2021-2022学年江西省南昌市第十中学高一下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2021-2022学年江西省南昌市第十中学高一下学期期中考试数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题知，，再求交集即可.
【详解】解：解不等式得，故，
解不等式得，故，
所以.
故选：B
2．某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有10人
B．这100名学生成绩的众数为85
C．估计全校学生成绩的平均分数为75
D．这100名学生成绩的中位数为
【答案】C
【分析】A由直方图求区间上的样本数量；B由频率的大小确定众数的位置；C、D根据频率直方图求出平均数、中位数.
【详解】A：由直方图知：内的学生有人，正确；
B：由图知：内的学生频率最大，则众数为85，正确；
C：全校学生成绩的平均分数为，错误；
D：由，则中位数在区间内，令中位数为，则，可得，正确.
故选：C
3．的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】诱导公式变形后由两角差的正弦公式计算．
【详解】．
故选：D．
4．已知函数的图象（部分）如图所示，则的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先由图形可得，然后计算周期并得到，最后代入点，最后可得结果.
【详解】由图形可知：，，又，所以
所以，代入点，
所以，则
又，所以令，则
故
故选：C
5．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：
则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ）
A．0.24B．0.28C．0.30D．0.32
【答案】B
【分析】由概率的性质求得甲购买A口罩、乙购买B口罩的概率，再应用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求概率.
【详解】由表知：甲购买A口罩概率为，乙购买B口罩概率为，
所以甲、乙购买同一种口罩的概率.
故选：B
6．已知，，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】由角的范围及平方关系求得，利用半角公式即可求目标式的值.
【详解】由，又，，则，
所以.
故选：D
7．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知及诱导公式可得，再应用二倍角余弦公式求目标式的值.
【详解】由，
又.
故选：C
8．已知函数在上有且只有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为在上有且只有2个解，根据正弦型函数的性质求的范围.
【详解】由，令，
所以，而有，
所以在上有且只有2个解，故，故.
故选：A
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．若向量，，则
B．零向量没有方向
C．已知向量，，，若，，则
D．已知向量，是两个非零向量，若，则
【答案】AD
【分析】A由相等向量定义判断；B由零向量的定义判断；C注意为零向量的情况；D将题设等式两边平方，应用数量积的运算律展开化简判断.
【详解】A：由，，又相等向量的方向、长度都相等，易知：，正确；
B：零向量的方向任意，错误；
C：若为零向量时，不一定成立，错误；
D：由，则，应用数量积的运算律展开得，故，正确.
故选：AD
10．下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】A二倍角余弦公式化简求值；B和角正切公式化简求值；C诱导公式、二倍角正弦公式化简求值；D辅助角公式化简即可.
【详解】A：，符合；
B：，符合；
C：，符合；
D：，不符合.
故选：ABC
11．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（ ）
A．这10天日均值的80%分位数为60
B．从日均值看，前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C．从日均值看，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差
D．这10天中日均值的平均值是50
【答案】BC
【分析】A由百分位数的定义求80%分位数；B、C求出前后5天的极差、方差判断；C由平均值求法求10天中日均值的平均值即可.
【详解】由图知：从小到大为，而，
所以分位数为，A错误；日均值的平均值，D错误；
前5天极差为，后5天极差为，B正确；
前5天平均值为，后5天平均值为，
所以前5天的日均值的方差，后5天日均值的方差，C正确；
故选：BC
12．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为2
B．点是函数图象的一个对称中心
C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】BC
【分析】先将化简为，再结合余弦函数的性质判断4个选项即可.
【详解】，故最小正周期为，A错误；
，点是一个对称中心，B正确；
向左平移个单位长度得到，关于轴对称，C正确；
，单调递减，D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．化简______．
【答案】
【分析】利用向量加减法运算化简，注意相反向量的应用.
【详解】.
故答案为：
14．已知，，则______．
【答案】
【分析】由已知，利用差角正切公式求得，根据角的范围即可求.
【详解】由，可得，又，
所以.
故答案为：
15．若，化简______．
【答案】
【分析】由题设可得，再应用平方关系、二倍角正弦公式化简目标式即可.
【详解】由题设，，则，
又.
故答案为：
16．已知函数，当时，关于x的方程恰有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是_______．
【答案】
【分析】令，问题转化为与的交点个数，结合正弦型函数的值域，讨论m判断有2个交点情况下m的范围.
【详解】由，有，则
而原方程可化为，可得，
当时，、分别与有两个交点；
当时，、分别与有一个交点；
当时，此时原方程有2个实数根；
当时，此时原方程有1个实数根；
当时，此时原方程有2个实数根；
当时，，此时原方程有3个实数根；
当时，，此时原方程有1个实数根；
综上，.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：令并求出的值域及不同值域区间上自变量对应值个数，再将问题化为由与的交点个数求参数范围.
四、解答题
17．（1）利用三角公式化简：
（2）已知，求
【答案】（1）1；（2）.
【分析】（1）根据切化弦转化为正余弦函数，再由和差角的正弦公式，二倍角公式，诱导公式求解即可；
（2）根据角的变换及两角和差的余弦公式化简，再由同角三角函数的基本关系转化为正切函数即可求解.
【详解】（1）
=
=
=
=
=
=1
（2）因为
=
==0
所以
所以
18．如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形．
(1)求扇形的周长；
(2)当点C在什么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由公式求弧AB长，即可得到周长；
（2）设，即可由三角函数表示出，即可得矩形面积与的函数式，最后进行变换得，即可讨论最值最值成立的条件.
【详解】(1)由题，弧AB长为，故扇形的周长为：；
(2)设，则，，
所以，
所以矩形的面积
，
，所以当时，取得最大值，
即当C在弧AB中点时，矩形的面积最大，最大值为.
19．已知，是关于x的一元二次方程的两根．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理结合平方关系得出的值；
（2）先判断出，则，再代值计算即可.
【详解】(1)因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以，，且，
所以，
所以，得，满足，
所以，即
(2)因为，
又因为，所以，所以
所以
20．已知．
(1)求的值；
(2)已知，，，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知，利用二倍角余弦公式及商数关系可得，再应用万能公式即可求目标式的值.
（2）由题设得，结合判断的范围，利用差角正切公式求得，即可确定的值．
【详解】(1)由题设，，则，
又.
(2)由题设，，，则，故，
又且，则，则
而， 故.
21．已知函数，其中，且．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)递增区间为且；
(2).
【分析】（1）由二倍角正余弦及辅助角公式可得，根据已知条件可得，，进而有，再应用正弦函数性质求单调增区间.
（2）根据已知求得，结合角的范围求得，再由及和角余弦公式求值即可.
【详解】(1)由题设，，
又，即，，故，
所以时，则，
令，，可得，.
所以的单调递增区间为且.
(2)由（1）知：，可得，
又，则，故，
而.
22．已知数的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到；
（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；
（3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.
【详解】(1)由题意，函数
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.
故
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.
再把橫坐标缩小为原来的，得到函数的图象.
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域.
(3)由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，结合正弦函数的图象，
可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即解得
所以.
综上，
【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
（2）求y=Asin(ωx+φ)+B的值域通常用换元法；购买A种医用口罩
购买B种医用口罩
购买C种医用口罩
甲
0.1
0.4
乙
0.3
0.2