2021-2022学年辽宁省辽河油田第一高级中学高二上学期11月月考数学试题含解析

2021-2022学年辽宁省辽河油田第一高级中学高二上学期

11月月考数学试题

一、单选题

1．已知点，，若，则点C的坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设出点坐标，根据表示出坐标之间的关系，则点坐标可求.

【详解】设，因为，所以，所以，所以，

故选：B.

2．若双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为，则其离心率为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【解析】根据和即可得到答案.

【详解】因为渐近线方程为，所以．又因为，所以．

又，故离心率，

故选：C．

3．曲线与的关系是(　       )

A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点

C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对

【答案】B

【分析】判断两个椭圆的焦点坐标与焦距的大小即可得到结果．

【详解】曲线与0＜k＜9）都是椭圆方程，焦距为：2c=8，2 =8，焦距相等，的焦点坐标在x轴，的焦点坐标在y轴，故两者的焦点不同.

故选B．

【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．注意和椭圆方程有关的题目，通常会应用到注意.

4．设椭圆的两个焦点分别为F1､､F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解法一：根据方程，令，求得的纵坐标，利用为等腰直角三角形可得的方程，消去后可得，从而可得离心率的方程，其解即为所求的离心率，注意取舍.

解法二：不妨设椭圆的焦距为1，利用等腰直角三角形的性质得到另外两边的长度，根据椭圆的定义求得长轴的值，进而得到离心率.

【详解】解法一：不妨设椭圆的标准方程为，

半焦距为，左右焦点为，在第一象限，则.

在椭圆方程中，令，则，解得，故.

为直角三角形且，故即，

故，解得（负值舍去）

解法二：如图，不妨设,则,,

于是,

,

故选：D.

【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系；而利用定义方法求离心率常常能起到快速解答的作用.

5．设，向量，，，且，，则（       ）

A． B． C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据空间向量垂直与平行的坐标表示，求得的值，得到向量，进而求得，得到答案.

【详解】由题意，向量，，，

因为，可得，解得，即，

又因为，可得，解得，即，

可得，所以.

故选：C.

6．已知平行六面体中，，，，，．则的长为（       ）

A． B． C．12 D．

【答案】A

【分析】由，可得，再利用数量积运算性质即可得出．

【详解】，，，，

，．

，

，

，

即的长为.

故选：A．

7．方程|x|－1＝所表示的曲线是（       ）

A．一个圆 B．两个圆

C．半个圆 D．两个半圆

【答案】D

【解析】通过分类讨论变形曲线方程可确定曲线的形状．

【详解】由题意得()，

即()或()，

所以原方程表示两个半圆．

故选：D．

【点睛】本题考查方程表示的曲线，把方程变形为常用曲线的方程是判断方程的曲线的常用方法，只是在变形过程中必须保证变量的取值范围不会改变，否则会出现错误．

8．已知，分别在轴和轴上运动，为原点，,点的轨迹方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设动点 坐标为 由得：

即   

故选A．

【点睛】本题考查轨迹方程的求法，其中合理准确运用利用相关点法是解题的关键

二、多选题

9．若是空间任意三个向量，，下列关系中，不成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】根据空间向量加法法则、数量积的运算律、向量数乘法则和共线向量定理分别判断各选项．

【详解】由向量加法的平行四边形法则，只有，即时，都有，A不成立；

由数量积的运算律有，，与不一定相等，B不成立；

向量数乘法则，C一定成立；

只有共线且时，才存在，使得，D这成立．

故选：ABD．

10．圆和圆的交点为A，B，则有（       ）

A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为

C．公共弦的长为 D．P为圆上一动点，则P到直线距离的最大值为

【答案】ABD

【分析】两圆方程作差即可求解公共弦AB所在直线方程，可判断A；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆的圆心即可线段AB中垂线方程，可判断B；求出圆心到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C；求出圆心到公共弦AB所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.

【详解】对于A，由圆与圆的交点为A，B，

两式作差可得，

即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；

对于B，圆的圆心为，，

则线段AB中垂线斜率为，

即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；

对于C，圆，圆心到的距离为

，半径

所以，故C不正确；

对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.

