2021-2022学年山东省济南·德州七校联考高二上学期12月检测数学试题含解析

2021-2022学年山东省济南·德州七校联考高二上学期

12月检测数学试题

一、单选题

1．若空间向量不共线，且，则xy＝（       ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】D

【分析】由题可知左右两边系数对应相等即可求出x和y.

【详解】因为空间向量不共线，

要使，

则.

故选：D.

2．已知抛物线，则它的焦点坐标是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将抛物线化为标准方程，确定焦点位置，根据公式计算即可.

【详解】解：抛物线化为，

∵抛物线开口向上，焦点在轴正半轴，

∴焦点为，即．

故选：D.

【点睛】抛物线性质的应用技巧：

（1）利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；

（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.

3．直线y3＝0的倾斜角是(       )

A．0° B．45° C．90° D．不存在

【答案】A

【分析】根据直线倾斜角的定义即可求解.

【详解】y3＝0与x轴平行，其倾斜角为0°.

故选：A.

4．等比数列的前项和为，已知，，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设等比数列的公比为，由已知条件求得的值，进而可求得的值.

【详解】设等比数列的公比为，则，

解得，

因此，.

故选：D.

【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.

5．如图，四面体ABCD中，设M是CD的中点，则化简的结果是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量加法的几何意义进行求解即可.

【详解】因为M是CD的中点，所以有，

故选：A

6．已知直线l：x+2y-3=0与圆交于A､B两点，求线段AB的中垂线方程（       ）

A．2x-y-2=0 B．2x-y-4=0

C． D．

【答案】B

【解析】由圆的几何性质可得线段的中垂线与直线垂直，并且过圆心，求直线方程.

【详解】线段的中垂线与直线垂直，所以设为，并且过圆心，

所以，即，所以.

故选：B

7．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点，若点是线段的中点，且，则此双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用直角三角形的性质，结合双曲线渐近线的方程和性质、双曲线离心率的性质进行求解即可.

【详解】如图所示：

因为，所以是直角三角形，又因为是的中点，

所以是直角斜边中线，因此，而点是线段的中点，

所以是等腰三角形，因此，由双曲线渐近线的对称性可知中：

，于是有：，因为双曲线渐近线的方程为：，因此有：

，

故选：C

8．《九章数学》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠同时从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”．如果墙厚20尺，则这两只老鼠相逢所需天数至少为（       ）

A．4天 B．5天 C．6天 D．7天

【答案】B

【分析】由题意分析可得，大老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为的等比数列．利用等比数列的前n项和公式表示出打洞距离和S,结合,求出n的值即可.

【详解】大老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为的等比数列．

∴距离之和为．

∵，

∴这两只老鼠相逢所需天数至少为5天.

故选：B．

二、多选题

9．已知抛物线的焦点为，、是抛物线上两点，则下列结论正确的是（       ）

A．点的坐标为

B．若、、三点共线，则

C．若直线与的斜率之积为，则直线过点

D．若，则的中点到轴距离的最小值为

【答案】BCD

【分析】根据抛物线的方程求出点的坐标，可判断A选项；设直线的方程为，与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断BC选项；求得，利用基本不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，由抛物线，可得，则焦点坐标为，故A错误；

对于BC选项，若直线垂直于轴，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.

设直线的方程为，联立，可得，，

由韦达定理可得，.

若、、三点共线，则，，

则，故B正确.

若直线与的斜率之积为，解得，

则直线的方程为，即直线直线过点，故C正确；

对于D选项，因为，

所以，，得，

所以，，

所以的中点到轴的距离

.

当且仅当时，等号成立，

所以，线段的中点到轴的距离最小值为，故D正确.

故选：BCD.

10．在数列中，若（，，为常数），则称数列为“开方差数列”，则下列判断正确的是（       ）

A．是开方差数列

B．若是开方差数列，则是等差数列

C．若是开方差数列，则也是开方差数列（，为常数）

D．若既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

【答案】CD

【分析】根据开方差数列、等差数列的定义判断、是否为常数即可判断A、B正误；C由，应用累加法求得，即可知正误；D令，m为常数，易得，结合开方差数列定义求证是否为常数列.

