2021-2022学年内蒙古自治区阿拉善盟第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题含解析

2021-2022学年内蒙古自治区阿拉善盟第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集、补集的定义，即得解

【详解】由题意，全集，集合，，

故

则

故选：C

2．命题“若 ，则”以及它的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个是（       ）

A．0 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的解，先判定原命题为真命题，再写出原命题的逆命题判定为真命题，结合逆否关系的等价性，即可求解.

【详解】由方程，解得或，

所以命题“若，则”为真命题，

根据逆否命题的等价性可得，命题的逆否命题为真命题；

又由命题“若，则”的逆命题为“若，则”为假命题，所以原命题的否命题也为假命题.

所以，真命题的个数为2个，

故选：B.

3．的值等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由得出答案.

【详解】

故选：C

4．在△ABC中，AB＝1，BC＝2，，则（       ）

A．60° B．90° C．45° D．120°

【答案】B

【分析】利用正弦定理计算求得.

【详解】由正弦定理得,

∴,

故选：B.

5．命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；

【详解】解：命题“，”为全称量词命题，其否定为，；

故选：B

6．已知则“”是“”的（       ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根据两直线平行，得到关于的方程，求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断可得；

【详解】解：因为若，则，解得或，当时，直线与直线重合，所以，若时，所以“”是“”的充要条件；

故选：C

7．在长方体中，，，则异面直线与所成角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】即为异面直线与所成的角，利用解直角三角形可求其大小.

【详解】

由长方体的性质可得，故即为异面直线与所成的角，

在直角三角形中，，，故，

而为锐角，故.

故选：A.

8．在等差数列中中，，，则（       ）

A．5 B．8 C．10 D．14

【答案】C

【分析】根据给定条件利用等差数列性质计算即可得解.

【详解】在等差数列中中，，则，于是得，

所以.

故选：C

9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三视图作出几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．

【详解】根据几何体的三视图，可知该几何体为半圆柱，

如图所示：

该几何体的高为2，底面为半径为1的半圆形，

该几何体的体积为：．

故选：A

10．圆上任意一点到直线的距离的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出圆心到直线距离，减去半径即可得答案.

【详解】圆心到直线的距离为，

则圆上任意一点到直线的距离的最小值为.

故选：C.

11．直线与曲线有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为1的轴上方的半圆，设直线与半圆相切时，切点为，进而数形结合求解即可得答案.

【详解】解：根据题意，直线过定点，

曲线表示圆心为原点，半径为1的轴上方的半圆，

设直线与半圆相切时，切点为，如图，

在中，，

所以

所以直线与曲线有公共点时，直线的倾斜角的取值范围为.

故选：D

12．在四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积是（       ）

A． B．100π C． D．20π

【答案】D

【分析】由题知，，，设为三角形的外心，进而得，过作三角形的垂线，球心在上，且，进而得外接球半径，再计算表面积即可得答案.

【详解】如图：因为平面，，

所以，，

因为，由余弦定理可解得，

设为三角形的外心，

则由正弦定理得三角形外接圆半径为2，

即，

过作三角形的垂线，球心在上，则，

可求外接球半径，

故该四面体的外接球的表面积是，

故选：D.

二、填空题

13．直线的倾斜角为______．

【答案】

【分析】首先求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系计算可得；

【详解】解：直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，因为，所以；

故答案为：

14．直线与的交点到直线的距离______．

【答案】

【分析】先求出交点，再由距离公式得出答案.

【详解】由，解得，即直线与的交点为

点到直线的距离为.

故答案为：

15．圆和圆的公切线的条数为______．

【答案】3

【分析】判断出两个圆的位置关系，由此确定公切线的条数.内含关系0条公切线，内切关系1条公切线，相交关系2条公切线，外切关系3条公切线，外离关系4条公切线。

【详解】由题知圆：的圆心，半径，

圆：的圆心，半径，

所以，，所以两圆外切，

所以两圆共有3条公切线.

故答案为：3

16．设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是__________.

①②③④

【答案】①③④

【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.

【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，

同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

对于命题，若直线平面，

则垂直于平面内所有直线，

直线平面，直线直线，

命题为真命题.

综上可知，，为真命题，，为假命题，

为真命题，为假命题，

为真命题，为真命题.

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.

三、解答题

17．已知的三个顶点的坐标分别为，，.

（1）求边上中线所在直线的方程；

（2）求边上高所在直线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求得中点坐标后可得中线斜率，由点斜式可得直线方程；

（2）根据垂直关系可求得，由点斜式可得直线方程.

【详解】（1）中点为，，

直线方程为：，即；

（2），，

直线方程为：，即.

18．设，q：实数x满足．

(1)若，且p，q都为真命题，求x的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出命题为真时的取值后可求两者均为真命题时的取值范围.

（2）根据条件关系可得两个范围之间的包含关系，从而可求实数a的取值范围．

【详解】(1)，q：实数x满足即为，

因为为真命题，故，

故当p，q都为真命题时，.

(2)因为p是q的充分不必要条件，

故为的真子集，而

故（等号不同时取），故.

19．如图，在正方体中，为的中点，.求证：

（1）平面；

（2）平面.

【答案】（1）证明见解析 ；（2） 证明见解析.

【分析】（1）由正方形的性质可得出，由线面垂直的性质可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立.

【详解】（1）因为四边形为正方形，则，

平面，平面，，

，所以，平面；

（2）连接，

因为且，所以四边形为平行四边形，

所以且，

又因为为的中点，为的中点，则且，

所以四边形为平行四边形，所以，

而面，面，所以面.

20．如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点．

(1)求证：平面EAC；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】(1)连接交于，连接，由中位线得EO∥PB；

(2)过P作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ABCD，故.

【详解】(1)连接交于，连接，

∵、分别为、的中点，

∴，

∵平面，平面，

∴∥平面；

(2)

过P作PF⊥AD于F，

∵侧面PAD是正三角形，∴PF⊥AD，

∵平面底面ABCD，平面底面ABCD＝AD，平面PAD，

∴PF⊥平面ABCD，

故.

21．已知圆C经过三点，，．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若过点且斜率存在的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)利用待定系数法或几何法均可求圆的标准方程；

(2)根据圆的弦长公式求出直线l斜率即可.

【详解】(1)∵圆C过，，故圆C的圆心在y=4上，

MN的中点为(1，3)，，

故MN的中垂线为：y－3＝－(x－1)，即y＝－x＋4，

令，故圆心，半径，

∴圆C的标准方程为：；

(2)设l斜率为k，则l为：，即，

，圆心到直线的距离，

即，解得，得直线的方程为．

22．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．

(1)求圆的标准方程；

(2)设直线与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；

(3)在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点．

【答案】(1)

(2)

(3)存在，

【分析】（1）利用点到直线的距离求出圆心的坐标，从而可求圆的标准方程.

（2）利用弦心距小于半径可求实数a的取值范围.

（3）根据圆的几何性质可得直线过圆心，从而可求的斜率，故可得的取值，结合（2）中的范围可得相应结论.

【详解】(1)设圆心为，则即，，故.

故圆的标准方程为：.

(2)直线与圆相交于A，B两点，故，而，

故解得.

(3)设圆心为，则，弦AB的垂直平分线l过点，故过，故，故，即，因，

故符合.