2021-2022学年湖北省武汉市四校联合体高二上学期期末考试数学试题含解析

2021-2022学年湖北省武汉市四校联合体高二上学期期末考试

数学试题

一、单选题

1．抛物线的焦点坐标为（       ）

A． B． C．  D．

【答案】D

【解析】根据抛物线焦点在轴上，焦点坐标为即可求解.

【详解】由可知抛物线焦点在轴上，且，所以，

故焦点坐标为：，

故选：D

2．已知数列为等比数列，若，，则的值为（       ）

A．8 B． C．16 D．±16

【答案】A

【分析】利用等比数列的通项公式即可求解.

【详解】因为为等比数列，设的公比为，

则，，

两式相除可得，所以，

所以，

故选：A.

3．已知数列中，且满足，则（       ）

A．2 B．﹣1 C． D．

【答案】C

【分析】首先根据数列的递推公式求出数列的前几项，即可得到数列的周期性，即可得解；

【详解】解：因为且，所以，，，所以是周期为的周期数列，所以，

故选：C

4．如图，在四面体OABC中，，，，点在线段上，且，为的中点，则等于（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式.

【详解】

.

故选：D.

5．已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么（       ）

A．3：5 B．3：4 C．5：3 D．4：3

【答案】A

【分析】求出椭圆的焦点坐标，再根据点在椭圆上，线段的中点在轴上,求得点坐标，进而计算，从而求解.

【详解】由椭圆方程可得：,

设点坐标为，线段的中点为，

因为线段的中点在轴上，所以，即，代入椭圆方程得或，

不妨取,则，

所以 ，

故选：A.

6．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（       ）

A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺

【答案】B

【分析】设影长依次成等差数列，公差为，根据题意结合等差数列的通项公式及前项和公式求出首项和公差，即可得出答案.

【详解】解：设影长依次成等差数列，公差为，

则，前9项之和，

即，解得，

所以立春的日影长为.

故选：B.

7．已知，，若直线上存在点P，满足，则l的倾斜角的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，求得直线恒过的定点，数形结合只需求得线段与直线有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果.

【详解】对直线，变形为，故其恒过定点，

若直线存在点P，满足，只需直线与线段有交点即可.

数形结合可知，当直线过点时，其斜率取得最大值，此时，对应倾斜角；

当直线过点时，其斜率取得最小值，此时，对应倾斜角为.

根据斜率和倾斜角的关系，要满足题意，直线的倾斜角的范围为：.

故选：A.

8．已知实数x，y满足，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.

【详解】因为实数，满足，

所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点），

当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，

当时，其图象不存在，

当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，

作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：

任意一点到直线的距离

所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，

双曲线，其中一条渐近线与直线平行，

通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，

设与其图像在第一象限相切于点，

由

因为或（舍去）

所以直线与直线的距离为

此时，

所以的取值范围是．

故选：B．

【点睛】三种距离公式：

（1）两点间的距离公式：

平面上任意两点间的距离公式为；

（2）点到直线的距离公式：

点到直线的距离;

（3）两平行直线间的距离公式：

两条平行直线与间的距离.

9．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点N．下列说法正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则平分

C．若，则 D．若，延长AO交直线于点D，则D，B，N三点共线

【答案】D

【分析】根据求出焦点为、点坐标，可得直线的方程与抛物线方程联立得点坐标，由两点间的距离公式求出可判断AC；

时可得，．由可判断B；

求出点坐标可判断D.

【详解】如图，若，则，C的焦点为，因为，所以，

直线的方程为，整理得，与抛物线方程联立得

，解得或，所以，

所以，选项A错误；

时，因为，所以．又，

，所以不平分，选项B不正确；

若，则，C的焦点为，因为，所以，

直线的方程为，所以，

所以，选项C错误；

若，则，C的焦点为，因为，所以，

直线的方程为，所以，直线的方程为，延长交直线于点D，所以则，

所以D，B，N三点共线，选项D正确；

故选： D.

二、多选题

10．关于x，y的方程表示的曲线可以是（       ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线

【答案】AB

【分析】对m进行分类讨论，即可判断出方程表示的曲线.

【详解】要使方程有意义，只需：且.

当时，由，方程表示的曲线是椭圆，故A正确；

当时，由，方程表示的曲线是双曲线，故B正确；

当时，方程表示的曲线不存在.

故选：AB.

11．关于空间向量，下列说法正确的是（       ）

A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则

B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则

C．平面，的法向量分别为，，则

D．若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面

【答案】AD

【分析】利用可判断A；由可判断B；由可判断C；由可判断D.

