2020-2021学年广东省深圳中学高一上学期期末数学试题含解析

这是一份2020-2021学年广东省深圳中学高一上学期期末数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省深圳中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数是（       ）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【答案】A【分析】由题可得，根据正弦函数的性质即得.【详解】∵函数，∴函数为最小正周期为的奇函数.故选：A.2．（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两角和的正弦公式和诱导公式，即可求出结果.【详解】，由两角和的正弦公式，可知故答案为：C3．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：组号12345678频数1013141513129 第3组的频数和频率分别是（       ）A．和14 B．14和 C．和24 D．24和【答案】B【分析】根据样本容量和其它各组的频数，即可求得答案.【详解】由题意可得：第3组的频数为 ，故第3组的频率为 ，故选：B4．函数的零点的个数为 A． B． C． D．【答案】B【分析】略【详解】因为函数单调递增，且x=3,y>0,x=1,y<0，所以零点个数为15．在某次测量中得到的样本数据如下：.若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据，则两样本的下列数字特征对应相同的是（       ）A．众数 B．平均数 C．标准差 D．中位数【答案】C【分析】分别求两个样本的数字特征，再判断选项.【详解】A样本数据是：，样本数据是：，A样本的众数是48，B样本的众数是50，故A错；A样本的平均数是 ，B样本的平均数是，故B错；A样本的标准差 B样本的标准差， ，故C正确；A样本的中位数是，B样本的中位数是，故D错.故选：C6．四个函数：①；②；③；④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（       ）   A．④①②③ B．①④②③ C．③④②① D．①④③②【答案】B【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，在上的值为负数，故第三个图象满足；③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选：B．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．若函数 满足且的最小值为，则函数的单调递增区间为A． B．C． D．【答案】D【详解】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.详解：，根据题中条件满足 且的最小值为，所以有，所以，从而有，令，整理得，从而求得函数的单调递增区间为，故选D.点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确.8．已知函数在区间上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，通过对参数讨论作图可解.【详解】在区间上有且只有一个零点在区间上有且只有一个解，即在区间上有且只有一个解令，，当，即时，因为在上单调递减，在上单调递增且，，由图1知，此时函数与在上只有一个交点；当，即时，因为，所以要使函数与在上有且只有一个交点，由图2知，即，解得或（舍去）.综上，的取值范围为.故选：D二、多选题9．已知函数，若，则的值可能为（       ）A．1 B． C．10 D．【答案】AD【分析】首先求得，再讨论的取值，解方程即可求解.【详解】，因为，所以，当时，，解得：，当时，，解得：，故选：AD10．已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（       ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】ABC【分析】由所在的象限求出的范围，再求出的范围，最后对分类讨论，即可判断；【详解】解：因为角是第一象限角，所以，，所以，， 当，时，，，位于第一象限，当，时，，，位于第二象限，当，时，，，位于第三象限，综上可得位于第一、二、三象限；故选：ABC11．为了得到函数的图象，只需将函数的图象所有点（       ）A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度，再把所得图象各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得图象各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）【答案】BC【分析】利用三角函数图象变化规律，即可判断选项.【详解】的图象，首先横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得， 再将所得图象向左平移个单位长度，得的图象；的图象，首先向左平移个单位长度，得，再把所得图象各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变，得的图象.故选：BC12．定义行列式，若函数，则下列表述错误的是（       ）A．的图象关于点中心对称B．的图象关于直线对称C．在区间上单调递增D．是最小正周期为的奇函数【答案】ABD【分析】首先化简函数，再根据三角函数的性质，判断选项.【详解】由题中所给定义可知，A.，故A错误；B.，故B错误；C.时，，此时函数单调递增，故C正确；D.，但，所以函数不是奇函数，故D错误.故选：ABD三、填空题13．半径为2cm，圆心角为的扇形面积为         .【答案】【分析】求出扇形的弧长,利用扇形面积公式求解即可.【详解】因为半径为,圆心角为的扇形,弧长为,所以扇形面积为: 故答案为.【点睛】本题考查扇形的面积公式的应用,考查计算能力，属于基础题.14．数据的第50百分位数是__________.【答案】16【分析】第50百分位数为数据的中位数,即得.【详解】数据的第50百分位数，即为数据的中位数为.故答案为：16.15．已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值是__________.【答案】9【分析】利用求的最小值即可.【详解】，当且仅当a＝b＝时取等号，不等式恒成立，则m≤9，故m的最大值为9.故答案为：9.16．函数的值域是__________.【答案】【分析】首先换元，再利用三角变换，将函数转化为关于的二次函数，再求值域.【详解】设，因为，所以，则，，当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，所以函数的值域是 故答案为：四、解答题17．在平面直角坐标系中，已知角的页点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点.(1)求的值；(2)求旳值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角函数的定义可求得的值，再利用诱导公式结合同角的三角函数关系化简可得结果；（2）利用二倍角的余弦公式可直接求得答案.【详解】(1)由角的终边经过点，可得 ， ，故；(2).18．已知集合，集合，集合.(1)求；(2)若，求实数的值取范围.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合、，即可求出；（2）由，可知，得到不等式组，即得.【详解】(1)∵，， ，或， ∴或；(2)∵，，由，得，，解得，∴实数的值取范围为.19．从某小学随机抽取100多学生，将他们的身高（单位：）数据绘制成频率分布直方图（如图）.(1)求直方图中的值；(2)试估计该小学学生的平均身高；(3)若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为多少人？【答案】(1)(2)(3)4人【分析】（1）根据频率和为1，求出的值；（2）根据频率分布直方图，计算平均数即可． （3）根据分层抽样方法特点，计算出总人数以及应抽取的人数比即可；【详解】(1)解：因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有，解得；(2)解：根据频率分布直方图，计算平均数为(3)解：由直方图知，三个区域内的学生总数为人，其中身高在内的学生人数为人，所以从身高在范围内抽取的学生人数为人；20．已知函数的部分图象如图所示，其中.(1)求的值；(2)若角是的一个内角，且，求的值.【答案】(1)，，，(2)【分析】（1）根据图象的特征，列式确定的值；（2）根据（1）的结果，代入解析式，得，结合同角三角函数基本关系式，即可求解.【详解】(1)由图象可知， ，解得：，，，解得：，当时，，得，因为，所以，综上可知，，，，；(2)由（1）可知，，即,因为，解得：21．设函数，其中.(1)求函数的值域；(2)若，讨论在区间上的单调性；(3)若在区间上为增函数，求的最大值.【答案】(1)(2)在区间上单调递增，在上单调递减(3)【分析】（1）首先化简函数，再求函数的值域；（2）利用代入法，求的范围，再结合函数的性质，即可求解函数的单调性；（3）由（1）可知，，首先求的范围，再根据函数的单调区间，求的最大值.【详解】(1) ，所以函数的值域是；(2)时，，当，，当，即时，函数单调递增，当，即时，函数单调递减，所以函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是；(3)若，则， 若函数在区间上为增函数，则，解得：，所以的最大值是.22．已知函数，其中.(1)若对任意实数，恒有，求的取值范围；(2)是否存在实数，使得且？若存在，则求的取值范围；若不存在，则加以证明.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】(1)首先求出在上的最大值，问题转化为对任意成立，然后化简不等式，参变分离构造即可.(2)分a＞0和a＜0两种情况讨论，去掉绝对值符号，转化为解不等式的问题.【详解】(1)，，，∴，∴原问题对任意成立，即对任意成立，即对任意成立，∴.故a的范围是：.(2)①，，∵，∴，∴不等式变为，∴；(2)，，∵，∴此时无解.综上所述，存在满足题意.