2021-2022学年内蒙古师范大学附属中学高二上学期期末考试数学（理）试题含解析

2021-2022学年内蒙古师范大学附属中学高二上学期

期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．函数的导函数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用复合函数求导法则即可求导.

【详解】，

故选：B.

2．命题：，的否定为（       ）

A．， B．不存在，

C．， D．，

【答案】D

【分析】含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论即可．

【详解】解：命题：，的否定为：，．

故选：D．

3．某商场有四类食品，其中粮食类､植物油类､动物性食品类以及果蔬类分别有40种､10种､30种､20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】按照分层抽样的定义进行抽取.

【详解】按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4:1:3:2，抽20个出来，

则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个，

则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.

故选：C.

4．已知直线和互相平行，则实数的取值为（　　）

A．或3 B． C． D．1或

【答案】B

【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.

【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，

∴

解得 m=﹣1，

故选B．

【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：

已知，

，

则，

．

5．设函数，则和的值分别为（       ）

A．、 B．、 C．、 D．、

【答案】D

【分析】求得，即可求得、的值.

【详解】，则，则，故，.

故选：D.

6．设函数，则（       ）

A．1 B．5 C． D．0

【答案】B

【分析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.

【详解】由题意，所以，

所以原式等于.

故选：B.

7．已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】此方程表示点到点的距离与到点的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点的轨迹是双曲线的右支，

，的轨迹方程是，故选C.

8．试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为　　

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．

过点P作于点，由定义可得,

所以，

由图形可得，当三点共线时，最小，此时．

故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A．

点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略

该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．

9．已知，，，则的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用微积分基本定理计算,利用积分的几何意义求扇形面积得到,然后比较大小.

【详解】,

表示以原点为圆心，半径为2的圆在第二象限的部分的面积，

∴；

，

∵e=2.71828…>2.7,，

，

,

故选：

10．第届全运会于年月在陕西西安顺利举办，其中水上项目在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元，设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意得到泳池维修费用的的解析式，再利用导数求出最值即可．

【详解】解：设泳池维修的总费用为元，则由题意得

，

则，

令，解得，

当时，；

当时，，

故当时，有最小值．

因此，当较短池壁为时，泳池的总维修费用最低．

故选A．

11．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

A．函数有极大值 和极小值

B．函数有极大值 和极小值

C．函数有极大值 和极小值

D．函数有极大值 和极小值

【答案】D

【详解】则函数增；

则函数减；

则函数减；

则函数增；选D.

【考点定位】

判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减

12．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（       ）

A．（e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]

【答案】B

【解析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.

【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，

由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，

在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，

所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，

又，所以当时，，当时，，

则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，

图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，

可得a–4≤0<e<，解得ea≤4．

故选:B．

【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.

二、填空题

13．设函数满足，则______.

【答案】5

【详解】试题分析：

【解析】函数导数与求值

14．已知圆，以点为中点的弦所在的直线的方程是___________．

【答案】

【分析】设，利用以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于AC的直线求得直线斜率，由点斜式可求得直线方程

【详解】圆的方程可化为，可知圆心为．

设，则以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于的直线．又知，所以，所以直线的方程为，即．

故答案为：

【点睛】本题考查圆的几何性质，考查直线方程求解，是基础题

15．已知函数的图象上有一点，则曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【解析】利用导数求得为增函数，根据，求得，进而求得，得出即在点处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解．

【详解】由题意，点在曲线上，可得，

又由函数，则，

所以函数在上为增函数，且，所以，

因为，所以，即在点处的切线的斜率为2，

所以曲线在点的切线方程为，即.

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

16．已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为___________.

【答案】

【详解】设，由余弦定理知，所以，故填.

三、解答题

17．已知在时有极值0.

（1）求常数，的值；

（2）求在区间上的最值.

【答案】（1），；（2）最小值为0，最大值为4.

【分析】（1）对求导，根据在时有极值0，得到，再求出，的值；

（2）由（1）知，，然后判断的单调性，再求出的值域．

【详解】解：（1），由题知：

联立（1）､（2）有(舍)或.当时在定义域上单调递增，故舍去；所以，，经检验，符合题意

（2）当，时，故方程有根或由，得或由得，函数的单调增区间为：，，减区间为：.函数在取得极大值，在取极小值；经计算，，，，所以最小值为0，最大值为4.

18．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足．

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，即可求出、，即可求出椭圆方程；

（2）首先求出直线斜率不存在时弦显然可得直线的斜率存在，设直线方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据弦长公式得到方程，求出，即可得解；

【详解】(1)解：依题意，解得，所以椭圆方程为；

(2)解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线方程为，则，消元整理得，设，，则，，所以，即，解得，所以直线的方程为；

19．已知函数，其中，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）当时，，求出函数的导函数，再求出，，再利用点斜式求出切线方程；

（2）首先求出函数的导函数，再对参数分类讨论，求出函数的单调区间；

【详解】解：（1）当时，，

所以，所以，，

所以切线方程为：，即：

（2）函数定义域为，，

因为，

①当时，在上恒成立，

所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

②当时，由得，

由得，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为

【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究含参函数的单调区间，属于基础题.

20．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．

（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；

（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；

（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.

【详解】

（1）连

以为轴建立空间直角坐标系，则

从而直线与所成角的余弦值为

（2）设平面一个法向量为

令

设平面一个法向量为

令

因此

【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.

21．如图，在三棱锥中，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；

（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．

【详解】（1）因为，为的中点，所以，且．

连结．

因为，

所以为等腰直角三角形，

且

由知．

由知平面．

（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ．

由已知得

取平面的法向量．

设，则．

设平面的法向量为．

由得 ，

可取

所以 ．由已知得 ．

所以 ．解得(舍去)， ．

所以 ．

又 ，所以 ．

所以与平面所成角的正弦值为．

【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．

22．【2018年新课标I卷文】已知函数．

（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；

（2）证明：当时，．

【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.

【详解】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；

(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.

详解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．

由题设知，f ′（2）=0，所以a=．

从而f（x）=，f ′（x）=．

当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．

所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．

（2）当a≥时，f（x）≥．

设g（x）=，则

当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．

故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．

因此，当时，．

点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.