2021-2022学年江苏省南京市金陵中学高二上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年江苏省南京市金陵中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．经过直线 与直线 的交点，且平行于直线 的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出两直线的交点坐标，可设所求直线的方程为，将交点坐标代入求得，即可的解.

【详解】解：由，解得，即两直线的交点坐标为，

设所求直线的方程为，

则有，解得，

所以所求直线方程为，即.

故选：B.

2．已知等比数列满足，，则数列前6项的和（       ）

A．510 B．126 C．256 D．512

【答案】B

【分析】设等比数列的公比为，由题设条件，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】设等比数列的公比为，

因为，，可得，

解得，

所以数列前6项的和.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

3．若圆与圆相外切，则的值为（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.

【详解】由可得，所以圆的圆心为，半径为，

由可得，所以圆的圆心为，半径为，

因为两圆相外切，所以，解得，

故选：D

4．下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝30cm，则|AD|＝（       ）

A．10cm B．20cm C．25cm D．30cm

【答案】B

【分析】由离心率求出双曲线方程，由对称性设出点A，B，D坐标，求出坐标，求出答案.

【详解】由题意得：，解得：，因为离心率，所以，，故双曲线方程为，设，则，，则，所以，则，解得：，故.

故选：B

5．已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知不等式和要求解的不等式特征，构造函数，将问题转化为解不等式.通过已知条件研究g(x)的奇偶性和单调性即可解该不等式.

【详解】令，

则根据题意可知，，∴g(x)是奇函数，

∵，

∴当时，，单调递减，

∵g(x)是奇函数，g(0)＝0，∴g(x)在R上单调递减，

由不等式得，

.

故选：A.

6．函数的图象的大致形状是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】对A，根据当时，的值即可判断；对B，根据函数在上的单调性即可判断；对C，根据函数的奇偶性即可判断；对D，根据函数在上的单调性即可判断.

【详解】解：对A，当时，，故A错误；

对B，的定义域为，

且，

故为奇函数；

，

当时，当时，，

即，

又，

，

故存在，

故在单调递增，单调递减，单调递增，故B正确；

对C，为奇函数，故C错误；

对D，函数 在上不单调，故D错误.

故选：B.

7．已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为，公比为的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.

【详解】解：依题意，当时，，则，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即，

所以，

所以

，

所以的取值范围是.

故选：C.

8．已知数列满足，在任意相邻两项与 (k＝1，2，…)之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，则的值为（       ）

A．162 B．163 C．164 D．165

【答案】C

【分析】确定数列的前70项含有的前6项和64个2，从而求出前70项和.

【详解】，其中之间插入2个2，之间插入4个2，之间插入8个2，之间插入16个2，之间插入32个2，之间插入64个2，由于，，故数列的前70项含有的前6项和64个2，故

故选：C

二、多选题

9．已知等差数列的前n项和为，且，，，则（       ）

A．数列是递增数列 B．

C．当时，最大 D．当时，n的最大值为14

【答案】BCD

【分析】利用等差数列的性质可知，进而得出，，依次判断各选项即可得出结果.

【详解】等差数列中，，，，

，公差，数列是递减数列，A错误

，

，B正确.

，数列是递减数列，

当时，最大,C正确.

,

,.

当时，n的最大值为14,D正确.

故选:BCD.

10．已知函数f (x)的定义域为R，导数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的有（       ）

A．函数f (x)的单调递减区间是

B．函数f (x)的单调递增区间是

C．x＝0是函数f (x)的零点

D．x＝－2时函数f (x)取极小值

【答案】BD

【分析】根据的图像，分析出各个区间的导函数的符号即可判断每个区间的单调性.

【详解】由图可知，当 ，   ，即 是单调递减的，

当 时，   ，是单调递增的，

时， ，是单调递增的，

∴在x=-2时取极小值，故A错误，B正确，D正确，

对于C，不能判定是的零点，故错误；

故选：BD.