故选：ABD

11．如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（       ）

A．三棱锥的体积为定值

B．异面直线与所成的角为

C．平面

D．直线与平面所成的角为

【答案】AD

【解析】A. 利用，三棱锥的体积为定值，正确

B. 利用平移法找异面直线所成的角，，和所成的角为，所以异面直线与所成的角为，故B错误

C. 若平面，则线与所成的角为，而异面直线与所成的角为，故C错误

D，建立坐标系，用向量坐标法求解，先求出平面的一个法向量，再求平面的一个法向量和的方向向量的夹角，正确

【详解】解：对于A，

故三棱锥的体积为定值，故A正确

对于B， ，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误

对于C， 若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误

对于D，以为坐标原点，分布以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，

设平面的法向量为则

，即

令，则

所以直线与平面所成的角为，正确

故选：AD

【点睛】以正方体为载体，考查：判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值，求线线角、线面角，判断线面是否垂直.判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值可通过变换三棱锥顶点和底面解决，求线线角一般是用平移法，求线面角可转化为求平面的法向量与直线的方向向量的夹角，判断线面垂直也可用反证法.基础题.

12．设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A， B两点，则下述结论正确的是（       ）

A．AF+BF为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]

C．当时，△ABF为直角三角形 D．当m=1时，△ABF 的面积为

【答案】AD

【解析】根据椭圆的定义可求的值，结合三角形的边长关系可判断周长的取值范围，计算可判断不是直角三角形，计算，利用面积公式可求的面积.

【详解】设椭圆的左焦点为，则

∴为定值，A正确；

的周长为，因为为定值6，

∴的范围是，

∴的周长的范围是，B错误；

将与椭圆方程联立，可解得，，

又∵，∴，

∴不是直角三角形，C不正确；

将与椭圆方程联立，解得，，

∴，D正确．

故选：AD

三、填空题

13．已知直线，，且已知则_.

【答案】0或

【详解】当时，符合题意；

当时，，与不垂直；

当时，，整理得：，由于，解得；

综上：.

14．已知是双曲线的左、右焦点，若点关于直线的对称点在双曲线上，则该双曲线的离心率为______.

【答案】

【分析】连接,根据点对称的性质以及平面几何中的比例关系求解即可.

【详解】连接,则与直线平行,故

故,故

,,由双曲线定义,

,所以

故答案为：

【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的关系确定双曲线参数之间的关系,进而求得离心率的问题.属于中档题.

15．过点做直线的垂线，垂足为，已知点，则的取值范围是____________．

【答案】

【解析】将直线转化为易得直线过定点．由，得到点在以为直径的圆上，然后由线段MN长度的最大值，线段MN长度的最小值求解.

【详解】直线化为

令，解得，

∴直线过定点．

∴点在以为直径的圆上，

圆心为线段的中点，半径．

线段MN长度的最大值

线段MN长度的最小值

故答案为：.

四、双空题

16．棱长为1的正方中，点E，F分别是，的中点，则______，点A到直线 EF的距离为______

【答案】         

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求出向量的夹角，再根据向量在向量上的投影长及直角三角形中的勾股定理求出点到线的距离.

【详解】以D为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图，

则,

故，,,

,

在上的投影长为,

点A到直线 EF的距离为.

故答案为：；

五、解答题

17．已知向量，，点，.

（1）求；

（2）在直线上，是否存在一点E，使得，（O为原点），若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】（1）根据向量的坐标加法运算求出，再利用向量的模长公式即可求出；

（2）由向量共线定理和向量的线性运算得出，从而得出的坐标，再根据以及向量的数量积，即可求出的值，即可得出点的坐标.

【详解】（1）根据题意，得，

故.

（2）由于点在直线上，则，

即，

由，则，

所以，解得，

因此在直线上存在点E，使得，此时点E的坐标为.

【点睛】本题考查平面向量坐标的加法运算和向量的模，考查向量的共线定理和向量的线性运算，及向量垂直运算，考查学生运算能力，属于基础题.

