2021-2022学年黑龙江省佳木斯市第一中学高一上学期12月月考数学试题含解析

2021-2022学年黑龙江省佳木斯市第一中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：集合，集合，所以,故选D.

【解析】1、一元二次不等式；2、集合的运算.

2．函数的定义域为（    ）

A．（－∞,3] B．（1,3] C．（1,＋∞） D．（－∞,1）∪[3,＋∞）

【答案】B

【分析】由根式内部的代数式大于等于0 ,对数式的真数大于0联立不等式组求解.

【详解】要使函数有意义，

则，

解得，

函数的定义域为，故选B.

【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.

3．下列函数中既是偶函数，最小正周期又是的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由于函数 y=sin2x周期为π，不是偶函数，故排除A．

由于函数y=cosx周期为2π，是偶函数，故排除B．

由于函数y=tanx是周期函数，且周期为π，但它不是偶函数，故排除C．

由于函数 y=|tanx|是周期函数，且周期为π，且是偶函数，故满足条件，

故选D．

4．函数的零点所在的区间为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知条件分别求出，，由此利用零点存在性定理能求出结果．

【详解】函数，在时，是连续增函数，

，

，

，

函数函数零点所在大致区间是．

故选D．

【点睛】本题考查函数的零点所在区间的判断，注意函数性质和零点存在性定理的合理运用，是基础题．

5．某扇形的圆心角为，所在圆的半径为，则它的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题得所以它的面积是

故选A.

6．函数f(x)=的值域是（       ）

A．(-∞，1) B．(0，1)

C．(1，+∞) D．(-∞，1)∪(1，+∞)

【答案】B

【分析】根据的范围，利用不等式法，即可求得函数值域.

【详解】∵3x+1>1，∴0<<1，

∴函数的值域为(0，1).

故选：.

【点睛】本题考查利用不等式法求指数型复合函数值域的求解，属基础题.

7．已知，，则的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】易知，，，根据的范围即可比较出结果.

【详解】解：易知，，，所以.

故选C.

【点睛】本题考查指数、对数大小的比较，找中间值是比较大小常用的一种方法，属于基础题.

8．函数的一个单调递增区间是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出的单调递增区间.即可选出答案.

【详解】因为在区间上单调递增.

所以

所以的单调递增区间为.

当时: 区间为：.

故选：A.

【点睛】本题考查正切函数的单调区间.属于基础题.

9．将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位后，得到函数的图象，那么所得图象的一条对称轴方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的图象变换规律得到的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性可求所得图象的一条对称轴方程.

【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，

纵坐标不变，可得的图象；

再将所得图象向左平移个单位后，得到函数的图象，

令，求得，

时得图象的一条对称轴方程为,故选A.

【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.

10．函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..

【详解】详解：为奇函数，排除A,

，故排除D.

，

当时，，所以在单调递增，所以排除C；

故选：B.

11．关于有以下命题，其中正确的个数（　　）

①若，则;②图象与图象相同;③在区间上是减函数;④图象关于点对称.

A．1 B．0 C．3 D．2

【答案】C

【分析】由结合的性质分别判断即可.

【详解】由，.

若，则.①错误.

.②正确.

当时，，在区间上单调递减. 故在区间上是减函数.③正确.

当时，，关于对称. 图象关于点对称. ④正确.

故选：C.

【点睛】本题考查正弦型函数的性质.属于基础题.熟练掌握的相关性质是解本题的基础.

12．已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】把方程有三个不同的实根转化为函数的图象与有三个不同交点，画出函数图象，数形结合可得，从而求得实数的范围.

【详解】解：，，，显然不合题意，因此，

方程有三个不同的实根，即函数的图象与有三个不同交点.

作出函数的图象如图：

由图可知：，得.

∴实数的范围是.

故选：B.

二、填空题

13．______．

【答案】

【详解】.

14．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：

现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①；②；③；④其中最接近的一个是 _______ （只填序号）

【答案】④

【分析】将分别带入①②③④，即可得出答案.

【详解】

由表格数据可知其中最接近的一个是④.

故答案为：④.

【点睛】本题考查函数模型的建立.属于基础题.

15．已知函数，若在R上单调递增，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【分析】分段函数在R上单调递增，则在每一段上都单调递增，且在分段处左边函数值小于或等于右边的函数值，据此列式求解即可.

【详解】由题可知，.

故答案为：.