11．已知P(x，y)为曲线上一动点，则（       ）

A．若z＝x－y，则z的最大值为1

B．存在一个定点和一条定直线，使得点P到该定点的距离等于点P到该定直线的距离

C．P到直线y＝－x－2的距离的最小值为

D．的最小值为6

【答案】ABD

【分析】由曲线为抛物线的右半部分（包含原点）即可判断B正确；借助二次函数的最值即可判断A正确；

数形结合判断C选项错误；利用抛物线的定义即可求出的最小值，从而判断D正确.

【详解】

由题意知：，即曲线为抛物线的右半部分（包含原点），由抛物线定义可知，B正确；

，当时，，A正确；

由图像可知，原点到直线y＝－x－2的距离最小，此时距离为，C错误；

设点，易知抛物线焦点为，准线为，设点到准线的距离为，

则，D正确.

故选：ABD.

12．已知函数，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（       ）

A．函数y＝f(x)－g(x)在(0，1)上单调递减

B．函数y＝f(x)－g(x)的最小值大于2

C．若P，Q分别是曲线y＝f(x)和y＝g(x)上的动点，则|PQ|的最小值为

D．若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则

【答案】BCD

【分析】AB.令，用导数法判断；C. 由与关于对称，且与切于，与切于求解判断；D.将f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，转化为对恒成立，用导数法求解判断.

【详解】解：设，则，

所以在上递增，又，又，

则存在，当时，，递减，当时，，递增，故A错误；

有，即，

所以当时，，当时，，

所以，又，则，故B正确；

易知与关于对称，

且与切于，与切于，

所以|PQ|的最小值为，故C正确；

若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则对恒成立，

令，则，所以在上递增，则，

即，令，则，

当时，，当时，，

所以，则，解得，故D错误；

故选：BCD

三、填空题

13．曲线在点处的切线方程为______．

【答案】

【分析】求导后令求出切线斜率，即可写出切线方程.

【详解】由题意知：，当时，，故切线方程为，即.

故答案为：.

14．已知是等差数列，，，设，数列的前n项的和为，则______．

【答案】-3033

【分析】先求得，进而得到，再利用并项法求解.

【详解】解：因为是等差数列，且，，

所以，解得，

所以，则，

所以，

，

，

，

.

故答案为：-3033

15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一点，满足 (O为坐标原点)．若，则椭圆的离心率为______．

【答案】

【分析】由可得，再结合椭圆的性质可得为直角三角形，由题意设，则，由勾股定理可得，再结合椭圆的定义可求出离心率

【详解】因为，

所以，所以，

因为，

所以，

所以为直角三角形，即，

所以

设，则，

所以，得，

因为则，

所以，所以，即离心率为，

故答案为：

16．已知函数集合，若A 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为______．

【答案】32

【分析】作出的图像，由时，不等式成立，所以，判断出符合条件的非零整数根只有三个，即等价于时，；时，；利用数形结合，进行求解.

【详解】作出的图像如图所示：

因为时，不等式成立，所以，符合条件的非零整数根只有三个.

由可得：

时，；时，；

所以在y轴左侧，的图像都在的下方；在y轴右侧，的图像都在的上方；

而，，，，.

平移直线，由图像可知：

当时，集合A中除了0只含有1，2，3，符合题意，此时整数a可以取：-23，-22，-21……-9.一共15个；

当时，集合A中除了0含有1，-1，-2，符合题意.

当时，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合题意，此时整数a可以取：5，6，7……20一共16个.

所以整数a的值一共有15+1+16=32（个）.

故答案为：32

【点睛】分离参数法求零点个数的问题是转化为，分别做出和的图像，观察交点的个数即为零点的个数．用数形结合法解决零点问题常有以下几种类型：

(1)零点个数：几个零点；

(2)几个零点的和；

(3)几个零点的积.

四、解答题

17．已知圆的圆心在直线上，且过点

（1）求圆的方程；

（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）根据题意设圆心坐标为，进而得，解得，故圆的方程为

（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.

