2021-2022学年四川省成都市第七中学高二上学期12月阶段性测试数学（文）试题含解析

2021-2022学年四川省成都市第七中学高二上学期

12月阶段性测试数学（文）试题

一、单选题

1．已知两直线与，则与间的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】把直线的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.

【详解】直线的方程化为：，显然，，

所以与间的距离为.

故选：B

2．命题“，”的否定是（       ）

A．，  B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据全称命题的否定的规则即可直接写出.

【详解】全称命题“，”的否定是把量词“”改为“”，并把结论否定，

即为“，”，

故选：.

3．双曲线 的渐近线方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】根据双曲线的渐近线方程知，，故选A.

4．若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，求出点M的轨迹方程即可计算得解.

【详解】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点，

则，化简并整理得：，

于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其面积为，

所以M点的轨迹围成区域的面积为.

故选：D

5．下列命题中，结论为真命题的组合是（       ）

①“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件

②若命题“”为假命题，则命题一定是假命题

③是的必要不充分条件

④双曲线被点平分的弦所在的直线方程为

⑤已知过点的直线与圆的交点个数有2个.

A．①③④ B．②③④ C．①③⑤ D．①②⑤

【答案】C

【分析】求出两直线垂直时m值判断①；由复合命题真值表可判断②；化简不等式结合充分条件、必要条件定义判断③；

联立直线与双曲线的方程组成的方程组验证判断④；判定点与圆的位置关系判断⑤作答.

【详解】若直线与直线相互垂直，则，

解得或，

则“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件，①正确；

命题“”为假命题，则与至少一个是假命题，不能推出一定是假命题，②不正确；

，，则是的必要不充分条件，③正确；

由消去y并整理得：，，

即直线与双曲线没有公共点，④不正确；

点在圆上，则直线与圆至少有一个公共点，

而过点与圆相切的直线为，直线不包含，

因此，直线与圆相交，有两个交点，⑤正确，

所以所有真命题的序号是①③⑤.

故选：C

6．若直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆相切，则c的值为（       ）

A．8或-2 B．6或-4 C．4或-6 D．2或-8

【答案】A

【分析】求出平移后的直线方程，再利用直线与圆相切并借助点到直线距离公式列式计算作答.

【详解】将直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位所得直线方程为，

因直线与圆相切，从而得，即，解得或，

所以c的值为8或-2.

故选：A

7．若圆与圆外切，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，圆与圆

可得，，

因为两圆相外切，可得，解得．

故选：C.

8．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由于BF⊥x轴，故，设，由得，选D.

【解析】椭圆的简单性质

9．若直线与曲线只有一个公共点，则m的取值范围是（       ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】根据曲线方程的特征，发现曲线表示在轴上方的图象，画出图形，根据图形上直线的三个特殊位置，当已知直线位于直线位置时，把已知直线的解析式代入椭圆方程中，消去得到关于的一元二次方程，由题意可知根的判别式等于0即可求出此时对应的的值；当已知直线位于直线及直线的位置时，分别求出对应的的值，写出满足题意得的范围，综上，得到所有满足题意得的取值范围．

【详解】根据曲线，得到，解得：；，

画出曲线的图象，为椭圆在轴上边的一部分，如图所示：

当直线在直线的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，

把直线代入椭圆方程得：，得到，

即，化简得：，解得或(舍去)，

则时，直线与曲线只有一个公共点；

当直线在直线位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时，

当直线在直线位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时，

则当时，直线与曲线只有一个公共点，

综上，满足题意得的范围是或．

故选：D．

10．已知双曲线（，）的左､右焦点分别为，，.若双曲线M的右支上存在点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用三角形正弦定理结合，用a，c表示出，再由点P的位置列出不等式求解即得.

【详解】依题意，点P不与双曲线顶点重合，在中，由正弦定理得：，

因，于是得，而点P在双曲线M的右支上，即，

从而有，点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有，

因此，，而，整理得，即，解得，

又，故有，

所以双曲线M的离心率的取值范围为.

故选：A

11．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.

【详解】根据题意，设点关于直线的对称点，

则，解得，即.

根据椭圆的定义可知，，

当、、三点共线时，长轴长取最小值，即，

由且，得，

因此椭圆C的短轴的最小值为.

故选：B.

12．过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直线AC、BD与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD面积最小值，再比较大小即可作答.

【详解】因四边形ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD的四个顶点为椭圆顶点时，而，

四边形ABCD的面积，

当直线AC斜率存在且不0时，设其方程为，由消去y得：，

设，则，

，

直线BD方程为，同理得：，

则有，

当且仅当，即或时取“=”，而，

所以四边形ABCD面积最小值为.

故选：A

二、填空题

13．双曲线上一点P到的距离最小值为___________.

【答案】2

【分析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式结合二次函数求出最小值即可作答.

【详解】设，则，即，

于是得，而，则当时，，

所以双曲线上一点P到的距离最小值为2.

故答案为：2

14．若命题P：对于任意，使不等式为真命题，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据题意，结合指数函数不等式，将原问题转化为关于的不等式，对于任意恒成立，即可求解.

【详解】根据题意，知对于任意，恒成立，

即，化简得，

令，，则恒成立，

即，解得，故.

故答案为：.