16．关于的方程恒有实数解，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【详解】关于x的方程4cosx﹣cos2x+m﹣3=0，化为m=cos2x﹣4cosx+3=（cosx﹣2）2﹣1，因为cosx∈[﹣1，1]，

所以cosx﹣2∈[﹣3，1]，m∈[0，8]．

方程4cosx﹣cos2x+m﹣3=0恒有实数解，则实数m的取值范围是：[0，8]．

故答案为[0，8]．

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

三、解答题

17．已知．

(1)化简；

(2)若，求的值．

【答案】(1))

(2)

【分析】（1）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可；

（2）由（1）可得，利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；

【详解】(1)解：，即；

(2)解：由（1）得到，

所以

18．如图为函数的部分图象．

(1)求函数解析式；

(2)求函数的单调递增区间及对称轴方程；

【答案】(1)

(2)单调递增区间为；对称轴方程为

【分析】（1）根据图像可分别求出、、,则可写出答案.

（2）根据在区间上单调递增；的对称轴方程为.则可求出答案.

【详解】(1)由图可知.

,又.

将代入

所以，又.

所以.

(2)因为在区间上单调递增.

所以

解得：.

所以的单调递增区间为；

因为的对称轴方程为.

所以.

所以函数的对称轴方程

【点睛】本题考查正弦型函数的性质.属于基础题.

19．已知函数

(1)求函数的最小正周期;

(2)当时，求的最值，并指明相应的值．

【答案】(1)

(2)，最小值，时，最大值

【分析】（1）直接根据正弦函数的周期性即可得解；

（2）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得出答案.

【详解】(1)解：因为

所以f(x)的最小正周期T=；

(2)解：由可得，

所以当，即时，取得最小值，

当，即时，取得最大值．

20．已知是定义在上的偶函数，且当时，

（1）求函数的解析式；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）或

【分析】（1）令，则，由函数为R上的偶函数，得到，进而可求得函数的解析式；

（2）根据复合函数的单调性，可得在上单调递增，在上单调递减，把不等式转化为或，即可求解．

【详解】（1）由题意，令，则，

因为是定义在上的偶函数，所以，

即当时，，

所以函数的解析式为．

（2）由内层函数在上单调递减，外层函数在上单调递减，根据复合函数的单调性，可得在上单调递增，

又是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，

又由，可得或，

即或，解得或．

即实数的取值范围或．

【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的单调性的应用，其中熟记函数的单调性与奇偶性，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

21．已知定义域为的函数是奇函数

（1）求的值

（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1） （2）减函数，证明见解析（3）

【分析】(1)由题意结合确定实数a的值即可；

(2)由题意结合函数单调性的定义确定函数的单调性即可；

(3)由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f符号，结合恒成立的结论求解实数的取值范围即可.

【详解】（1）由题设，需．经验证，为奇函数，

（2）减函数.

证明：任取，，

，

，

所以在上是减函数.

（3）由得，

是奇函数，，

由（2）知在是减函数，

故原问题可化为即：对任意恒成立，

，

解得.

【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.

22．已知，当时，.

（Ⅰ）若函数过点，求此时函数的解析式；

（Ⅱ）若函数只有一个零点，求实数的值；

（Ⅲ）设，若对任意实数，函数在上的最大值与最小值的差不大于1，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）

【详解】试题分析：（Ⅰ）将点 代入可得函数的解析式；（Ⅱ）函数有一个零点，即 ，根据对数运算后可得 ，将问题转化为方程有一个实根，分 和 两种情况，得到 值，最后再代入验证函数的定义域；（Ⅲ）首先根据单调性的定义证明函数的单调性，再根据函数的最大值减最小值 整理为 ，对任意 恒成立， 时，区间为函数的单调递增区间，所以只需最小值大于等于0，求解 的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）函数过点，

， ，

 此时函数

（Ⅱ）由得，

化为，

当时，可得，

经过验证满足函数只有一个零点；

当时，令解得，可得，

经过验证满足函数只有一个零点，

综上可得：或.

（Ⅲ）任取且，则，

，即，

在上单调递减.

 函数在区间上的最大值与最小值分别为，

，

整理得对任意恒成立，

令，

函数在区间上单调递增，

 ，即，解得，

故实数的取值范围为.

【点睛】本题以对数函数为载体，考查了函数的零点，单调性，最值，恒成立问题，以及转化与化归的能力，综合性比较高，最后一问转化为了二次函数的问题，所以需熟练掌握二次函数的恒成立问题.