18．设的内角所对的边分别为，且，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【详解】（Ⅰ）因为，

所以

分别代入得解得

（Ⅱ）由得，

因为所以

所以

【考点定位】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方程思想和运算能力. 由求的过程中体现了整体代换的运算技巧，而求的过程则体现了“通性通法”的常规考查.

19．已知函数.其图象的一个对称中心是，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.

（1）求函数的解析式；

（2）若对任意，当时，都有，求实数的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用的对称中心求得.根据三角函数图象变换的知识求得.

（2）将已知条件转化为在上单调递增，化简的解析式，由此求得的单调区间，根据单调区间的包含关系求得的取值范围，从而求得的最大值.

【详解】（1）由题意，得，

解得，

又，∴，

∴，

从而.

（2）对任意，，且，

，

即在上单调递增，

，

由，得，

即的单调增区间为，

由于，

∴当时，，从而，

∴实数t的最大值为.

【点睛】本小题主要考查三角函数的对称性，考查三角函数图象变换，考查三角函数的单调性，属于中档题.

20．1.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点，且BM⊥PD.

(1)证明：CD⊥面PAD；

(2)求点M到平面PAC的距离；

(3)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

(3)

【分析】（1）很容易得到CD⊥AD和PA⊥CD这两个条件，进而证明出CD⊥面PAD；（2）建立空间直角坐标系，设出点M的坐标，利用求出M的坐标，再利用空间向量的方法求解点M到平面PAC的距离；（3）再第二问的基础上，用空间向量的方法求解二面角的余弦值.

【详解】(1)∵底面ABCD是矩形

∴CD⊥AD

∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD

∴PA⊥CD

∵

∴CD⊥面PAD

(2)∵PA⊥平面ABCD，，平面ABCD

∴，

∵底面ABCD是矩形

∴AB⊥AD

∴如图所示，选点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

∵PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点

∴，，，，，

∴，

∵BM⊥PD.

∴，即，解得：

∴

设平面PAC的法向量为

则，即，令得：，，所以

设点M到平面PAC的距离为

则

(3)∵AB⊥平面PAD，PD平面PAD

∴AB⊥PD

∵BM⊥PD，

∴PD⊥平面ABM

∴平面ABM的法向量为

设平面ACM的法向量为

则，即，令得：，，所以

则

设二面角的大小为，由题意知，为锐角

则

21．在直角坐标系中，已知圆与直线相切，

（1）求实数的值；

（2）过点的直线与圆交于､两点，如果，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）将圆的化为标准方程,求出圆心，半径，其中，

根据圆与直线相切，再利用点到直线的距离公式可得，解得；

（2）当直线斜率不存在时，其方程为，求得，不合题意；但直线斜率存在，设其方程为，

根据圆心到直线的距离，以及垂径定理即可求得.

【详解】解:（1）圆的方程可化为，

圆心，半径，其中，

因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，

即，解得；

（2）当直线斜率不存在时，其方程为，

此时圆心到直线的距离，

由垂径定理，，不合题意；

故直线斜率存在，设其方程为，

即，

圆心到直线的距离，

由垂径定理，，即，

解得，

故直线的方程为，

代入圆的方程，整理得，

解得，，

于是，，这里，)，

所以.

【点睛】本题主要考查圆的标准方程,直线与圆的位置关系,以及点到直线的距离公式,考查分类讨论思想,是中档题.

22．已知椭圆的左、右焦点为别为F1、F2，且过点和．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，点A为椭圆上一位于x轴上方的动点，AF2的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C，求△ABC面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC的方程．

【答案】（1）     （2）y=

【分析】（1）将两点代入椭圆方程，求出a，b，然后求解椭圆的标准方程．

（2）设AF2的方程为x=ty+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积结合基本不等式求解最值，然后求解BC的方程即可．

【详解】解：（1）将两点代入椭圆方程，有解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）因为A在x轴上方，可知AF2斜率不为0，故可以设AF2的方程为x=ty+1，，

得，所以，

设原点到直线AF2的距离为d，则，

所以S△ABC=2S△OAB

=

=

=，△ABC面积的最大值为．

在t=0时取到等号成立，此时AB的方程为：x=1，

可得，A（1，），B（1，-），C（-1，），

此时BC的方程为：y=，

【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．