2021-2022学年广东省佛山市第一中学高二下学期第一次段考（3月）数学试题含解析

2021-2022学年广东省佛山市第一中学高二下学期第一次段考（3月）数学试题

一、单选题

1．已知数列：1，1，2，3，5，8，…，则89是该数列的第（     ）项

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】B

【分析】由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和，从而可写出数列的项，进而可求得结果

【详解】由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和，

所以这个数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，

所以89是该数列的第11项，

故选：B

2．已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，则的值为（     ）

A． B．-1 C．- D．1

【答案】A

【分析】通过等差数列性质和三角形内角和即可算出，从而获解.

【详解】由题知,又,所以

所以,即

故选：A

3．已知等差数列{}的前n项和为，若，则的值为（     ）

A．3 B．9 C．27 D．54

【答案】C

【分析】设等差数列{}的公差为d，利用基本量代换，代入公式即可求解.

【详解】设等差数列{}的公差为d.

因为，所以.

所以.

故选：C

4．在等比数列{}中，，是方程的实根，则的值为（     ）

A． B．±4 C．2 D．-4

【答案】D

【分析】先判断出，所以，，利用等比中项的性质即可求解.

【详解】因为，是方程的实根，

所以，，所以，.

由等比中项的性质可得，所以.

因为，，

所以.

故选：D

5．已知对任意，则的值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据任意，利用数列通项和前n项和的关系，求得通项公式求解.

【详解】解：因为对任意，

所以当时，，

当时，得，

两式相减得，即，

又适合上式，

所以，

所以.

故选：A

6．已知，是椭圆C:的左，右焦点，P是椭圆C上一点，若|依次成等差数列，则椭圆C的离心率为（     ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】A

【分析】由等差数列及椭圆的性质可得，再由离心率公式即可得解．

【详解】设，

因为成等差数列，

所以即，

所以椭圆C的离心率.

故选：A．

7．已知点是曲线上一动点，当曲线在处的切线斜率取得最小值时，该切线的倾斜角为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出，再利用基本不等式求解即可.

【详解】根据题意得，，

所以，当且仅当时成立，

所以该切线的倾斜角为：.

故选：D.

8．若数列{}，{}的通项公式分别为，且对任意恒成立，则a的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据的奇偶分类讨论求解

【详解】①当为奇数时，即恒成立，故；

②当为偶数时，恒成立，；

综上，

故选：B

二、多选题

9．已知，记数列{}的前项和为Sn，则下列说法正确的有（     ）

A． B．

C．对任意 D．对任意m

【答案】ACD

【分析】首先由递推公式列出数列的前几项即可找到数列的周期性，再一一判断即可；

【详解】解：因为且，所以，，，，，，，所以，即是以为周期的数列，且，因为，所以，故A正确；

，故B错误；

因为，，，，，，，，所以对任意，，故C正确；

因为，，，因为，所以，故D正确；

故选：ACD

10．下列结论正确的有（     ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；

【详解】解：对于A：，故A正确；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C正确；

对于D：，故D错误；

故选：AC

11．已知，记数列的前项和为，则下列说法正确的有（     ）

A．对任意 B．

C．若，则 D．当数列是等差数列时，

【答案】AC

【分析】因为，所以，两式相减可判断A的正误；利用累加法可判断B，C的正误；当数列是等差数列时，求出首项及公差，可判断D的正误.

【详解】选项A：因为，所以，

两式相减得，故A正确；

选项B：因为，所以，…，

累加得，

即，故B错误；

选项C：，所以，…，

累加得，

所以，故C正确；

选项D：因为数列是等差数列，且，所以公差，

又因为，当时，，

即，得，

所以，故D错误；

故选：AC.

12．已知数列{}和{}中，则下列说法正确的有（     ）

A．对任意 B．数列}的前n项和为

C．对任意 D．存在m，，使得

【答案】ABC

【分析】根据，两式相加得到，

两式相乘得到，再逐项判断即可.

