2021-2022学年重庆市第八中学校高二（艺术班）下学期第一次月考数学试题含解析

2021-2022学年重庆市第八中学校高二（艺术班）下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．化为弧度是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，即可求出结果.

【详解】因为，所以.

故选：B.

2．若，，则角的终边在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】本题考查三角函数的性质．

由知角可能在第一、四象限；由知角可能在第三、四象限；

综上得角的终边在箱四象限

故正确答案为

3．已知，则x等于　　

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】把已知等式变形，可得，进一步得到，则x值可求．

【详解】由题意，可知，可得，即，所以，解得．

故选A．

【点睛】本题主要考查了有理指数幂与根式的运算，其中解答中熟记有理指数幂和根式的运算性质，合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

4．计算（log54）•（log1625）=（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】根据换底公式得到原式等于×=×=1.

【详解】将对数化为同底的对数（log54）•（log1625）=×=×=1．

故选B．

【点睛】对数化简的原则:（1）尽量将真数化为“底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．对数的换底公式:.

5．已知，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将两式平方，结合求出，整体代入即可求出的值，根据的范围可以求出的范围，从而确定具体值

【详解】因为，所以，因为，所以，

，所以

故选：A

6．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解.

【详解】由可得，

解得：，

故选：C.

7．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分、两种情况讨论，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.

【详解】关于的不等式的解集为.

①当时，即当时，则有恒成立，合乎题意；

②当时，则有，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故选：A.

8．已知，则的最小值为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为.

故选：A

二、多选题

9．若，则下列不等式中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用不等式的性质逐个分析判断即可

【详解】对于A、B，由，得，即，故错误，正确；

对于C，由，得，，所以，故正确；

对于D，在不等式两边同乘以负数，可得，故正确．

故选：．

10．集合也可以写成（       ）

A． B．

C．或 D．

【答案】ABD

【分析】先将题中集合化为最简形式，再将选项中各集合化简并与题中集合比较即可.

【详解】对于集合，解不等式，即，解得，所以.

对于A选项，，故A正确；

对于B选项，解不等式，即，得，即，故B正确；

对于C选项，与集合比较显然错误，故C错误；

对于D选项，等价于，故D正确.

故选：ABD

11．已知，，则的值可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】求出，，再分四种情况讨论得解.

【详解】解：因为，，所以，，

则，

当，时，上式，

当，时，上式，

当，时，上式，

当时，时，上式，

故选：AC．

12．已知关于x的不等式的解集为，则（       ）

A．

B．不等式的解集是

C．

D．不等式的解集为

【答案】ABD

【分析】根据不等式的解集判断出，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.

【详解】关于的不等式的解集为选项正确；

且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，

则，则，C选项错误；

不等式即为，解得选项正确；

不等式即为，即，解得或选项正确.

故选：.

三、填空题

13．已知，则_______.

【答案】

【分析】直接利用诱导公式计算可得.

【详解】解：因为，所以

故答案为：.

14．______．

【答案】3

【分析】直接由对数和指数的运算性质计算即可.

【详解】

．

故答案为：3.

15．已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为______．

【答案】2

【分析】利用扇形的面积公式即可求解.

【详解】，扇形AOB的面积为，

所以，解得．

故答案为：2

16．若函数在上的最小值为t，若，则正数k的取值范围为______．

【答案】

【分析】利用基本不等式取等号的条件建立不等式，求出k的范围.

【详解】由题意得：，∴，

∵函数在上的最小值为t，且，

当时，函数取得最小值，∴，

∴正数k的取值范围是.

故答案为：．

四、解答题

17．已知点是角的终边上一点．

（1）求；

（2）求的值．

【答案】（1），（2）

【解析】（1）先求出，由三角函数的定义可得答案.

（2）,将（1）中的结果代入可得答案.

【详解】（1）点在角的终边上一点，则

由三角函数的定义可得：

（2）

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，平面ABCD，且，．

(1)求证：∥平面PCD；

(2)求平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值．

【答案】(1)详见解析；

(2)

【分析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，易证四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；

（2）建立空间直角坐标系，求得平面MBC的一个法向量，易知平面ABCD的一个法向量为：，由求解.

【详解】(1)证明：如图所示：

取PD的中点E，连接ME，CE，

因为底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，

所以，

所以四边形是平行四边形，

所以，又平面PCD，平面PCD，

所以∥平面PCD；

(2)建立如图所示空间直角坐标系：

则，

所以，

设平面MBC的一个法向量为，

则，即，

令，得，

易知平面ABCD的一个法向量为：，

所以，

所以平面MBC与平面ABCD的夹角的余弦值为.

19．某校为纪念“12.9”运动，组织了全校学生参加历史知识竞赛，某教师从高一、高二年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩（满分为100分），绘制成如下所示的频率分布直方图：

(1)分别计算高一、高二竞赛成绩在内的人数；

(2)学校规定竞赛成绩不低于80分的为优秀，根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断竞赛成绩的优秀是否与年级有关？

附：，其中．

【答案】(1)10人，12人

(2)表格见解析，没有

【分析】（1）直接根据频率分布直方图即可得结果；

（2）根据已知条件完成列联表，再利用公式求解，然后根据临界值表判断即可.

【详解】(1)高一年级随机抽出50名学生的竞赛成绩在的人数为（人），

高二年级随机抽出50名学生的竞赛成绩在的人数为（人）．

(2)完成的2×2列联表为：

∵，

∴没有90%的把握认为竞赛成绩的优秀与年级有关．

20．己知等比数列，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)己知数列中，满足，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题中的等式，求解数列的首项及公比可得数列的通项公式；

（2）根据数列的通项公式，求解出数列的通项公式，再运用分组求和法求解数列的前n项和.

【详解】（1）记等比数列的公比为q，由可知，，

，解得，，

所以数列的通项公式为．

（2）∵，

∴

．

21．已知椭圆的离心率为，F是其右焦点，直线与椭圆交于A，B两点，．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设，若为锐角，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设为椭圆的左焦点，连接，由椭圆的对称性可知，，由求得，再利用，，可得答案；

（2）设点，， 联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理代入的坐标运算可得，再解不等式可得答案.

【详解】(1)设为椭圆的左焦点，连接，由椭圆的对称性可知，，

所以，所以，

又，，解得，所以椭圆的标准方程为：．

(2)设点，，则，，

联立直线与椭圆的方程整理得：，

所以，，，

因为为锐角，所以，

所以，

整理得：，解得：，或，

所以实数的取值范围为：或.

22．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性；

（2）对任意的，都有成立，只需任意的，，然后，结合（1）的单调性求出即可求解

【详解】(1)该函数的定义域为，

，

①当时，恒成立，函数的递增区间为；

②当时，令，解得或，

所以函数的递增区间为，递减区间为，

所以当时，函数的递增区间为；

当时，函数的递增区间为，递减区间为．

(2)对任意的，都有成立，只需任意的，，

①当时，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；

②当时，，在上是增函数，

所以只需，而，所以满足题意；

③当时，，在上是减函数，

在上是增函数，所以只需即可，

而，从而不满足题意；

综上①②③可得：实数a的取值范围为．