2021-2022学年福建省莆田第一中学高一上学期期末考试数学试题含解析

2021-2022学年福建省莆田第一中学高一上学期期末考试

数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

【详解】由题意可得：，则.

故选：A.

2．“”是“”的（       ）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据指数函数的性质求的解集，由充分、必要性的定义判断题设条件间的关系即可.

【详解】由，则，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：B

3．函数的零点所在的区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数零点存在性定理判断即可．

【详解】，，，故零点所在区间为

故选：B

4．已知函数，则下列结论不正确的是（       ）

A． B．是的一个周期

C．的图象关于点对称 D．的定义域是

【答案】C

【分析】画出函数的图象，观察图象可解答.

【详解】画出函数的图象，易得的周期为 ，且是偶函数，定义域是，故A，B，D正确；

点不是函数的对称中心，C错误.

故选：C

5．函数有（       ）

A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2

【答案】D

【分析】分离常数后，用基本不等式可解.

【详解】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.

（方法2）令，，，.

将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.

故选：D

6．函数的部分图象大致为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由奇偶性定义判断对称性，再根据解析式判断、上的符号，即可确定大致图象.

【详解】由题设，且定义域为R，即为奇函数，排除C，D；

当时恒成立；

，故当时，当时；

所以，时，时，排除B；

故选：A.

7．针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，歼16D战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的（       ）倍（精确度为0.01）.

A．0.67 B．0.92 C．1.09 D．1.26

【答案】C

【分析】根据给定信息，求出，再列式求解作答.

【详解】依题意，，即，则歼20战机所受的大气压强，

歼16D战机所受的大气压强，，

所以歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的倍.

故选：C

8．设 ，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，则,再由指数、对数函数的单调性得出大小，得出答案.

【详解】由，则

， ，

所以

故选：D

二、多选题

9．若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则角的值可能是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据终边相同角的公式求解即可．

【详解】；；

，故角为与角终边相同的角．

故选：AC

10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（       ）

A．当时， B．函数的值域是

C．函数有两个零点 D．不等式的解集是

【答案】ABD

【分析】依题意作出函数的图象，根据图象即可判断各选项．

【详解】因为是奇函数，故，且当时，，故函数有三个零点C错误，

当时，，，故A正确，

如图所示易得D正确，

由图可得，则函数的值域是，故B正确.

故选：ABD

11．下列命题是真命题的有（       ）

A．函数的值域为

B．的定义域为

C．若，则

D．对于命题，使得，则，均有

【答案】AC

【分析】根据三角函数值域的求解，具体函数定义域的求解，三角不等式的求解以及命题的否定的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：，

又当时，，故，故A正确；

对B：要使得函数有意义，则且，

解得：且，故的定义域为，故错误；

对C：，

则，故正确；

 对D：命题的否定，均有，故错误.

故选：.

12．已知是周期为4的奇函数，且当时，，设，则（       ）

A． B．函数为周期函数

C．函数在区间上单调递减 D．函数的图象既有对称轴又有对称中心

【答案】BD

【分析】由与的关系式及的周期性、奇偶性，即可求、判断B；利用奇函数性质求在上的解析式，结合的周期性及求上的解析式判断C，利用对称性判断、是否成立判断D.

【详解】因为周期为4，则的周期为4，又是奇函数，

所以，A错误，B正确；

令，即，则，即；

令，即，则，即；

所以，

根据周期性在上的图象与在相同，

所以，当，即时，，C错误；

由是周期为4的奇函数，则且，

所以，故关于对称，

，所以关于对称，D正确.

故选：BD

【点睛】关键点点睛：根据的周期性及奇函数性质求上的解析式，结合判断的性质，注意对称性证明：判断是否存在、.

三、填空题

13．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________.

【答案】9

【解析】根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式求解.

【详解】因为扇形的弧长是6，圆心角为2，

所以，

所以扇形的面积为，

故答案为：9.

14．角的终边经过点，且，则________.

【答案】

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义直接计算．

【详解】角的终边经过点，且，

解得.

故答案为：．

15．若正数，满足，则________.

【答案】108

【分析】设，反解，结合指数运算和对数运算，即可求得结果.

【详解】可设，则，，；

所以.

故答案为：108.

四、双空题

16．已知函数是定义在上的奇函数，且，则________，________.