【详解】因为，

所以两式相加得，

又，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，

所以 ， 故A正确；

两式相乘得，

又，

所以是以1为首项，以2为公比的等比数列，

所以，

则，

同理，

所以，   

则，故D错误；

则，

当且仅当，即时等号成立，故C正确；

又，则，故B正确；

故选：ABC

三、填空题

13．已知等差数列{}的前n项和为，若，则=___________

【答案】48

【分析】设等差数列的公差为，依题意根据等差数列的通项公式及前和公式得到方程组，解得和，即可得到通项公式，再代入计算可得；

【详解】解：设等差数列的公差为，由，，即，

解得，所以，所以；

故答案为：

14．已知，若在点处的切线方程为，___________

【答案】

【分析】先求出的值，再求出切点坐标，代入切线方程即可.

【详解】根据题意得，，所以，解得，

所以，所以，将点代入，解得.

故答案为：.

15．已知数列{}是不单调的非常数数列，且对任意，则满足条件的数列{}的一个通项公式为___________

【答案】或．

【分析】根据要求直接写出即可．

【详解】因为数列{}是不单调的非常数数列，且对任意，则可以是：

或．

故答案为：或．

四、双空题

16．设等比数列的前项和为，，，已知、，若存在正整数、使得、、成等差数列，则数列的公比为___________；的最小值为___________.

【答案】         

【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于的等式，即可解得的值，求出，根据已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】设等比数列的公比为，则，因为，，

则，解得，所以，，

由题意可得，可得，所以，，

由基本不等式，整理可得，

，所以，，满足题意，所以，，

当且仅当，即当时，等号成立.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知等差数列{}的前n项和为，

(1)求数列{}的通项公式；

(2)记，求数列{}的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意得，解方程组求出，从而可求出数列{}的通项公式；

（2）由（1）可得=，然后利用等比数列求和公式求解即可

【详解】(1)设等差数列{}的公差为，则

由题意可得

解之得

所以数列{}的通项公式为

(2)由（1）知=，

∴

=

=

18．已知数列{}和{}中，.

(1)求证：数列{}是等比数列；

(2)求证：数列{}是等差数列；

(3)求数列{}和{}的通项公式

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)，.

【分析】（1）对两个递推公式同时相加，根据等比数列的定义进行证明即可；

（2）对两个递推公式同时相减，根据等差数列的定义进行证明即可；

（3）结合（1）（2）的结论，通过解方程组法进行求解即可.

【详解】(1)依题设可得，

∴，

∴数列{}是以为首项，以为公比的等比数列；

(2)依题设可得，

∴，

∴数列{}是以为首项，以2为公差的等差数列；

(3)由（1）得：，

由（2）得，

∴两个等式相加，得，即，

两个等式相减，得，即.

19．已知数列{}满足：

(1)求证：数列{}是等比数列；

(2)，求数列{·}的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知条件构造出，利用定义法即可证明；

（2）求出得到 .

利用错位相减法求出，即可求出.

【详解】(1)因为，所以.

而，所以数列{}是以为首项，以3为公比的等比数列，

所以，即.

(2)由（1）可得

∴

记……①

所以……②

①-②得：

∴

∴.

20．已知数列{}满足

(1)求证：数列是等差数列；

(2)记，求数列{·}的前2022项和；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由递推公式构造数列证明

（2）由裂项相消法求和

【详解】(1)依题设可得

∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，

∴，

∴

(2)由（1）可得，

∴，

∴

21．已知，各项均为正整数的数列{}满足：，记数列{}的前n项和为.

(1)若，求的值；

(2)若，求的值；

(3)若，求的值

【答案】(1)=30

(2)

(3)或10

【分析】（1）根据数列递推关系式先求解数列的前7项，再求和即可得出结果；

（2）先根据数列递推关系式写出数列的前几项，进而找出数列的周期规律，最后计算前2022项的和即可；

（3）运用分类讨论的思想，根据的不同取值分别求解出数列的前三项 再根据的值求解的值.

【详解】（1）∵∴

=30.

（2）∵

，

∴

（3）当）时

与k为正整数矛盾

当（k为正奇数）时

∴

当）时，

∴∴∴

综上或10.

22．已知数列是公差不为的等差数列，且数列是等比数列，其中，，.

(1)求；

(2)记，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知得出，可求得，可得出，求出数列的公比，求出数列的表达式，可求得，再利用分组求和法可求得结果；

（2）求得，利用裂项相消法可求得.

【详解】(1)解：由已知可得，则，

，所以，，则，

所以，，，则数列的公比为，

所以，，所以，，

所以，.

(2)解：，

则

，

因此，

.