2021岳阳一中高一下学期期末考试数学试题（图片版）扫描版含答案

岳阳市第一中学高一上学期数学检测

数学试题

第I卷（选择题）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）

1．已知集合，，则（A   ）

 A．  B．

 C．  D．或

2．若复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数是（ B   ）

A． B． C． D．

3．已知命题：，，则它的否定形式为（  D ）

 A．，  B．，

 C．，  D．，

4．，则的大小关系为（ B  ）

 A．     B．        C．       D．

5．某中学高三2班在每周的星期一、三、五的晚自习前都要用半个小时进行英语听力测试，一共30个小题，每个小题1分，共30分；测试完后，该班英语老师都会随机抽取一个小组进行现场评阅，下表是该班英语老师在某个星期一随机抽取一个小组进行现场评阅的得分情况：

对这个小组的英语听力测试分数，有下面四种说法：

①该小组英语听力测试分数的极差为12

②该小组英语听力测试分数的中位数为21

③该小组英语听力测试分数的平均数为21

④该小组英语听力测试分数的方差为11

其中说法正确的个数是（    ）C

 A．1 B．2 C．3 D．4

6. 函数的大致图像为 （ D   ）

7．已知，则（ A  ）

 A．2 B．–1 C．1 D．–2

8．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了4个小球，其中3个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为和，则（    ）C

A．    B． C．     D．以上三种情况都有可能

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．有以下四种说法，其中正确的有（   ）

 A．“且”是“”的充要条件

 B．直线，，平面，若，则“”是“”的充分不必要条件

 C．“”是“”的必要不充分条件

 D．设，则“”是“”的既不充分也不必要条件

10．下列各对事件中，为相互独立事件的是（ABD  ）

A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”

B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”

C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”

D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”

11．已知函数()的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（   ）ACD

 A．函数的最小正周期为

B．为函数的一个对称中心

 C．

 D．函数向右平移个单位后所得函数为偶函数

12．如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（    ）BCD

A．三棱锥的体积为定值

B．过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为

C．直线与平面所成角的正弦值的范围为

D．当点与重合时，三棱锥的外接球的体积为

【答案】BCD

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，若与平行，则实数m等于______.

【答案】

14．设x，，且，则的最小值是__________．

15、设函数,则使成立的的取值范围是____________.

16．在中，角，，所对的边分别为，，，且点满足，若，则的最大值为____________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．如图，在正方体中，点为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

18．已知函数，且关于的不等式的解集为．

（1）求实数，的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）由题意得，1是方程的根，

由韦达定理得，所以，又，解得．所以，．

（2）由题意得，在上恒成立，

令，只需即可，由均值不等式得

，当且仅当，即时等号成立．所以，

所以实数的取值范围是．

19．在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为,且.

（1）求角A的大小；

（2）若， ABC的面积为求的值。

20．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.

（1）证明：PA⊥平面ABCD；

（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；

(1)证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a，在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2，知PA⊥AB，同理PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

(2)解：如图1所示，作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD，作

GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，则∠EHG为所求二面角的平面角，设为θ.又PE∶ED＝2∶1，

图1

则EG＝a，AG＝a，GH＝AGsin 60°＝a，

从而tan θ＝＝，所以θ＝30°.

21．某市约有30万户居民，为了实现绿色发展，避免浪费资源，市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法，即制定每户居民月用电量的临界值，若居民某月用电量不超过度则按第一阶梯电价标准收费，价格为0.5元/度；若某月用电量超过度，超出部分则按第二阶梯电价标准收费，价格为元/度，未超出部分按第一阶梯电价标准收费．为此，相关部门在该市随机调查了200户居民的某月用电量，以了解这个城市家庭用电量情况，进行统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）．

（1）若该市政府希望让全市70%的居民在使用阶梯电价前后缴纳的电费保持不变，临界值应定为多少？并估计全市居民月用电量的众数和平均数；

（2）在（1）的条件下，假定使用阶梯电价之后，月用电量未超过度的居民用电量保持不变；月用电量超过度的居民节省“超出部分”的40%，试估计全市居民每月节约的电量；

（3）在（1）（2）的条件下，若使用阶梯电价前后全市缴纳电费总额不变，求第二阶梯电价．（结果保留两位有效数字）

21．解：（1）由频率分布直方图可得，区间的频率总和恰为0.7，由样本估计总体，可得临界值的值为160，众数为的中间值140，

平均数为．

（2）由（1）知，月用电量在内的居民在使用阶梯电价前后用电量不变，节电量为0度；

月用电量在内的50户居民，平均每户用电180度，超出部分为20度，根据题意，每户每月节电（度），50户每月共节电（度）；

月用电量在内的10户居民，平均每户用电220度，超出部分为60度，根据题意，每户每月节电（度），10户每月共节电（度）

故样本中200户居民每月共节电（度），

用样本估计总体，得全市居民每月节电量约为（万度）．

（3）由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不变，故“超出部分”对应的总电费也不变，在200户居民组成的样本中，每月用电量共超出度，实行“阶梯电价”后，共节约640度，剩余960度，所以，解得

22．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.

（1）当时，求的单调递减区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.

（3）（*）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.

【答案】（1）； （2）； （3），.

【详解】

（1）由题意，函数

因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，

又由函数为奇函数，可得，

所以，因为，所以，所以函数，

令，解得，

可函数的递减区间为，

再结合，可得函数的减区间为.

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，

再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，

当时，，

当时，函数取得最小值，最小值为，

当时，函数取得最大值，最小值为，

故函数的值域.

（3）由方程，即，即，

因为，可得，

设，其中，即，

结合正弦函数的图象，可得方程在区间有5个解，即，

其中，

即

解得

所以.