【详解】（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为

∵ 过点，

解得

∴ 所求圆的方程为

（2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2

①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由于直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为

故由点到直线的距离公式得：

解得，所以直线l的方程为

综上所述，则直线l的方程为或

【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.

18．已知等差数列中，，，等比数列中，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求的最小值．

【答案】(1)

(2)0

【分析】（1）利用等差数列通项公式基本量的计算可求得，进而利用等比数列的基本量的计算即可求得数列的通项公式；

（2）由（1）可知，则，观察分析即可解．

【详解】(1)设等差数列的公差为d，所以由，，

得

所以，从而，，

所以，，q＝3，所以．

(2)由（1）可知，所以，

当n＝1时，为正值﹐所以；

当n＝2时，为负值﹐所以；

当时，为正值﹐所以．

又

综上：当n＝3时，有最小值0．

19．已知函数f(x)＝ax－2lnx．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）根据实数a的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；

（2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.

【详解】(1)

当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立；

当a＞0时，令得；令得；

综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；

(2)由题意知 ax－2lnx≤x－2 在(0，＋∞)上有解

则ax≤x－2＋2lnx，．

令，

所以，因此有

所以a的取值范围为：

【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.

20．等差数列的公差d不为0，满足成等比数列，数列满足.

(1)求数列与的通项公式：

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列的通项公式得到方程求出公差，即可求出的通项公式，由，当时，求出，当时，两式作差，即可求出；

（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；

【详解】(1)解：由已知，又，所以

故

解得（舍去）或

∴

∵①

故当时，可知，∴，

当时，可知②

①②得

∴又也满足，故当时，都有；

(2)解：由（1）知，

故③，

∴④，

由③④得

整理得.

21．已知椭圆C：经过点，且离心率为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切线l与椭圆交于A，B两点，都有．若存在，求出r的值，并求此时△AOB的面积S的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，，

【分析】（1）利用离心率和椭圆所过的点列出方程组，求出，求出椭圆方程；（2）假设存在，分切线斜率存在和不存在分类讨论，根据向量数量积为0求出r的值，表达出△AOB的面积，利用基本不等式求出的取值范围，进而求出△AOB面积的取值范围.

【详解】(1)因为椭圆C：的离心率，且过点．

所以解得

所以椭圆C的方程为．

(2)假设存在⊙O：满足题意，

①切线方程l的斜率存在时，设切线方程l：y＝kx＋m与椭圆方程联立，

消去y得，()

设，，由题意知，()有两解

所以，即

由根与系数的关系可得

，

所以

因为，所以，即

化简得，且，

O到直线l的距离

所以，又，此时，所以满足题意

所以存在圆的方程为⊙O：．

△AOB的面积，

又因为

当k≠0时

当且仅当即时取等号．

又因为，所以，所以．

当k＝0时，

②斜率不存在时，直线与椭圆交于两点或两点．

易知存在圆的方程为⊙O：且．

综上，所以．

【点睛】求解圆锥曲线相关的三角形或四边形面积取值范围问题，需要先设出变量，表达出面积，利用基本不等式或者配方，导函数等求出最值，求出取值范围，特别注意直线斜率存在和不存在的情况，需要分类讨论.

22．函数．

(1)求在上的单调区间；

(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为和

(2)

【分析】（1）求出，然后可得答案；

（2）由条件可得，设，则，然后利用导数可得在上单调递增，，然后分、两种情况讨论求解即可.

【详解】(1)由题可得

令，得；

令，得，

所以f(x)的单调递增区间为；单调递减区间为和．

(2)由，得，

即．

设，则．

设，则．

当时，，，所以．

所以即在上单调递增，

则．

若，则，

所以h(x)在上单调递增．

所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合题意．

若a＞2，则，必存在正实数，

满足：当时，，h(x)单调递减，

此时h(x)＜h(0)＝0，不符合题意．

综上所述，a的取值范围是．