2021-2022学年广东省广州市华南师范大学附属中学高一下学期4月月考数学试题含解析

2021-2022学年广东省广州市华南师范大学附属中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．下列结论中正确的是（       ）

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

【答案】D

【分析】举例正八面体可说明A错误；若以锐角三角形的一边所在的直线为旋转轴得到的几何体为两个圆锥的组合体可说明B错误；说明正六棱锥的侧棱长大于底面边长，可说明C错误；根据圆锥母线的概念可判断D.

【详解】对于A，正八面体的各个面都是三角形，但不是三棱锥，所以A错误.

对于B，若以锐角三角形的一边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥形成的组合体，所以B错误.

对于C，正六棱锥的底面六边形的外接圆半径与底面边长相等，而正棱锥的侧棱长大于底面多边形外接圆半径，所以正六棱锥的侧棱长大于底面边长，所以C错误.

对于D，圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，所以D正确.

故选：D.

2．已知为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为钝角，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用向量数量积的运算律可得，，，再由向量数量积的定义及夹角为钝角，列不等式求的范围，注意排除夹角为时的值.

【详解】由题设，，

，则，

，则，

所以，即.

当，可得，此时与的夹角为，不为钝角，

综上，的范围为.

故选：D

3．设向量，，若，则k=（       ）

A． B． C．1 D．－1

【答案】C

【分析】求出向量的坐标，根据数量积为零列出方程，求得答案.

【详解】由，,

由题意可知，可知，

则，解得，

故选：C

4．在复平面内为坐标原点，复数，对应的点分别为，则的大小为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由复数乘法运算求得，进而得到，利用向量数量积运算和模长运算可求得，进而得到.

【详解】，，，，

，

，

又，.

故选：C.

5．为虚数单位，已知复数是纯虚数，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据纯虚数的定义，实部为，虚部不为，列方程组求解.

【详解】复数是纯虚数，所以，得.

故选：C.

6．如果复数z满足，那么的最大值是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．表示圆上的点与点的距离，求出即可得出．

【详解】复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．

表示圆上的点与点的距离．

．

的最大值是．

故选：A．

【点睛】本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程表示的圆的半径为2，而不是．

7．已知，“实系数一元二次方程的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足且”的（       ）条件.

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充分必要 D．既非充分又非必要

【答案】D

【分析】分别求出实系数一元二次方程的两根都是虚数，存在复数z同时满足且的等价条件，分析二者的关系即可得出结论.

【详解】∵实系数一元二次方程的两根都是虚数，

∴，∴；

设，

由可得，表示以为圆心，以2为半径的圆；

由可得是以为圆心，以1为半径的圆.

由题意可知复平面上的圆和圆有公共交点.

所以，即，

所以，实数，

因为不能推出，也不能推出，

所以“实系数一元二次方程的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足且”的既不是充分条件也不是必要条件.

故选：D.

8．已知中，角的对边分别为．若，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦定理边化角，可得，再次角化边可得关系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值.

【详解】由正弦定理得：，

即，

，则，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，解题关键是能够灵活应用正弦定理进行边角互化，从而得到三角形三边之间满足的等量关系，将等量关系代入余弦定理，则可利用基本不等式求得最值.

二、多选题

9．下列说法正确的是（       ）

A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱

B．棱锥的侧面一定都是三角形

C．棱台各侧棱所在直线必交于一点

D．有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台

【答案】BC

【分析】对A，根据棱柱的定义即可判断；对B，根据棱锥的定义即可判断；对C，根据棱台的定义即可判断；对D，根据棱台的定义即可判断.

【详解】解：对A，如图所示：

将两个平行六面体合在一起，但不是棱柱，故A错误；

对B，根据棱锥的定义可知：棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确；

对C，根据棱台的定义可知：棱台各侧棱所在直线必交于一点，故C正确；

对D，如图所示：

该几何体的上下底面是两个全等的矩形，两矩形平行，且上面矩形的长与下面矩形的宽对应平行，则四个侧面均为等腰梯形，但四条侧棱并不交于同一点，故不是四棱台，故D错误.

故 选：BC.

10．以钝角三角形的某条边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体可以是（       ）

A．两个圆锥拼接而成的组合体

B．一个圆台

C．一个圆锥

D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥

【答案】AD

【分析】考虑以钝角三角形的最长边还是较短边为轴旋转，判断得到的几何体形状，可确定A,D，排除B,C.

【详解】以钝角三角形的最长边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体是两个同底圆锥拼接而成的组合体，所以A正确；

以钝角三角形的较短边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体都是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥，所以D正确；同时排除B,C；

故选：AD.

11．下列命题中正确的有（       ）

A．若复数满足，则； B．若复数满足，则；

C．若复数满足，则； D．若复数，则．

【答案】AD

【分析】根据复数的运算性质，即可判定A正确；取，可判定B不正确；取，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.

【详解】对于A中，设复数，

可得，

因为，可得，所以，所以A正确；

对于B中，取，可得，所以B不正确；

对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；

对于D中，设，由，可得，即，可得，所以D正确.

故选：AD

12．复数的共轭复数记为，复数、分别对应点、.设是一些复数对应的点组成的集合，若对任意的，都有，就称为“共轭点集”.下列点集中是“共轭点集”的有（       ）

A．， B．

C． D．

【答案】BC

【解析】所谓“共轭点集”，即点集形成的图像关于轴对称，所以只需逐个选项判断图像是否关于轴对称即可.

