2021-2022学年江西省九江市第一中学高二上学期期末数学（理）试题含解析

2021-2022学年江西省九江市第一中学高二上学期期末

数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，集合或，是实数集，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先化简集合，再由集合的交集、补集运算求解即可．

【详解】，或，故．

故选：A

2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由复数除法求得后可得其共轭复数．

【详解】由题意，∴．

故选：D．

3．已知数列满足，且，那（       ）

A．19 B．31 C．52 D．104

【答案】D

【分析】根据等比数列的定义，结合等比数列的通项公式进行求解即可.

【详解】因为，所以有，因此数列是公比的等比数列，

因为，

所以，

故选：D

4．若直线与圆：相切，则（       ）

A．-2 B．-2或6 C．2 D．-6或2

【答案】B

【分析】利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出的值.

【详解】圆心为，半径为，由题意得：，解得：或6.

故选：B

5．下列说法中正确的是（       ）

A．命题“若，则”的否命题是真命题；

B．若为真命题，则为真命题；

C．“”是“”的充分条件；

D．若命题：“，”，则：“，”．

【答案】C

【分析】A.写出原命题的否命题，即可判断其正误；

B.根据为真命题可知的p,q真假情况，由此判断的真假；

C.看命题“”能否推出“”，即可判断；

D.根据含有一个量词的命题的否定的要求，即可判断该命题的正误.

【详解】A.命题“若x=y，则sin x=sin y”，其否命题为若“ ，则”为假命题，因此A不正确；

B. 命题“ ”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，当二者为一真一假时，为假命题，故B不正确．

C.命题“若 ，则”为真命题，故C正确；

D. 命题：“，”，为特称命题，其命题的否定：“，”，故D错误，

故选：C

6．（       ）

A．-2 B．0 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据定积分公式直接计算即可求得结果．

【详解】由

故选：C

7．设，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出，再利用二倍角公式、和差角公式即可求解.

【详解】因为，且，所以.

所以，，

所以.

故选：B

8．已知函数，则满足不等式的的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数判断函数的单调性，根据单调性即可解不等式．

【详解】由则函数在上单调递增

又，所以，解得

故选：A

9．已知，，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数的性质和幂函数的单调性可得正确的选项.

【详解】因为，故，故，

又，在上的增函数，故，

故，

故选：D.

10．如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，；若，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意求得，化简得到，结合，求得的值，即可求解.

【详解】在中，，，，AD为BC边上的高，

可得，

由

又因为，所以，所以.

故选：B.

11．球O为三棱锥的外接球，和都是边长为的正三角形，平面PBC平面ABC，则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取中点为T，以及的外心为，的外心为，依据平面平面可知为正方形，然后计算外接球半径，最后根据球表面积公式计算.

【详解】设中点为T，的外心为，的外心为，

如图

由和均为边长为的正三角形

则和的外接圆半径为，

又因为平面PBC平面ABC， 所以平面，可知

且，过分别作平面、平面的垂线相交于

点即为三棱锥的外接球的球心，

且四边形是边长为的正方形，

所以外接球半径，

则球的表面积为，

故选：B．

12．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率．

【详解】由题意，

又，所以，从而，，，

中，，

中．，

所以，，所以，

故选：C．

二、填空题

13．设实数、满足约束条件，则的最小值为___________.

【答案】2

【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线后可得目标函数的最小值.

【详解】不等式组对应的可行域如图所示：

将初始直线平移至点时，可取最小值，

由可得，故，

故答案为：2.

14．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．

【详解】解：∵，∴，又，

∴曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：.

15．将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第行从左向右的第2个数为____________.

【答案】

【分析】通过观察、分析、归纳，找出规律运算求解即可．

【详解】前行共有正整数个，即个，

因此第行第个数是全体正整数中第个，即为．

故答案为：

16．如图所示四棱锥，底面ABCD为直角梯形，，，，，是底面ABCD内一点（含边界），平面MBD，则点O轨迹的长度为_____________.

【答案】

【分析】绘出如图所示的辅助线，然后通过平面平面得出点轨迹为线段，最后通过求出、的长度即可得出结果.

