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    高中数学讲义微专题43 线性规划学案
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    高中数学讲义微专题43 线性规划学案

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    这是一份高中数学讲义微专题43 线性规划学案,共13页。学案主要包含了基础知识,典型例题,历年好题精选等内容,欢迎下载使用。

    www.ks5u.com第43炼 线性规划——作图与求解

    一、基础知识

    1、相关术语:

    1)线性约束条件:关于变量的一次不等式(或方程)组

    2)可行解:满足线性约束条件的解

    3)可行域:所有可行解组成的集合

    4)目标函数:关于的函数解析式

    5)最优解:是目标函数取得最大值或最小值的可行解

    2、如何在直角坐标系中作出可行域:

    1)先作出围成可行域的直线,利用两点唯一确定一条直线可选取直线上的两个特殊点(比如坐标轴上的点),以便快速做出直线

    2)如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧:一条曲线(或直线)将平面分成若干区域,则在同一区域的点,所满足不等式的不等号方向相同,所以可用特殊值法,利用特殊点判断其是否符合不等式,如果符合,则该特殊点所在区域均符合该不等式,具体来说有以下三种情况:

    竖直线或水平线:可通过点的横(纵)坐标直接进行判断

    一般直线:可代入点进行判断,若符合不等式,则原点所在区域即为不等式表示区域,否则则为另一半区域。例如:不等式,代入符合不等式,则所表示区域为直线的右下方

    过原点的直线:无法代入,可代入坐标轴上的特殊点予以解决,或者利用象限进行判断。例如::直线穿过一、三象限,二、四象限分居直线两侧。考虑第四象限的点,所以必有,所以第四象限所在区域含在表示的区域之中。

    3)在作可行域时要注意边界是否能够取到:对于约束条件(或)边界不能取值时,在图像中边界用虚线表示;对于约束条件(或)边界能取值时,在图像中边界用实线表示

    3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤

    1)根据约束条件,在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域

    2)确定目标函数在式子中的几何意义,常见的几何意义有:(设为常数)

    线性表达式——与纵截距相关:例如,则有,从而的取值与动直线的纵截距相关,要注意的符号,若,则的最大值与纵截距最大值相关;若,则的最大值与纵截距最小值相关。

    分式——与斜率相关(分式):例如:可理解为是可行域中的点与定点连线的斜率。

    含平方和——与距离相关:例如:可理解为是可行域中的点与定点距离的平方。

    3)根据的意义寻找最优解,以及的范围(或最值)

    4、线性目标函数影响最优解选取的要素:当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时,目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。

    例如:若变量满足约束条件,则的最大值等于_____

    作出可行域如图所示,直线的斜率,直线的斜率,目标函数的斜率,所以,所以在平移直线时,目标函数直线的倾斜程度要介于两直线之间,从而可得到在取得最优解。但在作图中如果没有考虑斜率间的联系,平移的直线比还要平,则会发现最优解在处取得,以及若平移的直线比还要陡,则会发现最优解在处取得,都会造成错误。所以在处理目标函数与约束条件的关系时,要观察斜率的大小,并确定直线间陡峭程度的不同。

    1)在斜率符号相同的情况下:越大,则直线越

    2)在作图和平移直线的过程中,图像不必过于精确,但斜率符号相同的直线之间,陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致,这样才能保证最优解选取的准确

    3)当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时,有可能达到最值的最优解有无数多个(位于可行域的边界上)

    4)当目标函数的斜率含参时,涉及到最优解选取的分类讨论,讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点。

    二、典型例题:

    1:若变量满足约束条件,则的最小值等于(   

    A.               B.               C.              D. 

    思路:按照约束条件作出可行域,可得图形为一个封闭的三角形区域,目标函数化为:,则的最小值即为动直线纵截距的最大值。目标函数的斜率大于约束条件的斜率,所以动直线斜向上且更陡。通过平移可发现在点处,纵截距最大。且解得,所以的最小值

    答案:A

    2:设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为(  

    A.                  B.                 C.               D. 

    思路:作出目标函数的可行域,得到一个开放的区域,目标函数,通过平移可得最优解为,所以

    答案:B

     

    3:若变量满足的最大值为    

    A.        B.         C.         D. 

    思路:目标函数可视为点到原点距离的平方,所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可,作出可行域,观察可得最远的点为,所以

    答案:D

    4:设变量满足约束条件,则的取值范围是(    

    A.    B.    C.     D. 

    思路:所求可视为点与定点连线的斜率。从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可,可得在处的斜率最小,即,在处的斜率最大,为,结合图像可得的范围为

    答案:D

    5:若实数满足条件的最大值为    

    A.          B.         C.         D. 

    思路:设,则可先计算出的范围,即可求出的最大值:,则最优解为,所以,则

    答案:B

    6:设为坐标原点的坐标为若点满足不等式组则使取得最大值的点的个数有    

    A.  1                B.                C.              D. 无数个

    思路:设,作出可行域,通过平移可发现达到最大值时,目标函数与直线重合,所以有无数多个点均能使取得最大值

    答案:D

    7:(2015,福建)变量满足约束条件,若的最大值为,则实数等于(    

    A.       B.         C.            D. 

    思路:本题约束条件含参,考虑先处理常系数不等式,作出图像,直线为绕原点旋转的直线,从图像可观察出可行域为一个封闭三角形,目标函数,若最大则动直线的纵截距最小,可观察到为最优解。,则有,解得:

