高中数学讲义微专题36 向量的数量积——寻找合适的基底学案

www.ks5u.com微专题36 向量的数量积——寻找合适的基底

    在高考中经常会遇到几何图形中计算某两个向量数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（模长，夹角）那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将两个向量表示出来，进而进行运算。这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法

一、基础知识：

（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：

1、平面向量基本定理：若向量为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量，均存在唯一一对实数，使得。其中成为平面向量的一组基底。（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）

2、向量数量积运算，其中为向量的夹角

3、向量夹角的确定：向量的夹角指的是将的起点重合所成的角，

其中：同向          ：反向           ： 

4、数量积运算法则：

（1）交换律：

（2）系数结合律：

（3）分配律：

因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同：

例如：    

5、若，则

由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将用基底表示出来，则可计算

（二）选择合适基底解题的步骤与技巧：

1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了。所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知。常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。

2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法有：

（1）向量的加减运算 

（2）“爪”字型图：在中，是上的点，如果，则，其中知二可求一。特别的，如果是边上的中线，则

3、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过程中要注意基底的夹角

二、例题精炼

例1:如图，在中，是边上一点，，则_______________

思路：模长未知（尚可求出），夹角未知，所以很难直接求出数量积。考虑是否有合适基底，，可计算出,进而对于,模长均已知，数量积已求，条件齐备，适合作为基底。用表示：,,

答案：

例2：如图，已知在中，，则______

思路：观察条件，很难直接利用公式求解.考虑选择两个向量表示,条件中(数量积有了），（模长有了），所以考虑用作为基底。下一步只需将表示出来，（底边比值——联想到“爪”字型图）,解得：

所以

答案：

例3:在边长为1的正三角形中，设，则__________

思路：如图，等边三角形三边已知，夹角已知，由此对于三边所成的向量，两两数量积均可计算，所以考虑用三边向量进行表示，表示的方法很多，例如观察“爪”字形图可得,

(注意向量夹角）

答案：

小炼有话说：这道题由于是等边三角形，故可以建系去做，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴。坐标完成之时，就是计算的完成之日，且此法在计算上更为简便。

例4：如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值是（     ）

A.         B.       C.        D. 

思路：在本题中已知及两个向量的夹角，所以考虑将作为一组基底。则考虑将用进行表示，再做数量积即可

解：

且，所以有：

由已知可得：

答案：C

例5：已知向量的夹角是，且，若，且，则实数的值是____________

思路：题中模长夹角已知，所以选择它们作为基底，表示，再根据求出即可

解：  

即  ①

①式变为：解得

答案：

例6：在边长为的正三角形中，，则的最大值为___________

答案：

思路：所给为等边三角形，则三边所成向量两两数量积可解。所以用三边向量将表示出来，再作数量积运算并利用消元即可求出最值

解：  

   且

等号成立条件：

答案：

小炼有话说：（1）本题在最后求最值时还可以利用均值不等式迅速把问题解决：

（2）在消元时要注意，如果所消去的元本身有范围，则这个范围由主元来承担，比如本题中用把消掉，则所满足的条件除了已知的之外，还有，即

例7：如图，在四边形中，是等边三角形，则的值为_____________

思路：从条件中可分析，的边所成的向量两两之间数量积可求，其公共边为，所以以作为突破口，所求数量积中只有需要转换，可得，所以，进而可解

解：

在中，

在等边三角形中，

答案：

小炼有话说：（1）在求时要注意夹角不是，而是它的补角！

（2）在求也可以用投影定义来解，即在上的投影为，所以

例8：如图，四边形满足，若是的中点，则（      ）

A.      B.       C.        D. 

思路：本题要抓住这个条件，所求表达式中主要解决。从图中可发现分别是的中线，从而可用条件中的向量进行表示：，从而求得表达式的值

解：

答案：D

例9：菱形边长为，，点分别在上，且，若，则（   ）

A.                     B.            

C.                     D.

思路：本题已知菱形边长和两边夹角，所以菱形四条边所成向量两两数量积可求，所以可以考虑将题目中所给的所涉及的向量用菱形的边和进行表示，进而列出关于的方程，解出方程便可求出

解：

答案：D

例10：已知向量满足条件：，且，点是内一动点，则_________

思路：本题已知模长，可对进行变形得到更多条件：，同理，从而可将所求式子中的向量均用表示再进行计算即可。

解：

，代入

可得：，同理

答案：

小炼有话说：（1）本题在处理关系时，从入手两边同时模长平方，得到数量积的关系，这也是“向量等式→数量积等式”的常见变形方法

（2）在处理关系时也可以通过数形结合，从和中发现在图像上的特点，推断出两两夹角从而计算出它们的数量积

（3）为动点，但从所求来看表达式有极大可能是一个定值，所以在应试时如果想不到正规方法，也可以考虑利用特殊值进行处理，比如利用条件构造出一个特殊模型，即为等边三角形，且是中心，然后再给选择一个特殊位置（比如与重合）计算出结果。