高中数学讲义微专题50 等比数列性质（含等差等比数列综合题）学案

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www.ks5u.com第50炼 等比数列性质一、基础知识1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列2、等比数列通项公式：，也可以为：3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项（1）若为的等比中项，则有（2）若为等比数列，则，均为的等比中项（3）若为等比数列，则有4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为当时，则为常数列，所以当时，则可变形为：，设，可得：5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列，则有① 数列（为常数）为等比数列② 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列③ 数列为等比数列④ 数列为等比数列6、相邻项和的比值与公比相关：设，则有：特别的：若，则成等比数列7、等比数列的判定：（假设不是常数列）（1）定义法（递推公式）：（2）通项公式：（指数类函数）（3）前项和公式：注：若，则是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于，均有8、非常数等比数列的前项和 与前项和的关系，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有 例1：已知等比数列的公比为正数，且，则________思路：因为，代入条件可得：，因为，所以， 所以 答案： 例2：已知为等比数列，且，则（      ）A.                B.               C.                D. 思路一：由可求出公比：，可得，所以思路二：可联想到等比中项性质，可得，则，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。例3：已知等比数列的前项和为，则实数的值为（     ）A.                 B.             C.             D. 思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前项和为的形式，所以，即 答案：A例4：设等比数列的前项和记为，若，则（     ）A.                  B.              C.            D. 思路：由可得：，可发现只有分子中的指数幂不同，所以作商消去后即可解出，进而可计算出的值解：，解得：所以答案：A例5：已知数列为等比数列，若，则的值为（     ）A.               B.             C.             D. 思路：与条件联系，可将所求表达式向靠拢，从而，即所求表达式的值为答案：C例6：已知等比数列中，则其前5项的和的取值范围是（     ）A.          B.        C.        D. 思路：条件中仅有，所以考虑其他项向靠拢，所以有，再求出其值域即可解：       ，设，所以   答案：A 例7：已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（      ）A. 充要条件                                B. 必要不充分条件       C. 充分不必要条件                          D. 既不充分也不必要条件思路：在等比数列中，数列的增减受到的符号，与的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题：“若，则数列是递增数列”，如果，则是递减数列，所以命题不成立；再看“若数列是递增数列，则”，同理，如果，则要求，所以命题也不成立。综上，“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件答案：D例8：在等比数列中，若，则（   ）A.                B.              C.                D. 解：条件与结论分别是的前项和与倒数和，所以考虑设，则 所以 答案：B例9：已知等比数列中，各项都是正数，且，则（      ）A.              B.          C.           D. 思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与相关，所以需要求出。由条件，将等式中的项均用即可求出。从而解得表达式的值解：成等差数列  将代入等式可得：，而为正项数列，所以不符题意，舍去答案：C例10：在正项等比数列中，，则满足的最大正整数的值为____________思路：从已知条件入手可求得通项公式：，从而所满足的不等式可变形为关于的不等式：，由 的指数幂特点可得： ，所以只需，从而解出的最大值解：设的公比为，则有解得：（舍）或 所以所解不等式为： 可解得：      的最大值为 答案：  三、历年好题精选（等差等比数列综合）1、已知正项等比数列满足，则的最小值为（     ）A.                  B.               C.                D.  2、已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则（    ）A.                 B.               C.                D.  3、（2016，内江四模）若成等比数列，则下列三个数：①  ②  ③，必成等比数列的个数为（      ）A.0                 B.1                 C.2                D.34、设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（     ）A.                  B.                 C.              D.5、（2016，新余一中模拟）已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列前项和，则的最小值为（     ）A.                B.                C.                D.   6、（2015，北京）设是等差数列，下列结论中正确的是（     ）A. 若，则             B. 若，则C. 若，则             D. 若，则 7、（2015，广东）在等差数列中，若，则______8、（2014，北京）若等差数列满足，则当______时，的前项和最大9、（2015，福建）若是函数的两不同零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（   ）A.                   B.                C.              D.  10、已知是等差数列，公差，其前项和为，若成等比数列，则（    ）A.   B.    C.    D. 11、（2014，广东）若等比数列各项均为正数，且，则12、（2014，安徽）数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则_______13、（2014，新课标全国卷I）已知数列的前项和为，，其中为常数（1）证明： （2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由14、（2016，河南中原第一次联考）已知为等差数列的前项和，若，则（     ）A.                 B.               C.              D.  15、设等差数列的前项和为，且满足，则中最大的项为（    ）A.                  B.                   C.                  D.  16、（2014，湖北）已知等差数列满足：，且成等比数列（1）求数列的通项公式（2）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由   习题答案：1、答案：C解析：设等比数列的公比为，由已知可得，则有，所以，等号成立当且仅当2、答案：C解析：由交点对称可知：① 交点所在直线与垂直，所以；② 直线为圆上弦的中垂线，所以该直线过圆心，由圆方程可得圆心坐标：，代入可得：，所以，3、答案：B解析：本题从“等比数列中不含0项”入手，不妨设的公比为，可得①中若公比，则无法构成等比数列，同理③中若，则无法构成等比数列；对于②可知均能构成公比为的等比数列4、答案：D解析：，可得在中，且最大。所以可知，从而最大5、答案：A解析：设公差为，因为成等比数列解得：   ，令6、答案：C解析：A选项：反例为公差小于0，且的数列，例如：，所以A错误B选项：同A中的例子即可判定B错误C选项：由可知，且，则，再将统一用表示，即，所以C正确D选项：由等差数列可得：，所以D错误综上所述：C选项正确7、答案：10解析：，可得，所以 8、答案：8解析：由可得：，由可得，从而，由此可知数列前8项为正项，且数列单调递减，从第9项开始为负项，所以前8项和最大9、答案：D解析：由韦达定理可知，且由可知，因为可构成等比数列，所以必为等比中项，，即，所以构成等差数列，同样由判断出则等差中项只能是或，所以有或，解得或，则，所以 10、解析：成等比数列    综上所述：11、答案：50解析：由可得，从而，因为为等比数列，所以为等差数列，从而有：12、答案：1解析：方法一：设的公差为，由成等比数列可得： 方法二：由等比数列性质可知：，由合比性质可得： 13、解析：（1） ，即（2）由题设可得：     由（1）可得： 若为等差数列，则 解得： 下面验证是否能让为等差数列由（1）可得：是首项为1，公差为4的等差数列 是首项为，公差为4的等差数列且为公差是2的等差数列 14、答案：D解析：15、答案：D解析：，所以，所以可得在中，最大，在中，是最小的正数。所以最大16、解析：（1）设的公差为 成等比数列    或 当时，可得 当时， 或（2）当时，，故不存在符合条件的 当时， 令 解得或（舍），即的最小值为 综上所述：当时，不存在符合条件的；当时，的最小值为