【详解】A：，故不是开方差数列，错误；

B：不一定为常数，错误；

C：，所以为常数，即为开方差数列，正确；

D：由题意，且，m为常数，则，所以时为常数，则为常数列，当时，，则也为常数列，正确.

故选：CD

11．已知点和点，直线，的斜率乘积为常数，设点的轨迹为，下列说法正确的是（       ）

A．存在非零常数，使上所有点到两点，距离之和为定值

B．存在非零常数，使上所有点到两点，距离之和为定值

C．不存在非零常数，使上所有点到两点，距离之差的绝对值为定值

D．不存在非零常数，使上所有点到两点，距离之差的绝对值为定值

【答案】BD

【解析】首先求出点的轨迹方程，然后分类讨论，即可判断出选项是否正确.

【详解】设点坐标，

因为直线，的斜率乘积为常数，

所以，

可知当，轨迹为圆，

当，轨迹为椭圆，

当，轨迹为双曲线，且焦点在轴上，

对于A选项，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且焦点的距离为，

由轨迹方程知，椭圆的长轴长为，长轴长小于焦距，这样的椭圆不存在，

故A错误，

对于B选项，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且焦点的距离为，

由轨迹方程知，椭圆的长轴长为，短轴长为，

有，故B正确，

对于C选项，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且焦点的距离为，

由轨迹方程知，双曲线的实轴长为，虚轴长为，

有，故C错误，

对于D选项，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，

但题中轨迹方程焦点在轴上，故满足条件的非零常数不存在，

故D正确.

故选：BD.

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，双曲线的定义，点的轨迹方程，属于一般题.

12．正方体的棱长为分别为的中点.则（       ）

A．直线与直线AF垂直

B．直线与平面AEF平行

C．平面AEF截正方体所得的截面面积为

D．点和点D到平面AEF的距离相等

【答案】BCD

【分析】根据异面直线所成角的定义判断A，由面面平行的性质定理判断B，作出完整的截面，判断CD．

【详解】因为，而与显然不垂直，因此与不垂直，A错；

取中点，连接，，由分别是中点，得，

又，，是平行四边形，所以，，平面，所以平面，平面，

而，平面，所以平面平面，

又平面，所以平面．B正确；

由正方体性质，连接，则截面即为四边形，它是等腰梯形，

，，等腰梯形的高为，

截面面积为，C正确，

设，易知是的中点，所以两点到平面的距离相等．D正确．

故选：BCD．

【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的性质．考查异面直线所成角的定义，面面平行的性质定理，考查正方体的截面问题．在证明面面平行时，注意判定定理的条件，对正方体的截面，解决问题的最好方法是作出完整的截面，然后根据正方体的性质确定截面的性质，从而完成求解．

三、填空题

13．设直线，直线.当______时，．

【答案】

【解析】根据两直线与垂直的等价条件是，列关系求参数即可.

【详解】因为两直线垂直，所以，解得.

故答案为：.

14．等差数列中，，则数列前9项的和等于______________．

【答案】99

【详解】分析：由等差数列的性质可求得a4，=13，a6=9，从而有a4+a6=22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．

详解：：∵在等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，

∴a4=13，a6=9，

∴a4+a6=22，又a4+a6=a1+a9，，

∴数列{an}的前9项之和

故答案为99.

点睛：本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键，属于中档题．

15．棱长为1的正方体中，为中点，则点到平面的距离为______________．

【答案】

【解析】求出三棱锥的体积，再求出的面积，可得点面距．

【详解】由题意，

又，，等腰底边上的高为，所以，

设点到平面的距离为，则由得．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：本题考查求点到平面的距离，求点面距的方法有：

（1）定义法：作出点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点面距；

（2）向量法：点，是平面的一个法向量，则到平面的距离为在方向上投影的绝对值．即．

16．已知圆C:(x+1)2+y2=16及点A（1，0），Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M则点M的轨迹方程为_______________________________.

【答案】.

【详解】试题分析：点在的垂直平分线上，则，所以，又，故点的轨迹是椭圆，，，从而椭圆的标准方程为.

【解析】椭圆的定义与标准方程.

四、解答题

17．已知圆，

（1）若直线过定点，且与圆C相切，求的方程.

（2）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程.

【答案】（1）或；（2）或.

【分析】（1）将的斜率分成存在和不存在两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径，求得的方程.