15．已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．

【答案】

【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.

【详解】依题意，椭圆方程为，所以，

所以是椭圆的右焦点，设左焦点为，

根据椭圆的定义可知，

，

所以的最大值为.

故答案为：

16．已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，且直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为，，则的值为___________.

【答案】0.25

【分析】求出点A，B坐标，设出直线l的方程，联立直线l与椭圆方程，借助韦达定理即可计算作答.

【详解】依题意，点，直线AB斜率为，因直线l直线AB，则设直线l方程为：，，

由消去y并整理得：，，

解得，于是有或，

设，则，有，

因此，

，

所以的值为.

故答案为：

三、解答题

17．已知p：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q：当时，函数恒成立.

(1)若p为真，求实数t的取值范围；

(2)若为假命题，且为真命题，求实数t的取值范围

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由给定条件结合椭圆标准方程的特征列不等式求解作答.

(2)求命题q真时的t值范围，再借助“或”联结的命题为真命题求解作答.

(1)

因方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，

则有，解得，

所以实数t的取值范围是.

(2)

，则有，当且仅当，即时取“=”，即，

因当时，函数恒成立，则，解得，命题q为真命题有，

因为假命题，且为真命题，则与一真一假，

当p真q假时，，当p假q真时，，

所以实数t的取值范围是.

18．在三角形ABC中，三个顶点的坐标分别为，，，且D为AC的中点.

(1)求三角形ABC的外接圆M方程；

(2)求直线BD与外接圆M相交产生的相交弦的长度.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意，结合直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，即可求解；

（2）根据题意，结合点到直线的距离，以及弦长公式，即可求解.

(1)

根据题意，易知是以BC为斜边的直角三角形，

故外接圆圆心是B，C的中点，半径为BC长度的一半为，

故三角形ABC的外接圆M方程为.

(2)

因为D为AC的中点，所以易求.

故直线BD的方程为，

圆心到直线的距离，

故相交弦的长度为.

19．已知双曲线C的方程为（），离心率为.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过的直线交曲线于两点，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意，结合离心率易，知双曲线为等轴双曲线，进而可求解；

（2）根据题意，分直线斜率否存在两种情形讨论，结合设而不求法以及向量数量积的坐标公式，即可求解.

(1)

根据题意，由离心率为，知双曲线是等轴双曲线，所以

，故双曲线的标准方程为.

(2)

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

则由消去，得到，

∵直线与双曲线交于M､N两点，，解得.

设，则有，，

因此，

∵，∴且，故或，

故；

②当直线的斜率不存在时，此时，易知，，故.

综上所述，所求的取值范围是.

20．在平面直角坐标系中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．，．

(1)求动点Q的轨迹的方程E；

(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直线MN过定点R的坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由图中的几何关系可知,故可知动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即可直接写出抛物线的方程；

（2）设出直线AB的方程，把点、的坐标代入抛物线方程，两式作差后，再利用中点坐标公式求出点M的坐标，同理求出点的坐标，即可求出直线MN的方程，最后可求出直线MN过哪一定点.

(1)

∵直线的方程为，点R是线段FP的中点且，

∴RQ是线段FP的垂直平分线,

∵,     ∴是点Q到直线l的距离,

∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴,

则动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，

即动点Q的轨迹的方程为.

(2)

设，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，

由已知得，两式作差可得，即，则，

代入可得，即点M的坐标为，

同理设，，直线的方程为，

由已知得，两式作差可得，即，

则，代入可得，即点的坐标为，

则直线MN的斜率为，

即方程为，整理得，

故直线MN恒过定点.

21．已知椭圆与椭圆的焦点相同，且椭圆C过点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A，B，且(O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在，.

【分析】(1)与焦点相同可求出c，将代入方程结合a、b、c关系即可求a和b；

(2)直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，联立AB方程与椭圆方程，得到根与系数的关系；由得，结合韦达定理得k与m的关系；再由圆与直线相切，即可求其半径；最后再验证AB斜率不存在时的情况即可.

(1)

，

由题可知，解得点，

所以椭圆的方程为；

(2)

设，设，

代入，整理得，

由得，即，

由韦达定理化简得，即，

设存在圆与直线相切，

则，解得，

所以圆的方程为，又若轴时，检验知满足条件，故存在圆心在原点的圆符合题意．

22．已知一张纸上画有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C.

(1)求曲线C的焦点在轴上的标准方程；

(2)过曲线C的右焦点（左焦点为）的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，记的面积为S，试求S的取值范围.

【答案】(1)；

(2)﹒

【分析】(1)根据题意，作出图像，可得，由此可知M的轨迹C为以O、A为焦点的椭圆；

(2)分为l斜率存在和不存在时讨论，斜率存在时，直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示的面积，根据变量范围可求面积的最大值﹒

(1)

以OA中点G坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图：

∴可知，，设折痕与和分别交于M，N两点，

则MN垂直平分，∴，又∵，∴，

∴M的轨迹是以O，A为焦点，4为长轴的椭圆．∴M的轨迹方程C为；

(2)

设，，则的周长为．

当轴时，l的方程为，，，

当l与x轴不垂直时，设，

由得，

∵＞0，∴，，

，

令，则，

，

∵，∴，∴.

综上可知，S的取值范围是．