2021-2022学年山西省太原师范学院附属中学高二下学期开学测试（B卷）数学试题含解析

2021-2022学年山西省太原师范学院附属中学高二下学期

开学测试（B卷）数学试题

一、单选题

1．设，，且，则等于（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】根据空间向量垂直的坐标表示计算即可

【详解】∵，∴，∴，

故选:A.

2．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，

从而得出l的斜率的取值范围,即得解

【详解】设直线过定点，则直线可写成，

令解得直线必过定点．

，．直线与线段相交，

由图象知，或，解得或，

则实数的取值范围是．

故选：A

【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．

3．已知函数在处的导数为，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用导数的定义即可求出．

【详解】

故选：C．

4．已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用等差数列公式和等比中项公式得到答案.

【详解】∵，，成等比数列，故,

又∵等差数列的公差为1，

即 解得：,

∴,

故选:D.

5．正项等比数列中，已知，那么（       ）

A．4042 B．2021 C．4036 D．2018

【答案】B

【分析】利用等比数列的中项性质结合对数的运算公式计算.

【详解】正项等比数列中，，

，

∴

．

故选：B．

6．已知双曲线：，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线左支上，且，则（       ）

A．1 B．13 C．17 D．1或13

【答案】B

【分析】根据双曲线的定义和点的位置可知，可得出的值.

【详解】由题意可知 ，

并且

.

故选：B

【点睛】本题考查双曲线的定义的简单应用，属于基础题型.

7．圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意设圆心坐标，建立方程，求解即可.

【详解】解：设圆心坐标为，因为圆心在轴上且圆与轴相切，所以即为半径,

则根据题意得：，解得，

所以圆心坐标为：，半径为5，该圆的方程是,

展开得：.

故选：C.

8．已知F是椭圆=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（       ）

A．10 B．11 C．13 D．21

【答案】D

【分析】利用椭圆的定义转化为P到M和到另一焦点的距离的差的最大值来解决.

【详解】解：如图，

由椭圆=1，得

得，则椭圆右焦点为，

则

.

当与射线与椭圆的交点重合时取到等号,

的最大值为21.

故选：D.

9．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且与直线交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的标准方程是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及中点的横坐标可得、的一个方程，又双曲线中有，则另得、的一个方程，最后解、的方程组即得双曲线方程．

【详解】设双曲线方程为．

将代入，整理得．

由韦达定理得，则．

又抛物线的焦点，所以，解得，，

所以双曲线的方程是．故选C．

【点睛】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．

10．函数 的导函数的图象如图所示，给出下列命题：

①是函数的极值点；

②是函数的最小值点；

③在区间上单调递增；

④在处切线的斜率小于零．

以上正确命题的序号是（　　）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

【答案】C

【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．

【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，故③正确；

则是函数的极小值点，故①正确；

在上单调递增，

不是函数的最小值点，故②不正确；

函数在处的导数大于，

切线的斜率大于零，故④不正确．

故选：C．

11．已知奇函数是定义在R上的可导函数，的导函数为，当时，有，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的不等式构造函数，再探讨函数的性质，借助性质解不等式作答.

【详解】依题意，令，因是R上的奇函数，则，即是R上的奇函数，

当时，，则有在单调递增，

又函数在R上连续，因此，函数在R上单调递增，

不等式，

于是得，解得，

所以原不等式的解集是.

故选：B

12．过双曲线的焦点作以焦点为圆心的圆的一条切线，切点为，的面积为，其中为半焦距，线段恰好被双曲线 的一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三角形中位线性质得，进而，由渐近线方程和点到直线距离公式求得，进而得到，，根据三角形面积得到关于的关系式，进而得到关于的方程，求解可得.

【详解】由题意，可得图像如图：

∵O为F1F2的中点，N为F1M的中点，

∴，∴，

∵焦点到渐近线的距离,

∴，

又∵|OF1|=c, ，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴或，

又∵，

故.

故答案为：C.

【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，利用已知条件得到关于的方程是关键，根据条件对离心率的范围进行研究，从而做出判断与取舍是容易忽视的.此题中焦点到渐近线的距离等于半虚轴是一个很有用的结论，可以注意记忆一下.

二、填空题

13．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为_______．

【答案】

【分析】由双曲线的离心率为，可以得到，再根据求出的关系，从而得出渐近线的方程.

【详解】解：因为双曲线的离心率为，

所以，

故，

又因为，

所以，即，即，

所以双曲线的渐近线.

【点睛】本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出的关系，从而解决问题.

14．在数列中，，，记是数列的前项和，则=____．

【答案】220.

【解析】当是奇数时，，数列中奇数项构成等差数列，当是偶数时，，从而可求.

【详解】当是奇数时，，数列中奇数项构成等差数列，

当是偶数时，，

.

故答案为：220.

【点睛】本题主要考查数列的分组求和，数列通项公式含有时，通常对进行分类讨论，转化为熟知的数列求解，侧重考查数学运算的核心素养.

15．若存在过点的直线与曲线和曲线都相切，则实数的值是________.

【答案】2

【分析】在两曲线上分别设切点，得到切线l，点在切线l上，列方程解之即可.