    答案:C

    小炼有话说:当线性约束条件含参数时,一方面可先处理常系数不等式,作出可行域的大致范围,寻找参数变化时,可行域的共同特征;另一方面对含参数的直线确定是否过定点,在变化中寻找区域的规律。找到共同的最优解所满足的方程,便可根据最值求出参数

    8:在约束条件若目标函数的最大值不超过4,则实数的取值范围是    

    A.         B.            C.         D.

    思路:先做出常系数直线,动直线时注意到,斜率为常数1,且发现围成的区域恒为一个三角形。目标函数,通过图像可得最优解为,所以,则解得:

    答案:D

    9:若变量满足约束条件,若的最大值为4,则   

    A.                 B.                C.                D. 

    思路:如图作出可行域,目标函数为,由于决定直线的方向,且约束条件中的直线斜率有正有负。所以先考虑的符号:

    时,此时与的斜率进行比较:

    ,则的最大值为0,不符题意;

    ,则最优解为,代入解得与初始范围矛盾,故舍去;当时,直线与斜率进行比较:

    ,则最优解为,代入解得,符合题意

    ,可得的最大值为2,不符题意,舍去

    ,则最优解为,代入解得与初始范围矛盾,舍去

    综上所述:

    答案:B

    小炼有话说:(1)目标函数的直线陡峭程度不同,会导致最优解不同,所以当斜率含参时,可在约束条件中寻找斜率与目标函数斜率同号的直线,则这些直线的斜率通常是分类讨论的分界点。

    (2)本题也可分别假设可行域3个顶点为最优解,求出的值,再带入验证。

    10:设满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值是(    

    A.           B.         C.         D. 

    思路:先做出可行域,目标函数,由可得直线的斜率为负,所以由图像可得最大值在处取得,即,所以

    答案:C

    小炼有话说:本题判断出斜率为负是解题的关键,从而能迅速通过平移直线得到最优解,而后与均值不等式结合求出最值

    三、历年好题精选

    1、(2016,衡阳联考)如果实数满足条件,则的最小值为,则正数的值为__________

    2(2014,温州中学三月考)已知实数满足,则的最小值是_________

    3、若点在不等式组所表示的平面区域内,则的取值范围是_________

    4、(2016,南昌二中四月考)已知实数满足,则的取值范围是________

    5、设实数 满足 ,则的取值范围为(  

     A.           B.           C.          D.

    6、设实数满足,则为(    

    A. 有最小值2,最大值3                    B. 有最小值2,无最大值

    C. 有最大值3,无最小值                    D. 既无最小值,也无最大值

    7、设满足约束条件:,则的最小值是(    

    A.                B.                C.               D. 

    8、(2016,湖南师大附中月考)若实数满足,设,则的最大值为(   

    A.1                 B.               C.                 D.2

    9、(2015,北京)若满足的最大值为   

    A.               B.             C.               D. 

     

    10、(2015,广东)若变量满足约束条件的最小值为       A              B.               C.             D.  

    11、(2015,新课标I)若满足约束条件的最大值为________

    答案:3

    12、(2015,新课标II)若满足约束条件的最大值为____

    13、(2015,山东)已知满足约束条件的最大值为    

    A.               B.               C.                D. 

    14、(2014,北京)若满足约束条件的最小值为的值为    

    A.                B.              C.                D. 

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    习题答案:

    1答案:1

    解析:根据约束条件画出可行域,可知时,

    2答案:

    解析:设,则有,则可知抛物线与不等式可行域有公共点,作出可行域,如图可知当与抛物线相切时,此时取得最小值,联立方程,所以判别式

     

    3答案:

    解析:将代入可得:,作出可行域,可视为点到原点距离的平方。结合图像可知:到原点距离最大,即原点到直线的距离为,所以

    4答案:

    解析:,其中可视为连线的斜率,作出可行域,数形结合可得:直线在第一象限相切时,取得最大值,解得:,而时,,所以

     

    5、答案:C

    解析:令作出可行域,可知可视为连线的斜率

    关于的增函数所以

    6答案:B

    解析:作出可行域(为开放区域),再平移直线即可得到处达到最小值但没有最大值

    7答案:B

    解析:可视为可行域中的点连线的斜率作出可行域可得所以的最小值为3

    8、答案:C

    解析:方法一:,其中为可行域中的点与原点连线斜率的倒数,作出可行域可知:,所以,从而可计算出

    方法二:由可得:,代入到不等式组可得:,作出可行域,所求连线的斜率,数形结合即可得到最大值为

     

    9答案:D

    解析:作出可行域,可得最优解为取得最大值

     

     

     

    10答案:C

    解析:由可得数形结合可知经过取得最小值

     

    11答案:3

    解析:作出可行域(如图所示),所求分式即可行域中点与原点连线的斜率最大值由图可知点与原点连线斜率最大所以的最大值为

    12、答案:

    解析:目标函数变为即求动直线纵截距的最大值作出可行域数形结合可得直线过

    13答案:B

    解析:,借助图形可知:当,即时在时有最大值0,不符合题意;当,即时在时有最大值,不满足;当,即时在时有最大值,不满足;当,即时在时有最大值,满足,所以

    14答案:D

    解析目标函数变形为由直线可得该直线过定点讨论则由图可知纵截距的最小值在直线过处取得不符题意可知直线纵截距的最小值过轴的交点所以解得

     

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