高中数学讲义微专题13 利用函数解决实际问题学案

www.ks5u.com微专题13 利用数学模型解决实际问题

一、基础知识：

1、使用函数模型解决实际问题

（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值

（2）需用到的数学工具与知识点：

① 分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示。

② 导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值

③ 均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值。

④ 分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解

（3）常见的数量关系：

① 面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：

平行四边形面积底高               梯形面积（上底下底）高 

三角形面积底高

② 商业问题：

总价单价数量                利润营业额成本货物单价数量成本

③ 利息问题：

利息本金利率                本息总和本金利息本金利率本金

（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数。涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数。

2、使用线性规划模型解决实际问题

（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题

（2）与函数模型的不同之处

① 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值）

② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值。

（3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决

（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小

3、使用三角函数模型解决实际问题

（1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关

（2）需要用到的数学工具与知识点：

① 正弦定理：设三边所对的角分别为，则有

② 余弦定理（以和对角为例），

③ 三角函数表达式的化简与变形

④ 函数的值域

（3）解题技巧与注意事项：

① 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中

② 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示

③ 在图形中要注意变量的取值范围

二、典型例题：

例1：如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在 的延长线上，在的延长线上，且对角线过 点。已知米，米。

（1）设（单位：米），要使花坛的面积大于32平方米，求的取值范围；

（2）若（单位：米），则当的长度分别是多少时，花坛的面积最大？并求出最大面积。

（1）思路：根据相似三角形可得线段比例：，从而解出，则，从而可得，解出的范围即可

解：   

  依题意可得：

解得：

（2）思路：求面积的最大值，即求表达式的最大值，分离常数求解即可

解：设

设，则

则，根据对勾函数可得：时，达到最大值，即

此时，所以

答：当时，四边形的面积最大，为

例2：时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格:（单位：元/套）满足的关系式，其中为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．

（1）求的值；

（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）

解：（1）将代入关系式可得：

（2）思路：依题意可得售出一套，所得利润为元，所以总的利润，其中，利用导数判定的单调性，进而可求得最大值点

解：依题意所获利润

化简可得：

令，即解不等式

   解得

在单调递增，在单调递减

在取得最大值，即

例3：某人销售某种商品，发现每日的销售量（单位：kg）与销售价格 （单位：元/kg）满足关系式，其中 为常数.已知销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg.

（1）求的值；

（2）若该商品成本为6元/kg，求商品销售价格为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大.

解：（1）当时，，解得：

（2）思路：依题意可得销售商品所获得利润，所以也是一个分段函数，可以考虑分别求出每段函数值的最大值，然后进行比较即可挑出的最大值。

解：设商品利润为，则有，由第（1）问可得：

当时，

则

令，由 解得：

在单调递增，在单调递减

当时，

在单调递减

例4：已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为元/千克，每次购买配料需支付运费236元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量度搜好，均按10元/天支付，超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付

（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用是多少元？

（2）设该厂天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用（元）关于的函数关系式，并求出该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？

解：（1）第8天剩余配料为（千克）

第9天剩余配料为千克

该厂用于配料的保管费为：（元）

（2）当时，

当时，

综上所述：

设为平均每天支付的费用，则

当时，，当时，

当时，

等号成立条件：

（元）

例5：甲，乙两校计划周末组织学生参加敬老活动，甲校每位同学的往返车费是5元，每人可为3位老人服务，乙校每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务，两校都有学生参加，甲校参加活动的学生比乙校至少多1人，且两校同学往返总车费不超过45元，如何安排甲，乙两校参加活动的人数，才能使收到服务的老人最多？此时受到服务的老人最多有多少人？

思路：本题涉及的变量有两个：甲校人数与乙校的人数，且所给条件均为关于两校人数的不等式，所以可联想到线性规划问题。可设甲校人数为，乙校人数为，所求问题为目标函数，列出约束条件后通过数形结合即可求出的最大值

解：设甲校人数为，乙校人数为，依题意，应满足的条件为：

目标函数，通过数形结合可得。动直线经过时，取得最大值

例6：如图，某海滨浴场的岸边可近似地看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度为2米/秒，。

（1）分析救生员的选择是否正确；

（2）在AD上找一点C，使救生员从A到B的时间为最短，并求出最短时间

解：（1）思路：所谓“选择是否正确”，是指方案二所用的时间是否比直接游到处时间短，所以考虑分别求出两种方案所用的时间，再进行比较即可。

解：从图形可得：，所以（s）

而，所以（s）

，所以救生员的选择是正确的

（2）思路：要求得时间的最值，考虑创设一个变量 ，并构造出时间关于的函数 ，再求出的最小值即可。不妨设，则，所以时间，再求导求出的最小值即可

解：设，则，设所用时间为

令，即解不等式

    ，解得：

在单调递减，在单调递增

（秒）

答：当时，救生员所用的时间最短，为秒

答：甲，乙两校参加活动的人数分别为6和5时，受到服务的老人最多，最多为43人

例7：某人有楼房一幢，室内面积共计180m2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，每天能获得最大的房租收益？（注：设分割大房间为间，小房间为间，每天的房租收益为元），求各为多少时，每天能获得最大的房租收益？每天能获得最大的房租收益是多少？

思路：本题的主要变量是，从题目中可发现对的约束条件有3个，一个是房间数必须是非负整数，所以，第二个条件是室内面积为，所以大小房间面积和要不大于，第三个条件是装修费用总和不高于8000元，据此列出约束条件：，所求收益，所以该模型为线性规划问题，数形结合即可。

解：依题意可得对的约束条件为：

，所求目标函数为

作出可行域，依图可得：直线过或时，最大，即

答：当大房间为3间，小房间为8间；或者不设大房间，小房间为12间时，收益最大，最大值为元

例8：某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是的圆面，该圆面的内接四边形是原棚户建筑用地，测量可知边界万米，万米，万米

（1）请计算原棚户区建筑用地的面积及圆面半径的值

（2）因地理条件的限制，边界不能变更，而边界可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点，使得棚户区改造的新建筑用地的面积最大，并求最大值

解：（1）在中，由余弦定理可得：

①

在中，由余弦定理可得：

②

因为四边形内接于圆    

所以由①②可得：

解得：   

       （万平方米）

由余弦定理可得：

（2）设，可知

由（1）可知   若要面积最大，只需最大

在中，由余弦定理可得：

即

，即当且仅当时，等号成立

所以四边形的最大面积为万平方米

例9：如图是一块平行四边形园地，经测量，，拟过线段上一点设计一条直路（点在四边形的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积比为的左，右两部分，分别种植不同的花卉，设（单位：m）

（1）当点与点重合时，试确定点的位置

（2）求关于的函数表达式

（3）试确定点的位置，使得直路长度最短

解：（1）当与重合时，（设为平行四边形的高）

依题意可得：即

即为的中点

（2）在线段上

当时，可得在线段上

   在中

当时，点在线段上，此时四边形为梯形或平行四边形

，由得：

当时，

当时，

即

综上所述可得：

（3）即求的最小值

当时，

等号成立条件：

当时，

等号成立条件：

，此时

例10：如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数的图像，图像的最高点为，边界的中间部分为长1千米的直线段，且∥，游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧

（1）求曲线的函数表达式

（2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口，修一条笔直的景观路到，求景观路的长度

（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行 四边形休闲区面积的最大值及此时的值

解：（1）由可知，

对于，

此时，由图像过可得：

曲线的函数表达式为

（2）由已知可得   

或

解得：或，由可得：

（3）由图可知，

过作轴于

在中

在中

时，的最大值为