高中数学讲义微专题32 解三角形中的不等问题学案

www.ks5u.com微专题32 解三角形中的不等问题

一、基础知识：

1、正弦定理：，其中为外接圆的半径

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行

例如：（1）

     （2）（恒等式）

     （3）

2、余弦定理：

变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值

3、三角形面积公式：

（1） （为三角形的底，为对应的高）

（2）

（3）（其中为外接圆半径）

4、三角形内角和：，从而可得到：

（1）正余弦关系式：

（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的

5、两角和差的正余弦公式：

6、辅助角公式：，其中

7、三角形中的不等关系

（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少

（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：

其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效。

 8、解三角形中处理不等关系的几种方法

（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域

（2）利用均值不等式求得最值

二、例题精析：

例1：△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是      

A．     B．    C．   D．

思路：从所给条件入手，进行不等式化简：

，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示：，可解得：

答案：A

例2：在中，角所对的边分别为，已知

（1）求的大小

（2）若，求的取值范围 

解：（1）由条件可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”

（2）思路：考虑在中，已经已知 ，从而可求出外接圆半径，进而与也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”，但不易利用 这个条件，考虑利用角来解决

  解：

例3：在锐角中，角所对的边分别为，且

（1）求角

（2）求的取值范围

解：（1）方法一：使用余弦定理

由余弦定理得：  

方法二：观察等式齐次，考虑使用正弦定理

（2）

为锐角三角形  

小炼有话说：要注意对锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角，而用代换，所以满足锐角的条件也由来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。

例4：在中，角所对的边分别为，已知，且

（1）当时，求的值

（2）若角为锐角，求的取值范围

解：（1）  

或

（2）思路：以“角为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而也刚好得到与的关系式，再由可解得的范围

解：考虑余弦定理

为锐角，     

例5：若的内角满足，则的最小值是     

思路：所求的最值可想到余弦定理用边进行表示，，考虑角化边得到：，进而消去计算表达式的最值即可

解：  由可得：

答案：

例6：在锐角中、的对边长分别是、,则的取值范围是(        )

A．             B．           C．           D．

思路：本题所给条件为角的关系，不易从边入手，所以将所求进行边化角：，只需求出的范围即可。条件所给的是关系，从而，利用减少角的个数：，代入可得：，根据锐角三角形求出的范围即可。

解：

由

因为为锐角三角形  解得：

答案：B

小炼有话说：本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关系，只是给了角的条件，所以优先选择角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分式的常见变形，将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定：本题的主元是，所以在求表达式范围时将均用来进行表示，以便于求得值域。

例7：已知的角所对的边分别是，且，若的外接圆半径为，则面积的最大值为__________

思路：由可联想到余弦定理求，所以，从而，所求面积可表示为，则只需解出的最大值即可。由外接圆半径及可得：，所以，而，所以有，所以 

答案：

小炼有话说：本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出，在计算面积时有三组边角可供选择：，通常是“依角而选”，从而把目标转向求的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再配上均值不等式往往可以找到最值。

例8：设的内角所对的边为，若成等比数列，则的取值范围是______________

思路：由成等比数列可得：，也可视为 ，所求表达式也可视为。如果从角入手，则无法与联系。所以考虑从边入手。由可得：，在中，若 ，则，所以，即，同理，若，则，解得：。综上

答案：

例9：已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为，且BC边上的高为，则的取值范围为______．

思路：一方面由所求出发，可用均值不等式得到，验证时存在这样的三角形，得到最小值；再从另一个角度入手可联想到余弦定理，而由题目中的底和高可得，所以有：

，只需求得的范围即可，考虑，，所以，综上：

答案：

小炼有话说：

（1）在解三角形中，能够从所给式子中发现定理的影子，可帮助你迅速确定解题方向，本题没有选择边化角，而是抓住余弦定理的影子为突破口，然后再去寻找条件能否把多余的元消去（比如本题中的），从而整理出一个可操作的表达式

（2）最后运用辅角公式时，辅助角并不是特殊角。这种情况下可用代替俯角，并用的一个三角函数值刻画其大小。本题可通过作图大致观察到的范围，从而确定的范围能经过，所以能够取到

例10：（2014，重庆）已知的内角满足，面积满足，记分别是所对的边，则下列不等式一定成立的是（     ）

A.                                  B.

C.                                   D.

思路：本题需判断的式子比较多，先从条件出发向所求靠拢。化简已知条件可得，即，联想到面积公式及可得：，从而可用进行表示求出范围，另一方面可由，利用不等式的传递性即可求出的范围

解：

即

由正弦定理可得：

所以由可得：

，所以均不正确

      正确

同理  ，不正确

三、近年好题精选

1、（2016，上海十校联考）设锐角的三内角所对边的边长分别为，且，则的取值范围为（     ）

A.           B.           C.              D. 

2、（2016江苏高三第一次联考）在中，是的中点，边（含端点）上存在点，使得，则的取值范围是_______

3、（2015，新课标I）在平行四边形中，，，则的取值范围是_______

4、（2016，哈尔滨六中上学期期末考试）在中，内角的对边分别为，且，则的面积最大值为_________

5、（2014，新课标全国卷I）已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值为_______

6、（2016，洛阳12月月考）在的内角所对的边分别为，则下列命题正确的是________

① 若，则

② 若，则

③ 若，则为锐角三角形

④ 若，则

7、（2014，陕西）的内角的对边分别为

（1）若成等差数列，证明：

（2）若成等比数列，求的最小值

8、设的内角所对的边分别为且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的周长的取值范围.

9、已知和满足：

（1）求证：是钝角三角形，并求最大角的度数

（2）求的最小值

10、（2016，安徽六校联考）已知函数.

（1）求的对称中心

（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围

习题答案：

1、答案：A

解析：

由锐角可知：，解得，所以，从而

2、答案：

解析：

方法一：若存在点，使得，则为锐角或直角

在中

代入，可得：

方法二（向量法）

以为原点，直线为轴建系，则，设，

   由和可得

3、答案：

解析：延长交于点，则在中，

设，则由正弦定理可得设，则由正弦定理：可得：，整理后可得：，所以 ，由可知，所以

4、答案：

解析：由余弦定理可得：，代入可得：，即，所以有：

所以当时，有最大值为

5、答案：

解析：由正弦定理可得：

且

即   

6、答案：①②③

解析：① 由正弦定理可知：，由余弦定理可得，整理可得：，所以

②

从而，从而

③ ，所以，即，则，所以最大角为锐角。即是锐角三角形

④ 取满足，则，不符题意

7、解析：（1）成等差数列

，由正弦定理可得：

（2）成等比数列   

由余弦定理可得：

等号成立当且仅当

的最小值为

8、解析：（1）

（2）

解得：  

9、解析：（1）不妨设，由可得：

若，则

，三式相加可得：，

等式显然不成立

若，则，显然不成立

，此时，三式相加可得：

，解得：

（2）由（1）可得：且

  （在处取得）

10、解析：（1）

对称中心为：

对称中心为：

（2）由已知可得：

（舍）或

因为为锐角三角形