2021-2022学年宁夏银川市第二中学高二下学期第一次月考数学（理）试题含解析

2021-2022学年宁夏银川市第二中学高二下学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．的值为（       ）

A．3 B．9 C．12 D．15

【答案】B

【分析】根据排列组合数公式，进行化简计算即可．

【详解】解：．

故选：．

【点睛】本题考查了排列组合数公式的计算，属于基础题．

2．某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有（       ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】A

【解析】根据分步乘法计数原理，根据题中条件，可直接得出结果.

【详解】将5封不同的信，通过4个不同的信箱邮寄，每封信都有4种不同的投递方法，

因此总的不同的投递方法共有：种.

故选：A.

3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：从装有个红球，个白球的袋中任取个球，共有基本事件种，则全取红球的基本事件只有一种，所以所取个球中至少有个白球的概率为，故选D.

【解析】古典概型及其概率的计算.

4．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，c为常数，k＝1,2,3,4，则的值为(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由已知，＝1，解得c＝，

∴.

5．根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为（       ）

A．0.8 B．0.625 C．0.5 D．0.1

【答案】A

【分析】利用条件概率的概率公式求解即可.

【详解】设发生中度雾霾为事件，刮四级以上大风为事件，

由题意知：，，，

则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为.

故选：A.

6．大庆实验中学安排某班级某天上午五节课课表，语文､数学､外语､物理､化学各一节，现要求数学和物理不相邻，且都不排在第一节，则课表排法的种数为（       ）

A．24 B．36 C．72 D．144

【答案】B

【分析】分数学排在第一节、物理排在第一节、数学和物理都不排在第一节但相邻三类，分别求得排法数求和，由5节课任意排的排法减去三类情况的排法数即可.

【详解】1、将数学排在第一节的排法有种；

2、将物理排在第一节的排法有种；

3、数学和物理都不排在第一节，但相邻的排法有种；

而5节课任意排的排法有种，

∴数学和物理不相邻且都不排在第一节的排法有种.

故选：B.

7．已知的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中含有的项的系数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，可由各项系数和可得；利用二项展开式的通项公式，分别令和即可求得结果.

【详解】令，则，解得：；则展开式的通项为：，

令，解得：，则；

令，解得：，则；

展开式中含有的项的系数为.

故选：A.

8．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用次独立重复实验中恰好发生次的概率计算公式，即可求得．

【详解】解：由题意可得，取得红球的概率为，

说明前11次取球中，有9次取得红球、2次取得白球，

且第12次取得红球，故.

故选：D.

【点睛】本题考查了次独立重复实验中恰好发生次的概率，解本题须认真分析的意义，属于基础题．

9．在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自身的特点，决定按以下方法选课：①外语可选英语或日语，②若选历史，则政治和地理至多选一科，③物理和日语最多只能选一个，则这个同学可能的选课方式共有（       ）

A．6种 B．11种 C．12种 D．16种

【答案】D

【分析】利用分类相加、分步相乘的计数原理进行讨论即可.

【详解】第一类：三门主科选语文、数学、日语时，此时不能选物理，只能选历史，且政治和地理至多选一门，即政治地理不能同时选，即种方式.

第二类：三门主科选择语文、数学、英语时，若选历史，则跟第一类同理种方式；若选物理，则化学、生物、政治、地理中任选两科无限制，即.

综上所述，所以选择方式为种方式.

故选：D

10．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（    ）

A．100 B．200 C．300 D．400

【答案】B

【详解】试题分析：设没有发芽的种子数为，则，，所以

【解析】二项分布

【方法点睛】

一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.

11．为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（       ）

A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种

【答案】A

【分析】分组分配问题需要考虑重复；依题意要先分类，因为8个人分成3组人数上有不同的分法，再分配.

【详解】根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：第一类是2，2，4，第二类是3，3，2，

故不同的安排方法共有 种；

故选：A.

12．若是11的倍数，则自然数为（       ）

A．奇数 B．偶数 C．3的倍数 D．被3除余1的数

【答案】A

【分析】将化简为，由此可得选项.

【详解】解：∵

，

又是11的倍数，∴为偶数，即为奇数．

故选：A.

二、填空题

13．若随机变量, 则方差____________.

