2021-2022学年上海市大同中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2021-2022学年上海市大同中学高一下学期期中数学试题含解析，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．“，”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及特殊角的正弦函数值求解即可.
【详解】“”能推出“”，反过来，“”不能推出“”，因为可能，
所以“，”是“”的是充分不必要条件，
故选：A
2．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
【解析】三角函数图像与性质
3．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析函数的周期性，在一个周期内分区间讨论，去掉绝对值，利用辅助角公式，分别求出函数的值域即可.
【详解】，
∴为周期函数，其中一个周期为，故只需考虑在上的值域即可，
当时，，其中，,
∴，，
当时，，其中，，
∴，，
∴的值域为.
故选：C
4．设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，，…，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】利用余弦方程，解出的值，然后得到，，代入，利用正切的两角差公式求出的值，然后再利用二倍角的正切公式，求解即可.
【详解】因为，
则有或，，，
解得或，，，
又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，
所以，，，，，，…，
故，，
所以，即，
则，解得，
故.
故选：B
二、填空题
5．__________．
【答案】
【分析】向量运算中作加法时，注意首尾相连容易化简.
【详解】原式.
故答案为：
6．函数的最小正周期为__________．
【答案】
【分析】利用二倍角公式化简，再求最小正周期即可.
【详解】因为，
所以最小正周期.
故答案为：
7．2022°是第______象限角
【答案】三3
【分析】由终边相同角的定义找到间的终边相同的角，然后可判断其象限．
【详解】．而是第三象限角，
因此是第三象限角．
故答案为：三
8．已知，则的值为_____.
【答案】2
【分析】将等式左边分子、分母同时除以即可得解.
【详解】解：由，
等式左边分子、分母同时除以得：
，解得：，
故答案为：2.
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了构造齐次式求值问题，属基础题.
9．已知是第三象限角，且满足，则的终边在第___________象限．
【答案】二
【分析】由是第三象限角，可得为第二或第四象限，结合，即可求得答案.
【详解】因为是第三象限角，所以，
则，即为第二或第四象限，又，
所以为第二象限角.
故答案为：二.
10．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为________．
【答案】
【分析】根据扇形的面积为2结合扇形圆心角的弧度数是2，由求得半径，再由弧长公式求解.
【详解】设弧长为l，半径为r，弧度为，
因为扇形的面积为2，
所以，
又因为扇形圆心角的弧度数是2，
所以，
所以扇形的弧长为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查弧度制公式和扇形面积公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11．函数的图象的两条相邻对称轴间的距离为__________．
【答案】
【分析】在正弦型函数中，相邻对称轴的距离为周期的一半，求解即可.
【详解】因为正弦型三角函数图象两相邻对称轴间的距离是最小正周期的一半,
因为，
所以,则,
因为正弦型三角函数图象两相邻对称轴间的距离是最小正周期的一半,
所以所求为，
故答案为：
12．设，为单位向量，且，则________．
【答案】1
【解析】根据条件对两边平方即可求出，然后根据即可求出答案．
【详解】，
．
故答案为：1．
13．函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是-3，则它的解析式为__________．
【答案】
【分析】根据振幅，周期，初始相位，直接对应系数，即可求解.
【详解】因为振幅是2，所以，周期，得，初始相位是，所以，
所以函数的解析式.
故答案为：
14．将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_______.
【答案】
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当时
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．在中，已知,当时，的面积为________.
【答案】
【解析】由数量积定义可得，代入即可求出的值，进而可求出三角形的面积.
【详解】解：，所以，
所以，
故答案为:.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义，考查了三角形的面积公式，属于基础题.本题的关键是求出的值.
16．设函数，函数，则方程解的个数为__________．
【答案】11
【分析】方程的解的个数，即可函数与的交点个数，分与两种情况分别画出函数图象，结合图象即可判断；
【详解】解：因为，，方程的解的个数，即可得函数与的交点个数，
当时画出两函数图形如下所示：
由图可知与在上有个交点，
当时，画出两函数图形如下所示：
由图可知与在上有个交点，
综上可得与有个交点，故方程有个解；
故答案为：
三、解答题
17．已知，，，求：
（1）和的值；
（2）的值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求得的值，利用诱导公式可求得的值；
（2）利用两角差的正切公式可求得的值，进而再利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】（1）由，，可得，，
又由，；
（2）由两角差的正切公式得，
因此，.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式以及两角差的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.
18．已知函数，．
(1)求函数的增区间；
(2)设点、、…、都在函数的图像上．，且满足，，，…，，求，和的值．
【答案】(1)
(2)2，-2，0.
【分析】（1）根据二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简，由正弦函数的单调性求解即可；
（2）根据所给条件可知可构成等差数列，求出，代入，分为奇数、偶数讨论可得，据此求解即可.
【详解】(1)，
令, 解得，
故的单调增区间为.
(2)，，，
，,
设，则，，
即是以为首项，为公差的等差数列，
.
.
.
19．已知函数，满足．
(1)求的值，并求出的最小正周期（无需证明）；
(2)求在区间上的零点个数；
(3)是否存在正整数，使得在区间上恰有2022个零点，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)4个
(3)存在，
【分析】（1）根据代入即可求解的值．因为的周期是都，故得函数的最小正周期；
（2）利用换元法设，将原方程转换为关于的一元二次方程，解出，进而可得零点个数；
（3）根据的最小正周期为，且内有4个零点，可解得．
【详解】(1)函数，
∵，
∴ ，解得：，
函数的最小正周期，
(2)当时，．
设，则，
于是，
令，得或，
于是，或或，其中，
即在区间上的零点个数为4个.
(3)当时，．
设，则，
于是，令，
解得或，故在没有实根．
结合（2）可得，在上有4个零点，
而，
所以函数在有2022个零点.