2022届山东省烟台市高考二模（枣庄三模）数学试题

2022年高考适应性练习（一）

数学

注意事项：

1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．

2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．

3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．已知集合，则（    ）

A．     B．     C．     D．

2．复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限     B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限

3．若圆锥的母线长为2，侧面积为，则其体积为（    ）

A．     B．     C．     D．

4．二进制在计算机技术中应用广泛．二进制数以2为基数，通常用0和1两个数码来表示，进位规则是从最右面的数位依次向左满二进一，如二进制数101对应的十进制数为．那么，十进制数22对应的二进制数为（    ）

A．10011     B．10101     C．10110     D．11010

5．曲线在点处的切线与直线垂直，则c的值为（    ）

A．     B．0     C．1     D．2

6．在的展开式中，含项的系数为（    ）

A．     B．480     C．     D．240

7．声音是由物体振动产生的．我们平时听到的声音几乎都是复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．不同的振动的混合作用决定了声音的音色，人们以此分辨不同的声音．已知刻画某声音的函数为，则其部分图象大致为（    ）

A．     B．

C．     D．

8．已知点分别为椭圆的左、右焦点，点P为直线上一个动点．若的最大值为，则椭圆C的离心率为（    ）

A．     B．     C．     D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列结论正确的有（    ）

A．若随机变量满足，则

B．若随机变量，且，则

C．若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点

D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05

10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．                                   B．

C．点是图象的一个对称中心     D．函数在上的最小值为

11．已知，且，则（    ）

A．     B．      C．     D．

12．给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第次得到数列，记，数列的前n项和为，则（    ）

A．     B．     C．     D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知为锐角，且，则的值为________．

14．已知函数为偶函数，当时，，则的值为__________．

15．已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为________．

16．鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的椎结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为_________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知正项数列的前n项和为，且成等比数列，其中．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

18．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（I）求A；

（2）若，角4的平分线交于M，求的长．

19．（12分）如图，在平行六面体中，底面，．

（1）证明：；

（2）设点P为线段上一点（异于D，），当为何值时，面与面夹角的余弦值最大？

20．（12分）2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下：

假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响．

（1）求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；

（2）已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．

21．（12分）已知双曲线的实轴长为2，点是抛物线的准线与C的一个交点．

（1）求双曲线C和抛物线E的方程；

（2）过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求面积的取值范围．

22．（12分）已知函数．

（1）设的导函数为，讨论零点的个数；

（2）设的极值点为，若恒成立，求实数的取值范围．

2022年高考适应性练习（一）

数学参考答案

一、选择题

ABDC  CACD

二、选择题

9．BCD  10．AC  11．ABD  12．CD

三、填空题

13．  14．  15．  16．

四、解答题

17．解：（1）由成等比数列，得，

即．     ①

当时，，解得．

当时，．     ②

①-②得，，整理得．

因为为正项数列，所以，所以，

即数列是以1为首项、2为公差的等差数列．

所以．

（2）由（1）知，．

所以．

所以

．

18．解：（1）因为，

由正弦定理得，．

因为，所以，

代入上式得，．

因为，所以，

所以上式可化为，

即．因为，所以，所以，

所以．

（2）在中，由余弦定理得：

，即．

所以，所以．

因为角A的平分线交于M，则，所以．

在中，由正弦定理得，即，

所以．

19．解：（1）证明：连结．

因为面面，所以．

又在中，，由余弦定理得，即，

由勾股定理得，即．

因为，所以面．

又面，所以．

（2）由（1）知，两两垂直，以D为坐标原点，分别以向量的方向为x，y，z轴正向，建立如图所示的空间直角坐标系．

购．

所以，设，

则，即．

所以．

设为平面的一个法向量，

则，即，

令，则，取．

因为平面，所以为平面的一个法向量．

设面与面的夹角为，

则．

此时当，即时，取得最大值，

因此．

20．解：（1）事件“甲平台日销售量不低于8件”，则．

设事件“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”，则

．

（2）设甲平台日销售收入为，

则所有可能的取值为．

的分布列为

因此

设乙平台日销售收入为，

则所有可能取值为．

的分布列为

因此

于是．令，得．所以当时，选择甲平台；当时，甲、乙平台均可；当时，选择乙平台．

21．解：（1）因为双曲线的实轴长为2，所以．

又因为点在C上，所以，所以．

所以双曲线C的方程为．

因为抛物线的准线为，所以抛物线E的方程为．

（2）设，直线方程为，

将其与抛物线方程联立，得，

因为直线与抛物线相切，

所以，整理得     ①

点A的横坐标．

同理，直线方程为，有，

点B的横坐标，．

由①②知，是方程的两个根，

所以，

由，得．

直线方程为，即．

点到直线的距离，

所以．

因为点在双曲线上，所以，

所以．

当时，取得最小值，故面积的取值范围为．

22．解：（1），所以．

当时，，所以在上单减，又当时，，

当时，，由零点存在定理，此时存在唯一零点；

当时，令，得，故当，单增，同理，时，单减，所以．

又当，当，所以当，即时，由零点存在定理存在两个零点；当时，存在一个零点；

当时，在无零点．

综上，当或时，存在1个零点；当时，存在2个零点；当时，无零点．

（2）由（1）知，的极值点为，即方程的两根，且，所以．

两式相除并取对数得．

由，得，

所以．

令，令，则恒成立．

，

令，则，

因为在单增，且，所以，使得，且当时，单减；时，单增．又，由零点存在定理，存在，当时，单减，当时，单增．又，所以当时，单减，当时，，单增．

所以当时，，的取值范围为．