2021-2022学年重庆市育才中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

2021-2022学年重庆市育才中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知向量满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.

【详解】由平面向量数量积的运算性质可得，

.

故选：C

2．在中，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用余弦定理即可求出结果.

【详解】因为，所以，即，因为，则，

故选：A.

3．在中，若，则的形状为（       ）

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和可求出，进而可得正确选项.

【详解】,

,

因为

所以，

所以，可得或，

又因为，,

所以

所以，，，

所以为等边三角形.

故选：B

4．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件可求出，然后根据投影向量的求法即可得出向量在向量上的投影向量．

【详解】向量，

，

向量在向量上的投影向量为：．

故选：B

5．已知的内角的对边分别为，若的面积为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角形面积公式列出相应等式，结合余弦定理化简，即可得到答案.

【详解】由题意可得： ，

即，则 ，

由于 ，故 ,

故选：D

6．如图所示，在平行四边形中，，为的中点，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用向量加减法的几何意义将转化为、即可.

【详解】

.

故选：B

7．已知向量，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解不等式且，即得解.

【详解】解：因为向量与向量的夹角为钝角，

所以且向量与向量不共线，

所以且，

所以且.

故选：C

8．如图所示，点是正三角形外接圆圆上的动点，正三角形的边长为，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将变形为，

根据平面向量数量积和模的概念分别求出和，

当同向和反向时的取得最值，计算即可.

【详解】

，

因为正三角形的边长为12，所以，

，

所以，

当同向时，

此时取最大值为，

当反向时，

此时取最小值为，

综上，的取值范围是.

故选：C.

二、多选题

9．下列命题正确的是（       ）

A．复数的模是

B．复数的共轭复数为，则的一个充要条件是

C．若是纯虚数，则实数

D．关于的方程在复数范围内的两个根互为共轭复数

【答案】ABD

【分析】对于A，直接求模，对于B，利用充要条件和共轭复数的定义判断，对于C，由实部为零，虚部不为零求解即可，对于D，直接求解方程即可

【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，

对于B，令，则，若时，则，此时，若，则，得，此时，所以的一个充要条件是，所以B正确，

对于C，因为是纯虚数，所以，解得，所以C错误，

对于D，方程的根为，即复数范围内的两个根分别为或，所以两个根互为共轭复数，所以D正确，

故选：ABD

10．下列关于向量的说法正确的是（       ）

A．

B．已知非零向量满足，则

C．

D．已知点为内一点，满足 ，则为的重心

【答案】AD

【分析】对A，由向量加（减）法的运算法则即可判断；

对B，变形成，即可根据向量数量积的性质判断；

对C，结合向量数量积为常数这一性质，即可判断；

对D，以为边作平行四边形，由得到到顶点与到对边中点比为，即可利用三角形重心的性质判断.

【详解】对A，，故A正确；

对B，，根据向量数量积的性质可知，关系不确定，故B不正确；

对C，，向量数量积为常数，关系不确定，故C不正确；

对D，由图，为平行四边形，其对角线交于，

由，

故到顶点与到对边中点比为，

由三角形重心的性质可得，为的重心，故D正确.

故选：AD

11．对于，有如下命题，其中正确的是（       ）

A．若，则是等腰三角形

B．在中，是为锐角三角形的充要条件

C．若，则为锐角三角形

D．若，则为钝角三角形

【答案】AD

【分析】由，得，从而判断A，举例，判断B，化简，边角互化并结合余弦定理可判断得为钝角，判断C，根据向量数量积的定义代入得，化简计算后可判断得为钝角，判断D.

【详解】在中，，得，所以是等腰三角形，故A正确；

若，则，此时为直角三角形，故B错误；

若，即，由边角互化得，根据余弦定理得，所以为钝角，故C错误；

若，即，即，因为，所以，即为钝角，故D正确.

故选：AD

12．在锐角中，角所对的对边分别为，已知，，则下列说法正确的是（     ）

A．

B．

C．面积的最大值为

D．周长的取值范围为

【答案】ABD

【分析】对于A，根据三角形的内角和定理及锐角三角形的定义即可判断；

对于B，根据特殊值的三角函数及正弦定理，再结合三角形的内角和定理即可判断；

对于C，根据余弦定理及基本不等式，得出的最大值，再利用三角形的面积公式即可求解；

对于D，根据正弦定理将边转化为角，利用三角形的周长公式及三角函数的性质即可求解.

【详解】对于A，在锐角中，由，得

，解得，故A正确；

对于B，由两边同时除以2，得，

又因为，所以

，从而.故B正确；

对于C，由B知，，由余弦定理，得，

当且仅当“”即时，等号成立，从而，

而，

当且仅当时，等号成立，此时的最大面积为.故C不正确；

对于D，由正弦定理，则

周长为

，

由A，知，，则

所以，即，

所以周长的取值范围为.故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知复数，则复数的虚部为__________.

