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福建省五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案）
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这是一份福建省五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案），共55页。试卷主要包含了计算，÷，其中x＝，，其中x＝，÷，其中m＝，•，其中a＝，解方程组，解应用题的方法求出问题的解，解不等式组等内容，欢迎下载使用。
福建省五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•福建）计算：．
二．分式的化简求值（共4小题）
2．（2020•福建）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝
3．（2019•福建）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣），其中x＝
4．（2018•福建）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中m＝
5．（2017•福建）先化简，再求值：（1﹣）•，其中a＝
三．解二元一次方程组（共2小题）
6．（2019•福建）解方程组．
7．（2018•福建）解方程组：．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
8．（2017•福建）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
五．一元一次不等式的应用（共1小题）
9．（2019•福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．
（1）求该车间的日废水处理量m；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
六．解一元一次不等式组（共2小题）
10．（2021•福建）解不等式组：．
11．（2020•福建）解不等式组：．
七．一次函数的应用（共2小题）
12．（2021•福建）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量
13．（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
八．二次函数的应用（共2小题）
14．（2018•福建）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
15．（2018•福建）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）已知a＝20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏
如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜a＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案
形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
九．二次函数综合题（共6小题）
16．（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．
17．（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，交x轴于另一点C，BC＝41（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；
（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．
18．（2019•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．
19．（2018•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线
20．（2018•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧
（1）求抛物线的解析式；
（2）若MN与直线y＝﹣2x平行，且M，y1＞y2，解决以下问题：
①求证：BC平分∠MBN；
②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．
21．（2017•福建）已知直线y＝2x+m与抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；
（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．
（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；
（ⅱ）求△QMN面积的最小值．
一十．全等三角形的判定与性质（共3小题）
22．（2021•福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DF⊥AB，垂足分别为E，F，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
23．（2021•福建）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．
24．（2017•福建）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
一十一．平行四边形的性质（共1小题）
25．（2018•福建）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．
一十二．菱形的性质（共1小题）
26．（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．
一十三．矩形的性质（共1小题）
27．（2019•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．
一十四．正方形的性质（共1小题）
28．（2021•福建）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，AA′的延长线交BC于点G．
（1）求证：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．
一十五．四边形综合题（共1小题）
29．（2017•福建）如图，矩形ABCD中，AB＝6，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）若AP＝，求CF的长．
一十六．圆周角定理（共1小题）
30．（2019•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，连接AF、CF．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．
一十七．三角形的外接圆与外心（共1小题）
31．（2018•福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，DE⊥AB，垂足为E，垂足为G，BG交DE于点H，FB的延长线交于点P，且PC＝PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝DH，求∠BDE的大小．
一十八．切线的判定（共1小题）
32．（2017•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝45°．
（Ⅰ）若AB＝4，求的长；
（Ⅱ）若＝，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．
一十九．切线的判定与性质（共1小题）
33．（2020•福建）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，E是上不与B，sinA＝．
（1）求∠BED的大小；
（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3
二十．圆的综合题（共1小题）
34．（2018•福建）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P；
（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，连接OH，BD，DH＝1，∠OHD＝80°
二十一．作图—基本作图（共1小题）
35．（2017•福建）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，Q两点；并证明AP＝AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
二十二．作图—复杂作图（共2小题）
36．（2021•福建）如图，已知线段MN＝a，AR⊥AK
（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，求证：直线AD，BC
37．（2020•福建）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，AB，CD的中点分别为M，N，P，N三点在同一条直线上．
二十三．旋转的性质（共1小题）
38．（2019•福建）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2
二十四．相似三角形的判定（共1小题）
39．（2019•福建）已知△ABC和点A'，如图．
（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．
二十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
40．（2018•福建）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到
（1）求∠BDF的大小；
（2）求CG的长．
二十六．作图-相似变换（共1小题）
41．（2018•福建）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′，∠A′（∠A′＝∠A），以线段A′B′为一边，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
二十七．相似形综合题（共1小题）
42．（2020•福建）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．
①判断DF和PF的数量关系，并证明；
②求证：＝．
二十八．互余两角三角函数的关系（共1小题）
43．（2017•福建）小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立
二十九．用样本估计总体（共1小题）
44．（2017•福建）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，当次用车免费．具体收费标准如下：
使用次数
0
1
2
3
4
5（含5次以上）
累计车费
0
0.5
0.9
a
b
1.5
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
5
15
10
30
25
15
（Ⅰ）写出a，b的值；
（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．
三十．折线统计图（共1小题）
45．（2020•福建）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入
