【详解】(1)记事件A“乙闯关成功”，.

所以；

(2)甲编写程序正确的个数X可能取0，1，2，3，

，

，

分布列为：

数学期望E.

(3)甲闯关成功的概率

所以甲比乙闯关成功的概率要大.

21．设椭圆C：的右焦点，若点是椭圆上一点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点的直线l与x轴交于点M，且与椭圆C交于A，B两点（其中点A在x轴的上方）若满足，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而求出椭圆方程；

（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，根据，即可得到，从而得到方程求出，即可得解；

【详解】(1)解：（1）由已知右焦点得，所以①

把点代入椭圆方程得到②

由①②解，

所以柄圆C的标准方程为.

(2)解：①若直线的斜率不存在，则直线为y轴，则各点的坐标分别为

，，，，不满足；

②若直线的斜率存在，设为，设，，

设直线的方程为与椭圆联立得到：

.

因为，且，

因为点在直线上，所以，

因为所以，

即，所以解得符合.

所以直线的方程为

22．已知函数.

(1)当时，求f（x）的极值；

(2)若函数f（x）至少有两个不同的零点，求a的最大值.

【答案】(1)极大值，极小值

(2)-3

【分析】（1）先求出单调区间再分别求出极值；

（2）通过参变分离转化为研究的单调性和图像，进而求出参数范围.

【详解】(1)解：f（x）的定义域是（0，+∞），当时，

.

或.

或，故f（x）在区间（0，）与（1，+∞）单调递增，

，故f（x）在区间单调递减

所以当时，f（x）有极大值

当时，f（x）有极小值

(2)f（x）至少有两个不同的零点，

则等价于方程至少有两个相异实数根，

由，得

设，则，

令，则，

令，可得或（舍）.

所以在（0，）上，，h（x）单调递减，

在（，+∞）上，，h（x）单调递增，

所以函数h（x）的最小值为，

又，所以当时，

又，

因此必存在唯一，使得.

当x变化时，h（x），，F（x）的变化情况如下表

当时，F（x）有极大值，当时，F（x）有极小值F（1）

又，，且时，

所以可得时，

直线与函数的图象至少有两个公共点，

所以a的最大值为-3.