【详解】复数的共轭复数记为，复数、分别对应点、.设是一些复数对应的点组成的集合，若对任意的，都有，就称为“共轭点集”.

可知满足性质：复数、分别对应点、.对称点关于轴对称，图形关于轴对称.

，表示的图形不关于轴对称；所以不是“共轭点集”.

的图象关于轴对称； 是“共轭点集”

的图形关于轴对称；是“共轭点集”

的图象不关于轴对称.不是“共轭点集”

故选：

【点睛】本题考查图形的对称性，属于中档题.

三、填空题

13．已知方程有两个虚根，则的取值范围是________

【答案】

【详解】因为为方程两个根，所以，，方程有虚根，所以，故，故填.

14．已知关于x的方程，总有实数解，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据复数相等得到，，消去x得到

，利用基本不等式可得到，即可求得答案.

【详解】设 是方程的实数解，

则，

即，

∴，，

消去得

∴，

∵，,时取等号 ，

∴，

即,

则，

得，

∵，

∴，

则，即，

即的取值范围是，

故答案为：

15．如图，在平行四边形中，，F为的中点，G为上的一点，且，则实数m的值为________.

【答案】

【分析】根据向量加法、数乘的几何意义可得、，再由三点共线有且，结合已知即可求出参数m的值.

【详解】由题意，，，

又，，三点共线，则且，

所以，又，

所以，解得，.

故答案为：.

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3a2＝2b2＋c2，则的最大值为________.

【答案】

【分析】利用余弦定理化简可得,根据面积公式，由根据余弦定理和基本不等式可求得，进而求得的范围，得出结果.

【详解】由题意得：，

所以，

所以，

由题意得，

所以，（当且仅当时取"="），

所以，所以，

所以的最大值为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式以及均值不等式，属于中档题.

四、解答题

17．实数k为何值时，复数是：

(1)实数？

(2)虚数？

(3)纯虚数？

(4)0？

【答案】(1)或；

(2)且；

(3)；

(4).

【分析】（1）解方程即得解；

（2）解不等式即得解；

（3）解不等式，且即得解；

（4）解方程，且即得解.

【详解】(1)解：当，即或时，z是实数；

(2)解：当，即且时，z是虚数；

(3)解：当，且，z是纯虚数，即时为纯虚数；

(4)解：当，且，即时，z是0.

18．设复数z满足：在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，且是和的等比中项，求.

【答案】

【分析】设，化简，根据该复数对应的点在第二、四象限的角平分线上，得到x，y的关系，然后由，求解.

【详解】解：设，

则，

因为该复数对应的点在第二、四象限的角平分线上，

所以

即

则，

∵，

∴

∴，

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且△ABC的面积为．

（1）若b=，求a+c的值；

（2）求2sinA-sinC的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（1）由向量的数量积公式和面积公式可求得，再由B角的余弦定理，可求．（2）己知角, 所以统一成角C,化成关于角C的三角函数，注意角C的范围．

试题解析：（1）由得，①

由得，②

由①②得，，

又b= 则3=-3ac，a+c=

（2）由（1）知

因为，所以，

所以的取值范围是

20．如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，，其中.

（1）求表达式的值，并说明理由；

（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的的值.

【答案】（1）；（2），

【详解】试题分析：（1）将向量用向量和表达，由三点共线，即可得到和的关系．（2）由三角形面积公式，，由（1）可知，由消元法，转化为的函数求最值即可．

试题解析：：（1）如图延长交与，∵是正三角形的中心为的中点，则有

三点共线

故

（2）是边长为1的正三角形，由，即

设则,

易知在为减函数，在为增函数．，即，时，取得最小值，即取得最小值’

又∴f（t）取得最大值是，

则取得最大值，此时或

【解析】向量的实际应用，函数的最值

【点评】本题考查平面向量基本定理和向量的表示、求函数的最值，考查消元和换元等方法．属中档题．解题时要根据实际问题回归求函数最值的问题，其中考查利用函数的单调性求函数最值的方法，要注意构造新函数时定义域的问题

21．设复数.求函数的最大值以及对应的值.

【答案】时，函数y取得最大值

【分析】由求得，再由两角差的正切建立关于的函数，，再由基本不等式法求解．

【详解】解：解：由得.

由得.

故

∵，

∴.

当且仅当时，即时，上式取等号.

所以当时，函数y取得最大值.

22．对于函数，，如果a，b，c是任意的非负实数，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为上的“恒三角形函数”.

(1)设，，若函数是上的“恒三角形函数”，试求实数的取值范围；

(2)在（1）的条件下，令函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）由三角恒等变换及数量积的坐标运算化简可得正弦型三角函数，由自变量的范围可求出函数的值域，根据新定义列出不等式组求解即可；

（2）化简后，根据换元转化为二次函数求出函数的值域，由题意知，建立不等式组求解即可.

【详解】(1)函数

∵

∴，

①时，，由题意得即，

②时，，由题意得即，

③时，符合题意.

综上得，

(2)函数，

令，

则，

∵，

∴，

∴，即，

由题意得

①时，由题意得，

②时，由题意得，即，

③时，由题意得不符合题意，

综上得或.