【详解】如图，延长到点，使且，连接，

取上点，使得，作，交于点，交于点，连接，

因为，所以，

因为，又，所以，，

因为，，，

所以平面平面，

因为平面，面，所以点轨迹为线段，

因为，，所以，

因为，，，所以，

因为底面为直角梯形，

所以，，，，

故答案为：.

三、解答题

17．.在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于A，B两点．

(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

(2)若，求的值．

【答案】(1)曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为；

(2).

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，结合加法消元法进行求解即可；

（2）利用直线参数方程的意义，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.

(1)

由；

；

(2)

把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，得

，

，因为在直线上，

所以，或而，

所以.

18．已知正项数列的前项和满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】小问1：利用通项公式与的关系即可求出；

小问2：根据(1)可得，结合错位相减法即可求出前n项和．

(1)

当时，，.

当时，，…①，，…②

①②得：，

即：.

，

是以为首项，以为公差的等差数列，

；

(2)

由（1）可知，则

，…①

两边同乘得：，…②

①②得：

，

.

19．已知，，函数，直线是函数图象的一条对称轴．

(1)求函数的解析式及单调递增区间；

(2)若，，的面积为，求的周长．

【答案】(1)，单调递增区间为.

(2)

【分析】（1）先利用向量数量积运算、二倍角公式、辅助角公式求出，再求单增区间；

（2）利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出周长.

(1)

已知，，函数，

所以.

因为直线是函数图象的一条对称轴，所以,

所以，又，所以当k=0时，符合题意，此时.

要求的单调递增区间，只需,

解得：，

所以的单调递增区间为.

(2)

由于，所以，所以.

因为，所以.

因为的面积为，所以，即，解得：.

又，由余弦定理可得：，即，所以，所以，

所以的周长.

20．如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面ABCD，Q为PB中点．

(1)求证：平面平面PBC；

(2)求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点为，连接，可证，从而可利用面面垂直的判定定理可证平面平面.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量后可得二面角的正弦值.

(1)

如图，取的中点为S，连接，因为为等边三角形，故，，

而平面平面ABCD，平面平面，平面，

故平面，而平面，故，

而，故，

因，故平面，因平面，

故，因，故平面，

而平面，故平面平面.

(2)

连接，因为，故四边形为平行四边形，

而，故四边形为矩形，所以，

由（1）可得平面，故建立如图所示的空间直角坐标系，

则

所以，，

设平面的法向量为，

则即，取，则，

设平面的法向量为，

则即，取，则，

故，

故平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为.

21．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率等于，点，且的面积等于．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于A，B两点，当点A关于y轴的对称点在直线PB上时，直线是否过定点?若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用待定系数法求出椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为,设，用“设而不求法”表示出和.表示出直线PB，把A关于y轴的对称点为带入后整理化简，即可得到，从而可以判断出直线恒过定点.

(1)

由题意可得：，解得：，所以椭圆的标准方程为：.

(2)

由题意可知,直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为,设设点A关于y轴的对称点为.

联立方程组，消去y可得：,

所以.

因为直线PB的方程为,且点D在直线PB上,所以则，所以，

则,故，因为k≠0,所以，则直线l的方程为，所以直线恒过定点.

22．已知．

(1)若函数在上有极值，求实数a的取值范围；

(2)已知方程有两个不等实根，证明：（注：是自然对数的底数）

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用导数判断出在上单增，在上单减，在处取得唯一的极值，列不等式组，即可求出实数a的取值范围；

（2）记函数，把证明，转化为只需证明，用分析法证明即可.

(1)

，定义域为，.

令，解得：；令，解得：.

所以在上单增，在上单减，在处取得唯一的极值.

要使函数在上有极值，

只需，解得：，

即实数a的取值范围为.

(2)

记函数.则函数有两个不等实根.

因为，，

两式相减得，，

两式相加得，.

因为，所以要证，只需证明，只需证明，

只需证明，.证.

设，只需证明.

记，则，所以在上2单增，所以，所以，即，所以.

即证.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；

(4)利用导数证明不等式．