2021-2022学年四川省内江市第六中学高二上学期第二次月考数学（理）试题含解析

2021-2022学年四川省内江市第六中学高二上学期第二次月考数学（理）试题

一、单选题

1．经过点且与直线平行的直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】两直线平行，斜率相等，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可以设为Ax＋By＋＝0，代入经过的点，即可求出﹒

【详解】∵直线的斜率为，

∴与直线平行的直线的斜率也为，

∴经过点且斜率为的直线的方程为，整理得．

故选：A

2．执行如图所示的程序框图，那么输出的值为（       ）

A．9 B．10 C．55 D．65

【答案】C

【分析】本题需要先阅读流程图得出流程图的功能是计算的值，然后结合等差数列前项和公式计算即可.

【详解】阅读流程图可得该流程图的功能是计算：的值,

结合等差数列前项和公式可得输出的值为.

故选：C.

3．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（       ）

A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2

【答案】C

【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.

【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形

根据立体图形可得：

根据勾股定理可得：

是边长为的等边三角形

根据三角形面积公式可得：

该几何体的表面积是：.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.

4．若，满足约束条件，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由约束条件画出可行域，问题转化为直线与可行域有交点情况下截距最小，进而确定临界点，求目标式的最小值即可.

【详解】由题设约束条件，作出可行域，如下图所示，

将目标函数为，并平移直线.

结合图象，当直线过点时，取得最小值.

由，得.

∴.

故选：C.

5．用秦九韶算法求多项式当时的值时，=

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意得，，则当时，有，，.故选C.

6．圆心都在直线上的两圆相交于两点，，则（       ）

A． B．1 C．0 D．2

【答案】C

【解析】由两圆的公共弦垂直于两圆圆心的连线，再由两直线斜率的关系列式可得的值．

【详解】解：两圆相交于两点，，且两圆的圆心都在直线上，

垂直直线，

则的斜率，得．

故选：．

【点睛】本题主要考查圆与圆相交的性质，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．

7．已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是（       ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，，则

【答案】B

【分析】根据线面垂直的判定定理可以判断A；借助长方体可判断B；根据垂直于同一条直线的两个平面平行可以判断C；两条平行直线分别垂直于两个平面，则这两个平面平行.可以判断D.

【详解】若，则且使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A正确；若，，如图        

设，平面为平面，     ，平面为平面，，则，故B错误；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C正确；若，，则，又，则，故D正确.

故选：B.

8．在区间上任取一个数，则圆与圆有公共点的概率为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：圆与圆有公共点，则圆心距需满足，所以，解得（舍）或，故圆与圆有公共点的概率为

【解析】几何概型

9．九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示阴影部分为镶嵌在墙体内的部分已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(注：1丈尺寸，，)

A．600立方寸 B．610立方寸 C．620立方寸 D．633立方寸

【答案】D

【分析】由三角形，利用勾股定理可得半径，进而得，再利用，乘以高即可得体积.

【详解】

连接，设⊙的半径为，

则，所以.

由于，

所以，即.

所以 平方寸．

∴该木材镶嵌在墙中的体积为立方寸，

故选D．

【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理及扇形的面积公式，柱体的体积公式，属于中档题

10．过圆内一点作两条相互垂直的弦AB和CD，且，则四边形ACBD的面积为（       ）．

A．16 B．17 C．18 D．19

【答案】D

【分析】结合圆的几何性质以及勾股定理求得，由此求得四边形的面积.

【详解】圆即，圆心为，半径.

在圆内.，

设分别是的中点，则，

由于，所以四边形是正方形，

所以，

所以，

所以四边形的面积为.

故选：D

11．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为（       ）．

A．1 B．2 C．3 D．

【答案】B

【分析】利用三棱锥体积的最大值求得此时到平面的距离，利用勾股定理计算出外接球的半径.

【详解】设三棱锥外接球球心为，

在三角形中，由余弦定理得，

由于，所以，

设三角形外接圆半径为，外心为.

由正弦定理得.

设三棱锥体积最大时，到平面的距离为，

则.

设外接球的半径为，则，

即.

故选：B

12．若圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，点是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，那么的最小值是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心与半径，分析可得，

则有，由此得出的值，即可得出的方程，过点作圆的切线，切点为，可得，由，进而转化为求的最小值，再利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】根据题意，圆,

其圆心，半径，

圆，

其圆心为，半径，

两圆在点处的切线互相垂直，

则，则有，即，

解得，因为，所以，

即，

过点作圆的切线，切点为，则

由，

所以，

又，

点是直线上的动点，

所以，

所以

所以.