【详解】对于A，直线l的方向向量为，直线m的方向向量，

由，则，故正确

对于B，直线l的方向向量为，平面的法向量为，

所以，则，故错误；

对于C，平面，的法向量分别为，，

所以，，则，故错误；

对于D，，得，则P，A，B，C四点共面，故正确.

故选：AD.

12．裴波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．裴波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示裴波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用递推公式逐项计算可得的值，可判断A选项；推导出，，两式相加可判断B选项；推导出，利用裂项相消法可判断C选项；推导出，利用裂项相消法可判断D选项.

【详解】对于A选项，，，，，A对；

对于B选项，当时，，①

，可得，②

①②得，B对；

对于C选项，对任意的，，则，

因此，，C错；

对于D选项，，

因此，

，D对.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知直线，，若，则实数______．

【答案】

【分析】由直线垂直可得到关于实数a的方程，解方程即可.

【详解】由直线垂直可得：，解得：.

故答案为：．

14．中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接2022年春节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂______盏灯笼．

【答案】

【分析】根据给定条件，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，利用等比数列前n项和公式计算作答.

【详解】依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，公比，前9项和为1533，

于是得，解得，

所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼.

故答案为：3

15．已知动圆P过定点，且在定圆的内部与其相内切，则动圆P的圆心的轨迹方程为______．

【答案】

【分析】设切点为，根据题意，列出点满足的关系式即．则点的轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程求点的轨迹方程．

【详解】设动圆和定圆内切于点，

动点到定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，

即，

点的轨迹是以，为两焦点，长轴长为10的椭圆，

，

点的轨迹方程为，

故答案：．

16．已知、是空间内两个单位向量，且，如果空间向量满足，且，，则对于任意的实数、，的最小值为______．

【答案】

【分析】根据已知可设，，，根据已知条件求出、、的值，将向量用坐标加以表示，利用空间向量的模长公式可求得的最小值.

【详解】因为、是空间内两个单位向量，且，

所以，，因为，则，

不妨设，，

设，则，，解得，则，

因为，可得，

则，

所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，对于任意的实数、，的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由成等比数列得首项，从而得到通项公式；

（2）利用裂项相消求和可得答案.

【详解】(1)设数列的公差为，

∵成等比数列，∴，

即，

∴，由题意

故，得，

即.

(2)，

∴

．

18．已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.

【答案】(1)，曲线是一个双曲线，除去左右顶点

(2)

【分析】（1）设，则的斜率分别为，，根据题意列出方程，化简后即得C的方程，根据方程可以判定曲线类型，注意特殊点的去除；

（2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式计算可得.

【详解】(1)解：设，则的斜率分别为，，

由已知得，

化简得，

即曲线C的方程为，

曲线是一个双曲线，除去左右顶点.

(2)解：联立消去整理得，

设，，则，

.

19．如图，正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，点为的中点，点在直线上，且．

(1)证明：面；

(2)求平面和平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果.

【详解】(1)证明：正中，点为的中点，，

因为平面，平面，则，

，则平面，

平面，则，

又，且，平面.

(2)解：因为，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

平面，平面，则，

又因为，，故平面，

所以，平面的一个法向量为，

则.

因此，平面和平面夹角的余弦值为.

20．为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．

(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；

(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？

【答案】(1)；

(2)会驶入安全预警区，行驶时长为半小时

【分析】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；

（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.

【详解】(1)由题意得，∴；

(2)设圆的方程为，

因为该圆经过三点，∴，得到.

所以该圆的方程为：，

化成标准方程为：.

设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，

圆心（6，8）到直线的距离，

所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.

直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.

即在安全警示区内行驶时长为半小时.

21．设等比数列的前n项和为，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质，即可求出数列的通项公式；

（2）根据等差数列的性质，可得，可得，再利用错位相减法即可得出．

【详解】(1)解：∵①

时，②

①−②

而，由为等比数列，∴，

∴；

(2)解： ，∴

∴①

②

①−②

，

∴

22．已知直线经过椭圆的右焦点，且椭圆C的离心率为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)以椭圆的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为，试判断的周长是否为定值．若是，求出该定值．

【答案】(1)

(2)周长是定值，且定值为4

【分析】（1）首先求出直线与轴的交点，即可求出，再根据离心率求出，最后根据求出，即可得解；

（2）：设直线的方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可表示出弦的长，再根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即可得到，再求出、，最后根据计算即可得解；

【详解】(1)解：因为经过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，可得：，

又，可得：，由，所以，

∴椭圆的标准方程为 ；

(2)解：设直线的方程为，

由得：，

所以，

设，，则：

，

所以

.

因为直线与圆相切，所以，即，

所以，

因为，

又，

所以，

同理.       

所以

，

即的周长是定值，且定值为4．