2021-2022学年辽宁省抚顺市第一中学高二下学期4月月考数学试题含解析

2021-2022学年辽宁省抚顺市第一中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．下列函数的求导正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据初等函数导数公式、导数的四则运算法则和复合函数求导法则依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，A错误；

对于B，，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：D.

2．由首项a1＝1，公比q＝2确定的等比数列{an}中，当an＝64时，序号n等于（       ）

A．4 B．5

C．6 D．7

【答案】D

【分析】根据等比数列通项公式可得2n－1＝64，即可求得答案.

【详解】因为数列{an}为等比数列，

所以an＝a1·qn－1＝2n－1＝64，解得n＝7.

故选：D

3．设等差数列的前项和为，若，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用等差数列通项和求和公式化简已知等式可求得，由可得结果.

【详解】设等差数列的公差为，

，，解得：，

，解得：，，

.

故选：A.

4．已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据等差数列前项和公式列方程求得与公差，即可求通项公式.

【详解】设公差为，依题意得

解得

所以

故选：C

5．已知函数在处取得极值，则（       ）

A．4 B．3 C．2 D．

【答案】B

【分析】依题意，即可求出参数的值；

【详解】解:因为，所以，由条件知，是方程的实数根，．所以，，令，解得或，即在和上单调递增，令，解得，即在上单调递减，故在取得极大值，满足条件；

故选：B

6．若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题设，函数区间单调性有，即在恒成立，根据的区间最值求t的范围.

【详解】由题意知：在恒成立，

∴在恒成立，而在递减，则，

∴即可.

故选：D.

7．在上的导函数为，，则下列不等式成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】令，根据已知可得，由此可知在上单调递增，通过可推导得到结果.

【详解】令，则，

，，在上单调递增，

，即，.

故选：A.

8．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】构造新函数,，当时.

所以在上单减，又，即.

所以可得,此时，

又为奇函数，所以在上的解集为：.

故选A.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.

二、多选题

9．数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则（       ）

A．a1＝1 B．d＝－

C．a2＋a12＝10 D．S10＝40

【答案】ACD

【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解.

【详解】设数列{an}的公差为d，

则由已知得S7＝，

即21＝，解得a1＝1.

又a7＝a1＋6d，所以d＝.

所以S10＝10a1＋d＝10＋＝40.

由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10.

故选：ACD

10．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（       ）

A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数

C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点

【答案】AC

【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.

【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.

所以A选项正确，B选项错误.

在区间上，有极大值为，C选项正确.

在区间上，是的极小值点，D选项错误.

故选：AC

11．直线可以作为下列函数图象的切线的有（       ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据导数的几何意义，判断选项中的导数是否有解，即可判断选项.

【详解】因为的斜率为1，根据导数的几何意义，判断选项中的导数值能否为1.

A.，无解，故A不正确；

B.，解得：，故B正确；

C.，即，，无解，故C不正确；

D.，解得：，故D正确.

故选：BD

12．下列命题中是真命题有（       ）

A．若，则是函数的极值点

B．函数的切线与函数可以有两个公共点

C．函数在处的切线方程为，则当时，

D．若函数的导数，且，则不等式的解集是

【答案】BD

【分析】利用极值点的定义，举例判断A；举例判断B；利用导数的极限定义判断C;构造函数，利用单调性解不等式.

【详解】A：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故不是函数的极值点，故A选项错误；

B：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确；

C：根据导数的定义可知，，即，，故错误；

D：令，则有，，故的解集是，故的解集是，正确；

故选：BD.

三、填空题

13．设是的导函数，写出一个满足在定义域上恒成立的函数的解析式：___________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】设函数，求得，得到，符合题意.

【详解】由题意，设函数，可得，

令恒成立，

即函数，符合题意.

故答案为：.

14．已知是公差为的等差数列，若，则________．

【答案】

【分析】利用等差数列的下标和性质以及通项公式代入计算，可求解得公差.

【详解】因为，得，即，.

故答案为：.

15．已知数列的前n项和公式，则其通项公式________.

【答案】.

【分析】利用关系式，当时，，当时，，即可求解.

【详解】由题意，数列{an}的前n项和公式

当时，，

又由当时，，

所以数列的通项公式为.

故答案为：

16．已知是函数的导函数，，其中是自对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为________．

【答案】

【分析】构造函数，根据已知判断其导数正负，利用单调性求解.

【详解】设，

，

在R上单调递增，

由，

即，

，

，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：构造恰当的函数，利用其单调性解不等式，是解题的关键，属于中档题.

