高中数学讲义微专题27 三角函数的值域学案

www.ks5u.com微专题27 三角函数的值域与最值

一、基础知识

1、形如解析式的求解：详见“函数解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式

（1）降幂公式：

（2）

（3）两角和差的正余弦公式

（4）合角公式：，其中

2、常见三角函数的值域类型：

（1）形如的值域：使用换元法，设，根据的范围确定的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出的三角函数值，进而得到值域

例：求的值域

解：设   当时，

（2）形如的形式，即与的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可

例：求的值域

解：

设       

，即的值域为

（3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处理（详见例5，例6）

二、典型例题

例1：已知向量

（1）求函数的单调递增区间

（2）当时，求的取值范围

解：（1）

单调递增区间为：

（2）思路：由（1）可得：，从得到角的范围，进而求出的范围

解：由（1）得： 

小炼有话说：对于形如的形式，通常可先计算出的范围，再确定其三角函数值的范围

例2：已知函数

（1）求函数的最小正周期和图像的对称轴方程

（2）求函数在区间的值域

解：（1）

对称轴方程：

（2）思路：将视为一个整体，先根据的范围求出的范围，再判断其正弦值的范围

解：

例3：函数的最大值为___________

思路：解析式中的项种类过多，不利于化简与分析，所以考虑尽量转化为同一个角的某一个三角函数。观察可得次数较低，所以不利于转化，而均可以用进行表示，确定核心项为，解析式变形为，化简后为，当时，

答案：2

小炼有话说：当解析式无法化成的形式时，要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可

例4：设函数，若，则函数的最小值是______

思路：同例4考虑将解析式中的项统一，，进而可将作为一个整体，通过换元来求值域。

解：

设，由可得：，从而

，所以

所以最小值为

答案：0

例5：函数的值域为___________

思路：可将视为研究对象，令，进而只需求的值域即可。

解：令，可得

答案：

小炼有话说：要注意在时自身带范围，即

例6：函数的值域为____________

思路：可变形为，且可视为与连线的斜率的取值范围，为单位圆上的一点，所以问题转化为直线与圆有公共点的的范围。所以，解得：或，所以

答案：

小炼有话说：（1）对比例5和例6，尽管都是同一个角的分式值域，但是例5的三角函数名相同，所以可视为同一个量，利用换元求解，而例6的三角函数名不同，所以不能视为同一个量。要采取数形结合的方式。

（2）本题还可利用方程与函数的关系求得值域，解法如下：

所以的取值范围（即值域）要能保证存在使得等式成立

所以只需

，解得：

例7：设函数的值域是，则实数的取值范围是_____________

思路：本题是已知值域求参数，所以考虑先带着计算角的范围为，

可知，值域中最大值为1，所以说明经过，同时范围不能超过（否则最小值就要小于），从而可得，解得：

答案：

例8：已知函数的最大值为，且，则 （     ）

A.                 B.             C.  或         D. 或

思路：观察到的项具备齐二次的特点，所以想到将解析式化为的形式，通过变形可得：，所以最大值为，即①，再利用可得：②，通过①②可解得：，进而求出的值为或

解：

所以可得：

另一方面：

整理可得： ，解得：

当时，

当时，

的值为或

例9：当时，函数的最小值为__________

思路一：考虑将所有项转变为关于的三角函数，即，从而想到分式与斜率的关系，可视为，结合可得为单位圆半圆上的点，通过数形结合可得：最小值为4

思路二：考虑将所有项转变为关于的三角函数，则，观察到分子分母为齐二次式，从而上下同时除以，可得：，因为，所以，所以利用均值不等式可得：

答案：4

例10：求函数的值域

思路：本题很难转化为同名三角函数解析式，解题的关键在于了解与之间的联系：，从而将解析式的核心变量转化为，通过换元求出值域即可

解：

因为

时，

当时，

所以可得：的值域为