2021-2022学年山西省怀仁市第一中学高二上学期期末数学（理）试题含解析

2021-2022学年山西省怀仁市第一中学高二上学期期末

数学（理）试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（       ）．

A．30° B．60° C．90° D．120°

【答案】B

【分析】根据给定方程求出直线斜率，再利用斜率的定义列式计算得解.

【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，

显然，则有，解得，

直线的倾斜角为.

故选：B

2．已知椭圆，则下列结论正确的是（       ）．

A．长轴长为2 B．焦距为

C．短轴长为 D．离心率为

【答案】D

【分析】根据已知条件求得，由此确定正确答案.

【详解】依题意椭圆，

所以，

所以长轴长为，焦距为，短轴长为，ABC选项错误.

离心率为，D选项正确.

故选：D

3．记等差数列的前n项和为，若，，则等于（       ）．

A．5 B．31 C．38 D．41

【答案】A

【分析】设等差数列的公差为d，首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.

【详解】解：设等差数列的公差为d，由题知：，解得.

故选：A.

4．已知，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据复合函数求导法则计算．

【详解】由题意，

故选：A．

【点睛】本题考查复合函数的求导法则，掌握复合函数求导法则是解题基础．

5．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则（       ）

A．16 B． C．14 D．

【答案】B

【分析】由题意得到，根据等比数列的性质得到，化简，即可求解.

【详解】由，是函数的两个不同零点，

可得，根据等比数列的性质，可得

则.

故选：B.

6．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为（       ）

A．10 B．20 C．30 D．40

【答案】B

【分析】设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.

【详解】因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为

由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，

因为离心率为，即，可得，

所以，

所以双曲线的方程为：，

因为瓶口直径为20厘米，根据对称性可知颈部最右点横坐标为，

将代入双曲线可得，解得：，

所以颈部高为，

故选：B

7．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意参变分离得到，求出的最小值，进而求出实数a的取值范围.

【详解】由题意得：在上恒成立，即，其中在处取得最小值，，所以，解得：，

故选：D

8．已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出圆、的圆心和半径，再由两圆没有公共点列不等式求解作答.

【详解】圆的圆心，半径，

圆的圆心，半径，，

因圆、没有公共点，则有或，

即或，又，解得或，

所以实数a的取值范围为.

故选：B

9．函数在上的极大值点为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出函数的极大值点．

【详解】，

∴当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴函数在的极大值点为．

故选：C

10．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可

【详解】解：由题意可得，

整理得，

当时，不等式化简为恒成立，所以，

当时，不等式化简为恒成立，所以，

综上，，

所以实数的取值范围是，

故选：D

11．抛物线的焦点为F，A，B是拋物线上两点，若，若AB的中点到准线的距离为3，则AF的中点到准线的距离为（       ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】结合抛物线的定义求得，由此求得线段的中点到准线的距离．

【详解】抛物线方程为，则，

由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知，

即，

所以线段的中点到准线的距离为.

故选：C．

12．函数的导函数为，对任意，都有成立，若，则满足不等式的的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性即可得解.

【详解】对任意，都有成立，即．

令，则，

所以函数在上单调递增．

不等式即，即．

因为，所以．

所以，，解得，

所以不等式的解集为．

故选：C.

二、填空题

13．若圆C的方程为，点P是圆C上的动点，点O为坐标原点，则的最大值为______．

【答案】

【分析】根据点与圆的位置关系求得正确答案.

【详解】圆的方程可化为，

所以圆心为，半径.

由于，所以原点在圆外，

所以的最大值为.

故答案为：

14．已知函数，则______．

【答案】

【分析】根据给定条件，两边求导再赋值计算得解.

【详解】函数，求导得：函数，

当时：，解得，

所以.

故答案为：

15．已知等差数列的公差，等比数列的公比q为正整数，若，，且是正整数，则______．

【答案】

【分析】由已知等差、等比数列以及，，是正整数，可得，结合q为正整数，进而求.

【详解】由，，令，

其中m为正整数，有，又为正整数，所以

当时，解得，当时，解得不是正整数，

故答案为：

16．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为______．

【答案】

【分析】根据给定条件求出两曲线的共同焦点，再由椭圆、双曲线定义求出a，b即可计算作答.