【答案】

【分析】根据复数的乘除法运算可得，结合共轭复数与虚部的概念即可得出结果.

【详解】.

所以，其虚部为.

故答案为：.

14．在边长为2的正方形ABCD中，M为BC的中点，  点E在线段AB上运动，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】如图，以为原点，建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示，结合二次函数的性质即可得出答案.

【详解】解：如图，以为原点，建立平面直角坐标系，

则，设，

则，

所以，

当时，取得最大值为，

当时，取得最小值为，

所以的取值范围是.

故答案为：.

15．在中，角所对的对边分别为，若满足的三角形有两解，则的取值范围为__________.

【答案】

【分析】由正弦定理可得，由有两解，可得，且，从而即可求解.

【详解】解：由正弦定理可得，即，又，

所以，

因为有两解，所以，且，

所以，

所以的取值范围为,

故答案为：.

16．在中，，点在边上运动，且，点满足，则的最小值为__________

【答案】

【分析】根据向量的线性运算及数量积的运算性质可知所求为的最小值，转化为求三角形边上的高，利用余弦定理及，面积公式求解即可.

【详解】取的中点，连结，如图,

,

当时，最小，

由余弦定理可知，

即，又，所以，

设边上的高为，

则，解得，

，即此时最小值为.

故答案为：

四、解答题

17．已知，且，

(1)若，求实数的值；

(2)若，求与夹角.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，可得的值，从而可得，又，则，根据向量数量积的坐标表示即可求解；

（2）求出与，然后根据向量夹角公式的坐标表示即可求解.

【详解】(1)解：由，得，解得，所以，

所以，，

由，得，即，解得；

(2)解：因为，

所以，

又，

所以，即与夹角.

18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，，

(1)求b和的值；

(2)求的值．

【答案】(1)，

(2)

【解析】(1)

在中，，故由，可得

由已知及余弦定理，有，

由正弦定理，得

(2)由（1）及，得，

，

故.

19．已知，

(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；

(2)求函数在区间上的值域.

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）根据向量的数量积运算及辅助角公式得，从而可得解答；

（2）根据区间，得，从而可求得值域.

【详解】(1)

，

的最小正周期

由，

得：，的单调递增区间为，

(2)时，可得：，当时，函数取得最小值为

当时，函数取得最大值为

所以函数在区间上的值域为.

20．在中，角所对的对边分别为，且，

(1)求；

(2)若为边上的中线，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式化简计算可得，结合三角形内角的取值范围即可求出A；

(2)由同角三角函数之间的关系求出，根据诱导公式和两角和的正弦公式求出，

利用正弦定理和余弦定理计算求出a、c，结合三角形面积公式计算即可.

【详解】(1)由

由正弦定理，得

，

，

，

，

，

又，则.

又，所以；

(2)在中，得，，

则

由正弦定理得，，设、，

在中，由余弦定理得：

即，

解得，则，.

所以的面积.

21．重庆育才中学学生小王和小李星期天一同返校进入校门，如图所示，背对着校门站在陶行知雕像前点，小李沿着行知大道（正西方向）走27米后到达点.小王以垂直于小李的路线向正南方向行走若干米后到达陶行知纪念馆点，后又沿着南偏西的方向行走到达国旗杆下点，经过测量发现.设，如图所示.

(1)设国旗杆底点到行知大道的最短距离为，请用表示的解析式；

(2)求小王走过的路程的最大值.

【答案】(1)

(2)米

【分析】（1）根据题意可得出，再由正弦定理可表示出，再结合与即可得出答案.

（2）利用正弦定理表示出与，即可化简求出的最大值.

【详解】(1)由已知得，

在中，由正弦定理得，所以.

又因为，且，所以.

(2)在中，由正弦定理得，

，

于是.

因为，所以当时，取得最大值米.

22．定义：如果点在函数的图像上，那么点关于直线的对称点在函数的图像，则我们称函数与函数的图像关于直线对称.例如，如果点在函数的图像上，那么点关于直线的对称点在函数的图像，则我们称函数与函数的图像关于直线对称.

已知函数与函数的图像关于直线对称，且，

(1)求函数的解析式；

(2)设函数，若函数的图像在函数图像的上方，试求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题中定义将用表示，即可得出答案；

（2）函数的图像在函数图像的上方，即关于的不等式恒成立，即恒成立，令，则关于的不等式对任意的恒成立，设，讨论参数，结合二次函数的性质即可得出答案.

【详解】(1)解：由定义可得，，则，

则，

所以函数的解析式为；

(2)解：由题意可得关于的不等式恒成立，

即关于的不等式恒成立，

化简：恒成立，

令，

则关于的不等式对任意的恒成立，

设，

①当时，对于任意的，不等式恒成立，

即，解得；

②当，即时，

对于任意的，不等式恒成立，

则，解得；

③当时，即，恒成立，故符合题意；

④当时，不符合题意；

综上所述：.