故选：C

二、填空题

13．已知数据，，，，，的方差为5，则数据，，，，，的方差为______．

【答案】45

【分析】利用方差的性质直接求解．

【详解】数据，，，，，的方差为5，则数据，，，，，的方差为：．

故答案为：45．

14．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是______．

【答案】4

【分析】根据系统抽样的方法分为7组，每组抽1人即可.

【详解】将运动员成绩分为7组：

{130,130,133,134,135}，{136,136,138,138,138}，{139,141,141,141,142}，{142,142,143,143,144}，{144,145,145,145,146}，{146,147,148,150,151}，{152,152,153,153,153}，

每组抽取1人，其中成绩在区间上的分组有4组，∴有4人.

故答案为：4.

15．已知圆，若存在圆C的弦，使得，且其中点M在直线上，则实数k的取值范围是_____．

【答案】

【分析】由圆的性质得出，即点在一个圆上，问题转化为此圆与直线有公共点，由直线与圆的位置关系易得结论．

【详解】圆C的方程可化为，圆心，半径，由于弦满足，且其中点为M，则，因此M点在以为圆心，1为半径的圆上，又点M在直线上，故直线与圆有公共点，于是，解得．

故答案为：．

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的弦的性质．解题关键在于问题的转化．由弦长确定中点的轨迹，由点在直线上转化为直线与圆的位置关系．

16．如图，已知矩形ABCD，，，平面ABCD，且，点E为线段DC(除端点外)上的一点，沿直线AE将向上翻折成，M为的中点，则下列结论正确的有______．(写出所有正确结论的序号)

①三棱锥的体积为；

②当点E固定在线段DC某位置时，则在某圆上运动；

③当点E在线段DC上运动时，则在某球面上运动；

④当点E在线段DC上运动时，三棱锥的体积的最小值为．

【答案】②③④

【分析】利用等体积法求出体积，即可判断选项①，利用A⊥E，即可判断选项②，根据A＝1保持不变，即可判断选项③，求出点M到平面BCF的距离的最小值，过点A作出BF的垂线，求出最小值，即可判断选项④．

【详解】对于①，由等体积法可得，，

∴三棱锥A﹣BCF的体积为，故选项①错误；

对于②，当固定点E时，可知点在球面被平面截得的圆弧上，即在某圆上运动，

故选项②正确；

对于③，当点E在线段DC上运动时，A＝1保持不变，

∴点的轨迹为以点A为球心，半径为1的球面的一部分，

故选项③正确；

对于④，∵BC×BF，

∴求三棱锥M﹣BCF的体积的最小值即求点M到平面BCF的距离的最小值，

即求点到平面距离d的最小值，且d，

过点A作BF的垂线，垂足为H，

∵AF⊥平面ABCD，且BC平面ABCD，

故AF⊥BC，

又BC⊥AB，且ABAF＝A，AF，AB平面ABF，

∴BC⊥平面ABF，

又AH⊂平面ABF，

则BC⊥AH，

又BCBF＝F，BC，BF⊂平面BCF，

故AH⊥平面BCF，

∵点在以点A为球心，半径为1的球面上运动，

则点到平面BCF距离的最小值为d＝AH﹣1，

∴，

故三棱锥M﹣BCF的体积的最小值为，

故选项④正确．

故答案为：②③④．

三、解答题

17．已知点．

（1）求中边上的高所在直线的方程；

（2）求过三点的圆的方程．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）边上的高所在直线方程斜率与边所在直线的方程斜率之积为-1，可求出高所在直线的斜率，代入即可求出高所在直线的方程．（2）设圆的一般方程为，代入即可求得圆的方程．

【详解】（1）因为所在直线的斜率为，

所以边上的高所在直线的斜率为

所以边上的高所在直线的方程为，即

（2）设所求圆的方程为

因为在所求的圆上，故有

所以所求圆的方程为

【点睛】（1）求直线方程一般通过直线点斜式方程求解，即知道点和斜率．（2）圆的一般方程为，三个未知数三个点代入即可．

18．自2021年秋季起，江西省普通高中起始年级全面实施新课程改革，为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相同．

(1)求a，b的值；

(2)估算高分（大于等于80分）人数；

(3)估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）．

【答案】(1)

(2)90

(3)平均值69.5；中位数69.4

【分析】（1）由各矩形面积和为1列式即可；

（2）由高分频率乘以600即可；

（3）由平均数与中位数的估算方法列式即可.