【详解】设切线l与曲线和曲线的切点分别为、

令， 则，，

则切线l方程为，

又点在切线l上，则，解之得

则切线l方程为

令，则，

则有，即，则切点，令

由，可得

故答案为：2

16．已知圆：与圆：，过动点分别作圆、圆的切线、（、分别为切点），若，则的最小值是________．

【答案】

【分析】由已知分析可得，P在线段的垂直平分线上，根据圆心坐标，利用中点公式和直线垂直的斜率关系求得垂直平分线方程，即为P的轨迹方程，将看成两点间的距离，利用点到直线的距离的意义和点到直线的距离公式求得的所求的最小值.

【详解】由于与中，，，

∴与全等，∴有，

则在线段的垂直平分线上，

根据、，

直线的斜率为,∴线段的垂直平分线的斜率为,

的的中点坐标为,

∴其垂直平分线为,即，

∵表示、两点间的距离，

∴最小值就是到的距离，

利用点到直线的距离公式可求出最小值．

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.

(1)求实数a的值；

(2)求证：当时，.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；

（2）构造函数，利用导数判断其单调性，求出最值，即可证明.

【详解】(1)解：的定义域为，，

由题意知，则.

(2)证明：由（1）知，，

令，

则，

由得，由得，

故在上单调递减，在上单调递增，

∴

即，即.

18．已知数列的前项和为，且对于任意正整数，有成等差数列.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）见解析；（2）.

【分析】（1）根据等差数列的性质，可得，根据与之间关系，然后进一步可得，结合等比数列的概念，可得结果.

（2）根据（1）的条件，可得，进一步可得，然后使用错位相减法可得.

【详解】（1）证明：由成等差数列，可知.

当时，，∴.

当时，，与相减，可得，

∴，∴，

∴数列为首项为，公比为的等比数列；

（2）解：由（1）知，所以，

所以，①

.②

由②①：，

则

则.

【点睛】本题考查与之间关系以及错位相减法求和，掌握，以及常用的求和方法，比如：公式法、裂项相消法、错位相减等，属中档题.

19．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是梯形，，，.

(1)求证：平面；

(2)若直线与平面所成的角为30°，点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得CD⊥平面,得到,然后，根据已知条件，利用面面垂直的性质定理证得结论；

（2）以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

利用空间向量的坐标运算求解.

【详解】(1)（1）证明：取中点，连接.

，且，∴四边形为平行四边形.

则，于是.

又，，平面.

又平面，.

又平面平面且交线为，

平面.

(2)（2）平面.即为直线与平面所成的角，

.又，，.

以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，.

，，.

，.

设平面的法向量，

由得取.

由（1）可知，平面，

所以平面的法向量

.

平面与平面夹角的余弦值为.

【点睛】20．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若函数有两个极值点，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案详见解析；

(2).

【分析】（1）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间；

（2）运用转化法，结合导数的性质和数形结合思想进行求解即可.

【详解】(1)函数的定义域为，.

①当时，由，知函数在内单调递增；

②当时，由，即得；

由，即得.

所以，函数在内单调递增，在内单调递减.

因此，当时，在内单调递增；

当时，在内单调递增；在内单调递减；

(2)函数的定义域为，

，

因为函数有两个极值点，

所以方程有两个不相等的正实数根，

即，设函数，

当时，单调递减，当时，单调递增，

即函数的最大值为：，

由，由，

因此函数的图象如下图所示：

要想方程有两个不相等的正实数根，

只需函数的图象有两个交点，即，

实数的取值范围.

【点睛】方法点睛：函数的极值个数可以转化为函数导函数零点个数问题，进而转化为两个函数图象的交点个数问题，利用导数和数形结合思想进行求解即可.

21．已知双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使（O为坐标原点)，求t的值及点D的坐标．

【答案】(1)＝1

(2)t＝4，点D的坐标为(4，3)

【分析】（1）易知a＝2，再根据焦点到渐近线的距离为，得到b2＝3求解；

（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，根据，得到x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，再将直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理利用向量共线求解.

【详解】(1)由题意知a＝2，所以一条渐近线方程为y＝，

因为焦点到渐近线的距离为，所以，所以b2＝3．

所以双曲线的方程为＝1．

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，

因为，

所以x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0．

将直线方程与双曲线方程联立，得x2－16，

则x1＋x2＝，y1＋y2＝12．

所以，解得，

由＝t，得，

所以t＝4，点D的坐标为(4，3)．

22．已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）若直线与曲线相交于，两点，试问：在轴上是否存在定点，使当变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在定点.

【分析】（1）根据题意得，进而得，所以有，故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，再根据椭圆的定义即可得答案；

（2）假设存在点满足题设，设，，联立直线与椭圆方程得，，再将平分转化为

直线与直线的斜率之和为零，最后将式子带入化简即可求解.

【详解】（1）圆，圆心，

由线段的垂直平分线交于点得，

又，

所以，

所以由椭圆的定义知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

设其标准方程，

则，，所以，，

所以曲线.

（2）设存在点满足题设，

联立直线与椭圆方程消得

，

设，，

则由韦达定理得①，②，

由题设知平分直线与直的倾斜角互补，

即直线与直线的斜率之和为零，

即，即，

即③，

把①、②代入③并化简得，即④，

所以当变化时④成立，只要即可，   所以存在定点满足题设.

【点睛】本题考查利用定义法求椭圆的方程，椭圆中的定点问题，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.