高中数学讲义微专题09 零点存在的判定与证明学案

www.ks5u.com微专题09  零点存在的判定与证明

一、基础知识：

1、函数的零点：一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。

2、零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得

注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在

3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调

4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）

（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图像，如果单调，则“一定”只有一个零点

（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点

（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。如果单调，则一定小于0

5、零点与单调性配合可确定函数的符号：是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，

6、判断函数单调性的方法：

（1）可直接判断的几个结论：

① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数

② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数

③ 若为增函数，且，则为增函数

（2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”）

（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像

7、证明零点存在的步骤：

（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数

（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数

（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间

（4）利用零点存在性定理证明零点存在

例1：函数的零点所在的一个区间是（     ）

A.             B.             C.         D.

思路：函数为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可

解： ，

      ，使得

答案：C

例2：函数的零点所在的大致区间是（     ）

A.             B.            C.            D.

思路：先能判断出为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。时，，从而，，所以，使得

答案：A

小炼有话说：（1）本题在处理时，是利用对数的性质得到其的一个趋势，从而确定符号。那么处理零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向。

（2）本题在估计出时，后，也可举一个具体的函数值为负数的例子来说明，比如。正是在已分析清楚函数趋势的前提下，才能保证快速找到合适的例子。

例3：（2010，浙江）已知是函数的一个零点，若，则（     ）

A.                     B.

C.                      D.

思路：条件给出了的零点，且可以分析出在为连续的增函数，所以结合函数性质可得

答案：B

例4：已知函数，当时，函数的零点，则________

思路：由的范围和解析式可判断出为增函数，所以是唯一的零点。考虑，，所以，从而

答案：

例5：定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若的“新驻点”分别为，则（     ）

A.          B.         C.        D.

思路：可先求出，由“新驻点”的定义可得对应方程为：，从而构造函数

，再利用零点存在性定理判断的范围即可

解：

所以分别为方程的根，即为函数：

的零点

   在单调减，在单调增，而，时，，而  

答案：C

例6：若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过， 则可以是（    ）

A．                     B．

C．                     D．

思路：可判断出单增且连续，所以至多一个零点，但的零点无法直接求出，而各选项的零点便于求解，所以考虑先解出各选项的零点，再判断的零点所在区间即可

解：设各选项的零点分别为，则有

对于，可得：

   ，所以C选项符合条件

答案：C

例7：设函数，若实数分别是的零点，则（     ）

A.                             B.      

C.                              D.

思路：可先根据零点存在定理判断出的取值范围：，从而；，从而 ，所以有，考虑，且发现为增函数。进而，即

答案：A

例8：已知定义在上的函数，求证：存在唯一的零点，且零点属于

思路：本题要证两个要素：一个是存在零点，一个是零点唯一。证明零点存在可用零点存在性定理，而要说明唯一，则需要函数的单调性

解：   

    在单调递增

   ，使得

因为单调，所以若，且

则由单调性的性质：与题设矛盾

所以的零点唯一

小炼有话说：如果函数在单调递增，则在中，，即函数值与自变量一一对应。在解答题中常用这个结论证明零点的唯一性

例9：（2011年，天津）已知，函数（的图像连续不断）

（1）求的单调区间

（2）当时，证明：存在，使得

解：（1）    令

解得：     在单调递减，在单调递增

（2）思路：由（1）可得在单调递减，在单调递增，从而从图像上看必然会在存在使得，但由于是证明题，解题过程要有理有据。所以可以考虑将所证等式变为，构造函数，从而只需利用零点存在性定理证明有零点即可。

解：设  

由（1）可得：当时，在单调递减，在单调递增 

，因为

    根据零点存在性定理可得：

，使得

即存在，使得

小炼有话说：（1）在证明存在某个点的函数值与常数相等时，往往可以将常数挪至函数的一侧并构造函数，从而将问题转化成为证明函数存在零点的问题。

（2）本题在寻找小于零的点时，先观察表达式的特点：，意味着只要取得足够大，早晚比要大的多，所以只需要取较大的自变量便可以找到的点。选择也可，选择等等也可以。

例10：已知函数，其中常数，若有两个零点，求证：

思路：若要证零点位于某个区间，则考虑利用零点存在性定理，即证且，即只需判断的符号，可先由存在两个零点判断出的取值范围为 ，从而，只需将视为关于的函数，再利用函数性质证明均大于零即可。

解：

令   

设，可得为增函数且

时，

  时，

在单调递减，在单调递增

所以在，

有两个零点     

在单调递增

在单调递增

而

  ，使得即

另一方面：

而   

，使得即

综上所述：