【详解】椭圆的焦点，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点P在第一象限，

因为等腰三角形，由椭圆的定义知：，则，，

由双曲线定义知：，即，，，

所以双曲线的渐近线为：.

故答案为：

【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线

(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.

三、解答题

17．已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据给定条件求出数列的公比即可计算得解.

(2)由(1)的结论求出，然后利用分组求和方法求解作答.

(1)

设等比数列的公比为q，而，且是递增数列，则，，解得，

所以数列的通项公式是：.

(2)

由(1)知，，，

，

所以数列的前n项和.

18．已知圆的圆心在直线上，且经过点和.

(1)求圆的标准方程；

(2)若过点且斜率存在的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆心，由题意得，，结合两点间的距离公式求解的值，则圆心与半径可求，圆的方程可求；

（2）若直线的斜率不存在，设直线的方程为，符合题意，若直线的斜率存在，设直线方程为，即，由圆心到直线的距离与半径关系求得，则直线方程可求

(1)

解：（1）设圆心，由题意得，，

，解得.

圆心坐标为，半径.

则圆的方程为；

(2)

解：（2）直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

，圆心到直线的距离，

即，解得，

得直线的方程为.

19．已知函数，.

（1）当时，求函数在区间上的最大值；

（2）当时，求函数的极值.

【答案】（1）2（2）当时，没有极值；当时，极大值为，极小值为.

【分析】（1）当时，，可得：.，，得或，列出函数单调性表格，即可最大值；

（2），令，得或，分别讨论和，即可求得的极值.

【详解】（1）当时，，

所以.

令，得或，

列表如下：

由于，，

所以函数在区间上的最大值为2.

（2），

令，得或.

当时，，所以函数在上单调递增，无极值.

当时，列表如下：

函数的极大值为，极小值为.

【点睛】本题主要考查根据导数求函数单调性和极值，解题关键是掌握导数求单调性的方法和极值定义，考查分析能力和计算能力，属于中档题.

20．已知在等差数列中，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若的前n项和为，且，，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据给定条件求出数列的公差即可求解作答.

(2)由已知条件求出数列的通项，再利用错位相减法计算作答.

(1)

等差数列中，，解得，则公差，

所以数列的通项公式为：.

(2)

的前n项和为，，，则当时，，

于是得，即，而，

即，，因此，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，

由(1)知，，

则，

因此，

，

，

所以数列的前n项和.

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且满足．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程．

【答案】(1)；

(2)理由见解析，圆的方程为.

【分析】(1)根据给定条件可得，结合勾股定理、椭圆定义求出a，b得解.

(2)联立直线l与椭圆C的方程，利用给定条件求出k，m的关系，再求出原点O到直线l的距离即可推理作答.

(1)

因，则，点在椭圆C上，则椭圆C的半焦距,，

，因此，，解得，，

所以椭圆C的标准方程是：.

(2)

由消去y并整理得：，

依题意，，设，

，因，

则

，

于是得，此时，，则原点O到直线l的距离，

所以，存在以原点O为圆心，为半径的圆与直线l相切，此圆的方程为.

【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为，

再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k，m的关系，然后推理求解.

22．已知函数．

(1)若在点处的切线与轴平行，求的值；

(2)当时，求证：；

(3)若函数有两个零点，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）由可求得实数的值；

（2）利用导数分析函数的单调性，求得，即可证得结论成立；

（3）分析可知在上存在唯一的极值点，且，可得出，构造函数，分析函数的单调性，求得的取值范围，再构造，分析函数的单调性，求出的范围，即可得出的取值范围.

(1)

解：因为的定义域为，.

由题意可得，解得.

(2)

证明：当时，，该函数的定义域为，，

令，其中，则，故函数在上递减，

因为，，

所以，存在，使得，则，且，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以，，

所以，当时，.

(3)

解：函数的定义域为，.

令，其中，则，所以，函数单调递减，

因为函数有两个零点，等价于函数在上存在唯一的极值点，且为极大值点，且，

即，所以，，

令，其中，则，

故函数在上单调递增，

又因为，由，可得，

构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，

故，因此，实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.