【详解】(1)由题意可知：            

解得．

(2)高分的频率约为：．

故高分人数为：．

(3)平均值为，            

设中位数为x，则．

故中位数为69.4．

19．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，E，F分别为AD，PB的中点．求证：

(1)∥平面PCD；

(2)平面平面PCD．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(1)取PC的中点G，连接FG，DG，由DEFG为平行四边形得；

(2)由平面平面ABCD得平面PAD，得，结合得平面PAB．

【详解】(1)如图，取PC的中点G，连接FG，DG．

∵F，G分别为PB，PC的中点，∴，．

∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，

∴，．

∴，．

∴四边形DEFG为平行四边形．∴．

又∵平面PCD，平面PCD，

∴平面PCD．

(2)∵底面ABCD为矩形，∴．

又∵平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，

∴平面PAD，

∵平面PAD，∴．

又∵，，

∴平面PAB．

∵平面PCD，∴平面平面PCD．

20．随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：

（1）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为，，求事件“，均不小于25”的概率；

（2）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立关于的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.

（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出关于的线性回归方程；

（ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回归方程是否可靠？

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）可靠，见解析．

【分析】（1）根据题意写出所有的基本事件，即可求解：“不小于25”的概率；

（2）（ⅰ）由题意求出，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；

（ⅱ）分别将的值代入，检验数据的误差均是否不超过2颗，即可判断．

【详解】（1）解：依题意得，、的所有情况有：、、、、、

、、、、共有10个；

设“、均不小于25”为事件，则事件包含的基本事件有、、，所以，故事件的概率为；

（2）解：（ⅰ）由数据得，，，，，

.

所以关于的线性回归方程为.

（ⅱ）由（ⅰ）知，关于的线性回归方程为.

当时，，.

当时，，.

所以，所得到的线性回归方程是可靠的.

【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．

21．已知四面体，，且平面平面．

（Ⅰ）若，求证：；

（Ⅱ）求二面角的正切值．

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【详解】试题分析：（Ⅰ）证明两线垂直，一般转化为证明一线垂直于另外一线所在的平面，本题中可证明AC垂直于平面BDM，M点为线段AC的中点（Ⅱ）利用已知中的两面垂直转化出线面垂直，借助于三垂线定理做出二面角的平面角，解三角形通过边长得到角的大小

试题解析：（Ⅰ）∵

∴

∴，取中点，

则

∴平面，

∴

（Ⅱ）过点作交延长线于．过作于，连结

∵平面平面，∴平面，∴

根据三垂线定理知，为二面角的平面角

由已知可知，设，则

在中，，∴

∴ 二面角的正切值为

注：用空间向量做，酌情给分．

【解析】1．线面垂直的判定与性质；2．二面角的求解

22．在平面直角坐标系中，已知圆心在x轴上的圆C经过点，且被y轴截得的弦长为.经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点

（1）求当满足时对应的直线l的方程；

（2）若点，直线与圆C的另一个交点为R，直线与圆C的另一个交点为T，分别记直线l、直线的斜率为，求证：为定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）可设圆的标准方程为，将代入求出，过点作，由向量关系得，再结合勾股定理代换，求出，设出直线的一般方程，由圆心到直线的距离公式即可求解；

（2）设，由点斜式表示出直线的方程为，联立圆的方程，由韦达定理求出点坐标，同理可求点坐标，化简即可求解；也可采用直接求证的关系，推出，从而，推出直线与直线关于轴对称，得证.

【详解】（1）由已知圆的圆心在轴上，经过点，

且被轴截得的弦长为.设圆，

代入，得圆的方程为   

过点作，由得到，，

所以，即

，所以

设直线的方程为（直线与轴重合时不符题意）

由圆心到直线距离公式得=，，

所以直线的方程为.

（2）法一：设，

直线的方程为，其中

与联立得，由韦达定理得，所以，

所以，同理

所以

所以

法二：设，

设直线的方程为与圆的方程为联立得

，所以（）

所以

代入（）得，

从而，

所以直线与直线关于轴对称，所以

【点睛】本题主要考查圆的标准方程求法，由直线与圆的位置关系求直线解析式，由韦达定理求证斜率之积为定值问题，考查了转化与化归能力，计算能力，属于难题