【答案】     1     0

【分析】根据函数的周期性和奇偶性，结合已知条件，代值计算即可.

【详解】因为满足，且，且其为奇函数，

故；

又，故可得，

又函数是定义在上的奇函数，故，又，

故.

故答案为：1；0.

五、解答题

17．求值：（1）

（2）已知，求的值

【答案】（1）0；（2）

【分析】（1）由指数幂的运算性质及对数的运算性质可求解；

（2）由诱导公式即同角三角函数关系可求解.

【详解】（1）原式；

（2）原式.

18．已知函数.

(1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；

(2)若，解关于的不等式.

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】(1)根据给定条件利用一元二次不等式恒成立求解作答.

(2)在给定条件下分类解一元二次不等式即可作答.

【详解】(1)，恒成立等价于，，

当时，，对一切实数不恒成立，则，

此时必有，即，解得，

所以实数的取值范围是.

(2)依题意，因，则，

当时，，解得，

当时，，解得或，

当时，，解得或，

所以，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为或.

19．已知函数（其中，）的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，且直线是函数图象的一条对称轴.

(1)求的值；

(2)求的单调递减区间；

(3)若，求的值域.

【答案】(1)2

(2)

(3)

【分析】小问1：先求解函数周期再求得参数的值；

小问2：根据对称轴求出的值，结合正弦函数单调减区间定义即可求解；

小问3：因为，所以，结合正弦函数的值域即可求出结果．

【详解】(1)因为函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，

所以函数的周期，所以．

(2)因为直线是函数图象的一条对称轴，

所以，.又，所以．

所以函数的解析式是．

令，

解得．

所以函数的单调递减区间为．

(3)因为，所以.所以，即函数的值域为．

20．某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量不超过40万部时，销售1万部手机的收入万元；当年销售量超过40万部时，销售1万部手机的收入万元

（1）写出年利润万元关于年销售量万部的函数解析式；

（2）年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润.

【答案】（1）；（2）年销售量为45万部时，最大利润为7150万元.

【解析】（1）依题意，分和两段分别求利润=收入-成本，即得结果；

（2）分和两段分别求函数的最大值，再比较两个最大值的大小，即得最大利润.

【详解】解：（1）依题意，生产万部手机，成本是（万元），

故利润，而，

故，

整理得，；

（2）时，，开口向下的抛物线，在时，利润最大值为；

时，，

其中，在上单调递减，在上单调递增，故 时，取得最小值，

故在 时，y取得最大值

 而，

故年销售量为45万部时，利润最大，最大利润为7150万元.

【点睛】方法点睛：

分段函数求最值时，需要每一段均研究最值，再比较出最终的最值.

21．已知函数.

(1)当时，试判断并证明其单调性.

(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)单调递增，证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用单调性定义证明的单调性；

（2）根据奇偶性定义判断奇偶性，结合（1）的区间单调性确定上的单调性，进而求的值域，令将问题转化为求参数范围.

【详解】(1)在上单调递增，证明如下：

，且，则，

由得：，，

所以，即在上的单调递增

(2)由题设，使，

又，即是偶函数，

结合（1）知：在单调递减，在上单调递增，又，

所以，即，

令，则使，可得，

令在单调递增，故；

所以，即.

22．已知函数（其中），函数（其中）.

(1)若且函数存在零点，求的取值范围；

(2)若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据题意，分离参数且利用对数型复合函数的单调性求得的值域，即可求得参数的取值范围；

（2）根据是偶函数求得参数，再根据题意，求解指数方程即可求得的取值范围.

【详解】(1)由题意知函数存在零点，即有解.

又，

易知在上是减函数，又，，即，

所以，所以的取值范围是.

(2)的定义域为，若是偶函数，则，

即解得.

此时，，

所以即为偶函数.

又因为函数与的图象有且只有一个公共点，故方程只有一解，

即方程有且只有一个实根.

令，则方程有且只有一个正根

①当时，，不合题意，

②当时，方程有两相等正根，则，

且，解得，满足题意；

③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意，

综上所述：实数的取值范围为或.

【点睛】本题考察利用函数奇偶性求参数值，以及对数方程的求解，对数型复合函数值域的求解，解决问题的关键是熟练的掌握对数函数的性质，属综合困难题.