【答案】

【分析】利用方差公式，即可得出答案．

【详解】结合方差．

【点睛】本题考查了方差计算公式，记住，即可．

14．有名男演员和名女演员，演出的出场顺序要求名女演员之间恰有名男演员，则不同的出场顺序共______种

【答案】36

【分析】本道题目是一个排列问题，先将2名女生和1名男生捆绑，然后排列，在作为一个整体参与全排，即可．

【详解】采用捆绑法，将2名女演员和1名男演员捆绑有，然后在全排，有，

共有36种方法．

【点睛】本道题目考查的是排列问题，可以采取捆绑法进行解答．

15．两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面， 且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开，则这两位同学能够见面的概率是________．

【答案】

【解析】以5：30作为原点O，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x，y，根据题意求出两位同学能够见面，所构成的区域，最后利用几何概型计算方法求解即可.

【详解】如图所示，以5：30作为原点O，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x，y，设事件A表示两位同学能够见面，所构成的区域为A＝{(x，y)||x－y|≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P(A)＝.

故答案为：

16．设，则…______．

【答案】1

【分析】先，可得，再令，可得答案.

【详解】由题意令，可得

令，可得

所以

故答案为：1

三、解答题

17．已知向量，．

（1）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率；

（2）若x，y在连续区间 上取值，求满足的概率．

【答案】（1） ；（2） .

【解析】（1）根据题意得出基本事件总数和满足包含的基本事件个数，根据古典概型求解；

（2）列出不等式组，作出满足条件的区域，利用几何概型求解概率.

【详解】(1) 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，有序数对可能情况有36种，

即，包含的情况有三种，

所以满足的概率为；

 (2)若x，y在连续区间 上取值，则全部基本事件的结果为

.

满足的基本事件的结果为 ．

画出图象如图所示，矩形的面积为 ，

阴影部分的面积为 ，

故满足的概率为.

18．在的展开式中，第3项的二项式系数为28．

（1）求及第5项的系数；

（2）求展开式中的有理项．

【答案】（1），第5项系数为1120；（2）有理项共三项，分别为，，．

【分析】（1）根据第3项的二项式系数为28,可得的值.由二项式定理展开通项，即可求得第5项的系数；

（2）由二项式定理展开通项，即可求得有理项.

【详解】（1）第3项的二项式系数为，

得，

解得，

第5项的系数是．

（2），

当时，，

当时，，

当时，；

所以有理项共三项，分别为，，．

【点睛】本题考查了二项式定理展开的应用，考查二次项系数、系数、有理项的求法，属于基础题.

19．甲，乙，丙三人各自独立地加工同一种零件，已知甲加工的零件是一等品且乙加工的零件不是一等品的概率是，乙加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率是，甲加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率是.记事件A，B，C分别是甲，乙，丙三人各自加工的零件是一等品.

(1)分别求出事件A，B，C的概率；

(2)从甲，乙，丙三人加工的零件中随机各取1个进行检验，记这3个零件是一等品的个数为，求随机变量的分布列.

【答案】(1)

(2)分布列见解析

【分析】（1）根据题意，①，②，③，再解方程组即可得答案；

（2）的可能取值为0，1，2，3，再根据独立事件的概率公式求对应取值的概率，列分布列即可；

【详解】(1)解：根据题意，①，②，③；

由②③得④，

将④代入①得，解得，

所以，

(2)由(1)得，

的可能取值为0，1，2，3.

所以，的分布列为：

20．冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学.在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等).

(1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率；

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的期望和方差.

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）利用古典概型概率公式求出即可.

（2）由题可知，即得分布列，再利用期望，方差公式计算即得.

【详解】(1)设A为选出的3名同学是来自互不相同的大学，则

；

(2)由题可知随机变量的所有可能值为

的分布列为：

∴，

.

21．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．

（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

【答案】（1）103680

（2）576

【详解】试题分析：（1）本题是一个分别计数问题，先排前4次测试，只能取正品，有A64种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C42•A22种测法，

再排除余下4件的测试位置有A44种，根据分步计数原理得到结果．

（2）恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，表示第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，利用组合数写出结果．

解：（1）由题意知本题是一个分别计数问题，

先排前4次测试，只能取正品，有A64种不同测试方法，

再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，

有C42•A22=A42种测法，再排余下4件的测试位置有A44种测法．

∴共有不同排法A64•A42•A44=103680种．

（2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．

∴共有不同测试方法A41•（C61•C33）A44=576种．

【解析】排列、组合的实际应用．

22．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,求的概率；

（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大

【详解】(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,两人中奖与否互不影响,

记“这2人的累计得分”的事件为A,则A事件的对立事件为“”,

,

这两人的累计得分的概率为.

(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为,都选择方案乙抽奖中奖的次数为,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为

由已知:,

,

,

他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.