（2）设出圆的圆心，利用两圆外切的条件列方程，由此求得圆心的坐标，进而求得圆的方程.

【详解】（1）圆的圆心为，半径为.当直线斜率不存在时，即直线，此时直线与圆相切.当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，由于与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即，即，解得，直线的方程为.

综上所述，直线的方程为或.

（2）由于圆圆心在直线上，设圆心，圆的半径，由于圆与圆外切，所以，即，即，解得或.所以圆心或.所以圆的方程为或.

【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，考查直线方程和圆的方程的求法，属于基础题.

18．已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=AB，E是线段CC1的中点，连接AE，B1E，AB1，B1C，BC1，得到的图形如图所示．

(1)证明BC1⊥平面AB1C；

(2)求二面角E﹣AB1﹣C的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)30°

【分析】(1)推导出，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面．

(2)求出平面的法向量，和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．

(1)

直棱柱中，，

，，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，

则，1，，，0，，，0，，，1，，，0，，

，，，，1，，，0，，，0，，

，，

，，

，平面．

(2)

平面，，，是平面的法向量，

，，，，0，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

设二面角的大小为，

则，

．

二面角的大小为．

19．已知双曲线，是它的两个焦点．

(1)求与C有共同渐近线且过点(2，)的双曲线方程；

(2)设P是双曲线C上一点，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意设所求双曲线方程为，将点代入即可求解.

（2）由双曲线的定义可得，然后结合余弦定理可求出，再由三角形的面积公式可得答案.

(1)

双曲线与有共同双曲线，可设为，

由所求双曲线过点，则

故双曲线方程为，即；

(2)

由题意可得，所以

P是双曲线C上一点，则，则

所以

由余弦定理可得，

即，所以

∴．

20．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面的夹角的大小；

（III）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60°；（III）存在，.

【解析】（1）以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，写出、、、、、的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量，证得即可；

（2）由（1）知，平面的法向量为，1，，同（1）可求得平面的法向量，由，即可得解；

（3）设，则，0，，故有，解之得的值即可．

【详解】（Ⅰ）证明：以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则

设平面的法向量为，则，即

令，则，

，

故平面．

(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

所以平面的法向量

平面与平面的夹角大小为．

（III）假设线段上存在一点，设，，则，

，

设平面的法向量为，

，由得到，

与平面所成角为，

与所成角为，

，

解得，

故在线段上存在一点，使得与平面所成角为，

点的坐标为．

【点睛】关键点点睛：存在性问题，一般假设存在一点，设，利用向量的坐标运算，根据线面角公式求解，如能求出符合范围的，即存在，否则不存在.

21．等差数列前项和为，已知对任意的，点在二次函数图象上．

(1)求，；

(2)若，求数列前项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】(1)由点在二次函数的图象上，知，再由是等差数列，能求出，．

(2)由(1)知，利用错位相减法能够求出．

(1)

点在二次函数的图象上，

，

，

，

，

又是等差数列，

，，

，．

(2)

，，

，

，   ①

，   ②

①②得：

．

．

22．已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．

(1)求椭圆的方程；

(2)求线段MN的长度的最小值；

(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为，若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在；点的个数为2

【分析】（1）根据直线方程，求出椭圆方程的上顶点和左顶点坐标，进而求出椭圆方程；（2）设出直线AS的方程，表达出点M，N的坐标，利用基本不等式求出线段MN的长度的最小值；（3）先求出的长度，得到到直线的距离等于，利用点到直线距离得到T所在的直线方程，结合根的判别式得到点的个数.

(1)

，令得：，令得：，所以椭圆C的左顶点为，上顶点为，所以，故椭圆方程为.

(2)

直线的斜率k显然存在，且k>0，故可设直线AS的方程为，从而，由，联立得：，设，则，解得：，从而，即，又，由，解得：，所以，故，又，所以，当且仅当即时等号成立，故线段MN的长度的最小值为.

(3)

由第二问得：，此时，故，

要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于．其中直线SB：，即，设平行于AB的直线为，则由解得：或，

当时，，联立椭圆方程得：，由得：与椭圆方程有两个交点；

当时，，联立椭圆方程得：，由，此时直线与椭圆方程无交点，综上：点的个数为2．