四、解答题

17．（1）在等差数列中，已知，，求首项与公差d；

（2）已知数列为等差数列，，，求.

【答案】（1）；（2）24.

【分析】（1）由，得到解方程组可得答案；

（2）设等差数列的首项为，公差为d，得到解方程组可得答案.

【详解】（1）等差数列的公差为，

∵，，则解得，

∴这个等差数列的首项，公差.

（2）设等差数列的首项为，公差为d，

则由题意得解得，

故.

18．求与曲线y=f(x)=在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程.

【答案】3x+y-20=0

【分析】先求导数得切线斜率，由垂直关系可得直线斜率，由点斜式可得解.

【详解】因为y=，所以y′=()′=()′=，

所以，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为.

所以所求直线的斜率为-3，从而所求直线方程为y-8=-3(x-4)，即3x+y-20=0.

19．设函数．

(1)求函数在处的切线方程；

(2)求函数的极值．

【答案】(1) x +y=0；(2) 的极大值为，极小值为.

【分析】(1)对求导得，求出，由直线点斜式方程写出切线方程即得；

(2)求出方程＝0的根，并讨论大于或小于0的x取值区间，由此判断极值情况，再求解而得.

【详解】(1)由得，，

过点(0,0)，斜率为-1的直线为y=-x，

所以函数在处的切线方程为x +y=0；

(2)由(1)知，＝0时，，

或时，时，，

所以x=-1时，取得极大值，x=ln2时，取得极小值，

故的极大值为，极小值为.

【点睛】可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.

20．已知函数f(x)＝x+alnx+1．

（1）求函数f(x)的单调区间和极值；

（2）若f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数a的值．

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，f(x)有极小值为，无极大值；（2）a＝－1．

【分析】（1）求出导函数，通过当，a＜0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性求解函数的极值即可.

（2）求出导函数，求解极值点，通过①若a≥－1，则x＋a≥0，即在[1，e]上恒成立，推出的值；②若a≤－e，则x＋a≤0，即≤0在[1，e]上恒成立，类似①求解判断即可；③若－e<a<－1，当1<x<－a时，当－a<x<e时，判断导函数的符号，判断函数的单调性求解函数的最值，推出的值，得到结果即可.

【详解】解：（1）函数f(x)的定义域为

当时，＞0恒成立，f(x)在上单调递增，无极值；

当a＜0时，令＞0，解得x＞－a，令＜0，解得x＜－a，

所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，

此时f(x)有极小值，无极大值；

（2），x∈[1，e]，由＝0得x＝－a，

①若a≥－1，则x＋a≥0，即在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f（1）＝－a+1，即2＝－a+1，则a＝－1，符合条件．

②若a≤－e，则x＋a≤0，即≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝－a+1，即e＋a＋1＝－a+1，则a＝，不符合条件．

③若－e<a<－1，

当1<x<－a时，<0，∴f(x)在(1，－a)上为减函数；

当－a<x<e时，>0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，

∴f(x)min＝f(－a)＝﹣a+1，即－a+aln(－a)＋1＝﹣a+1，

则a＝0或a＝－1，均不符合条件．

综上所述，a＝－1．

21．已知等差数列满足，数列的前项和为，满足.

（1）求数列与的通项公式；

（2）设，求.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）设公差为，由已知列式即可求出首项和公差，得出通项公式，利用可得为等比数列，即可求出通项公式；

（2）利用错位相减法可求出.

【详解】（1）设数列的公差为d，则，解得，

所以，

对于数列，当时，，所以.

当时，由，即，

故{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.

（2）①

②

①-②得，

，

.

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.

22．已知函数，其中为常数.

（1）若曲线在处的切线在轴上的截距为，求值；

（2）若存在极大值点，求的取值范围，并比较与的大小.

【答案】（1）；（2）的取值范围是，.

【分析】（1）求导得，求解出和，根据导数的几何意义写出切线方程，再利用切线在轴上的截距为，得；

（2）求导，设，由题意可判断得是函数在区间内的一个变号零点，列不等式组求解的取值范围，表示出，设函数，求导判断单调性，从而得，即可判断得.

【详解】解：（1），所以.

又，所以切线方程为，即.

由已知，，解得.

（2），设函数，

所以函数的减区间为，增区间为，

因为是极大值点，所以在的左右两侧，的值先正后负，

即 的值也是先正后负，故，所以是函数在区间内的一个变号零点.

于是.

解得，故所求的取值范围是.

因为是的极大值点，所以，于是，其中.

所以.

设函数，则.

所以在区间内单调递减，故.

又，所以，且，于是，

故.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．