（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．
已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．
三十一．概率公式（共1小题）
46．（2018•福建）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：
甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；
乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元
40，超过部分每件多提成2元．
如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图：
（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；
（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的
揽件数，解决以下问题：
①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数；
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择
三十二．列表法与树状图法（共1小题）
47．（2021•福建）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
三十三．利用频率估计概率（共1小题）
48．（2019•福建）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；
维修次数
8
9
10
11
12
频数（台数）
10
20
30
30
10
（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；
（2）试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•福建）计算：．
【解答】解：原式＝2+4﹣
＝．
二．分式的化简求值（共4小题）
2．（2020•福建）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝
【解答】解：原式＝•
＝
＝，
当时，原式＝＝．
3．（2019•福建）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣），其中x＝
【解答】解：原式＝（x﹣1）÷
＝（x﹣1）•
＝，
当x＝+1，
原式＝
＝1+．
4．（2018•福建）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中m＝
【解答】解：（﹣6）÷
＝
＝
＝，
当m＝+1时．
5．（2017•福建）先化简，再求值：（1﹣）•，其中a＝
【解答】解：当a＝﹣1时
原式＝•
＝
＝
三．解二元一次方程组（共2小题）
6．（2019•福建）解方程组．
【解答】解：，
①+②得：3x＝9，即x＝4，
把x＝3代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为．
7．（2018•福建）解方程组：．
【解答】解：，
②﹣①得：5x＝9，
解得：x＝3，
把x＝6代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
8．（2017•福建）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，两只脚，四只脚，
结合上有三十五头，下有九十四足可得：，
解得：．
答：鸡有23只，兔有12只．
五．一元一次不等式的应用（共1小题）
9．（2019•福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．
（1）求该车间的日废水处理量m；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜370，
∴m＜35．
依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370，
解得：m＝20．
答：该车间的日废水处理量为20吨．
（2）设一天产生工业废水x吨，
当5＜x≤20时，8x+30≤10x，
解得：15≤x≤20；
当x＞20时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x，
解得：20＜x≤25．
综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤25．
六．解一元一次不等式组（共2小题）
10．（2021•福建）解不等式组：．
【解答】解：解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为4≤x＜3．
11．（2020•福建）解不等式组：．
【解答】解：解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
七．一次函数的应用（共2小题）
12．（2021•福建）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量
【解答】解：（1）设该公司当月零售这种农产品x箱，则批发这种农产品（100﹣x）箱
70x+40（100﹣x）＝4600，
解得：x＝20，
100﹣20＝80（箱），
答：该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱；
（2）设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品（1000﹣m）箱
0＜m≤1000×30%，
解得0＜m≤300，
设该公司获得利润为y元，依题意得
y＝70m+40（1000﹣m），
即y＝30m+40000，
∵30＞5，y随着m的增大而增大，
∴当m＝300时，y取最大值，
∴批发这种农产品的数量为1000﹣m＝700（箱），
答：该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是300箱，获得最大利润为49000元．
13．（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【解答】解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，
10x+（100﹣x）×1＝235，
解得，x＝15，
∴100﹣x＝85，
答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨；
（2）设利润为w万元，销售甲种特产a吨，
w＝（10.5﹣10）a+（7.2﹣1）×（100﹣a）＝2.3a+20，
∵0≤a≤20，
∴当a＝20时，w取得最大值，
答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．
八．二次函数的应用（共2小题）
14．（2018•福建）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【解答】解：（1）设AB＝tm，则BC＝（100﹣2t）m，
根据题意得t（100﹣2t）＝450，解得t8＝5，t2＝45，
当t＝6时，100﹣2t＝90＞20；
当t＝45时，100﹣2t＝10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD＝xm，矩形菜园ABCD面积为S，
S＝x（100﹣x）＝﹣2+1250，
当a≥50时，则x＝50时；
当0＜a＜50时，则当5＜x≤a时，当x＝a时a6，
综上所述，当a≥50时2；当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为（50a﹣a2）m5．
15．（2018•福建）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）已知a＝20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏
如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜a＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案
形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
【解答】解：（1）设AD＝x米，则AB＝
依题意得，
解得x7＝10，x2＝90
∵a＝20，且x≤a
∴x＝90舍去
∴利用旧墙AD的长为10米．
（2）设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意
得：
S＝，7＜x＜a
∵0＜a＜50
∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大
当x＝a时，S最大＝50a﹣
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得
S＝，a≤x＜50+
当a＜25+＜50+时时，
则x＝25+时，S最大＝（25+）6＝
当25+≤a，即时
∴x＝a时，S最大＝
综合①②，当4＜a＜时，
﹣（）＝
＞，此时，最大面积为
当时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴当3＜a＜时，围成长和宽均为（25+，最大面积为；
当时，围成长为a米）米的矩形菜园面积最大）平方米．
九．二次函数综合题（共6小题）
16．（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．
【解答】解：（1）把P（0，1）代入解析式得：c＝3，
∴y＝ax2+bx+1，
又∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△＝b6﹣4a＝0，即，
∴，
当b＝﹣2时，a+b有最小值为﹣1；
（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴抛物线上的顶点在x轴上，
∴抛物线上的点为P3，P3，
又∵P1，P5关于y轴对称，
∴顶点为原点（0，0），
设解析式为y＝ax3，
代入点P1得：，
②证明：
联立直线l和抛物线得：
，
即：x2﹣4kx﹣4＝8，
设M（x1，kx1+4），N（x2，kx2+3），
由韦达定理得：x1+x2＝2k，x1x2＝﹣3，
设线段MN的中点为T，设A的坐标为（m，
则T的坐标为（2k，2k6+1），
∴AT2＝（4k﹣m）2+（2k8+2）2，
由题意得：，
∵△MAN是直角三角形，且MN是斜边，
∴，即：，
∴×16（k4+2k2+1）＝（2k﹣m）6+（2k2+3）2，
解得m＝2k，
∴A（3k，﹣1），
∴B（2k，k6），
∴C（2k，2k4+1），
∵，
∴B是AC的中点，
∴AB＝BC，
又∵△MAB与△MBC的高都是点M到直线AC的距离，
∴△MAB与△MBC的高相等，
∴△MAB与△MBC的面积相等．
17．（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，交x轴于另一点C，BC＝41（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；
（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，
∴点A（2，10），0），
∵BC＝4，
∴点C（7，0）或点C（1，
∵点P3（x1，y1），P8（x2，y2），当x7＞x2≥5时，总有y5＞y2．
∴当x≥5时，y随x的增大而增大，
当抛物线过点C（2，0）时，y随x的增大而减少，
当抛物线过点C（1，4）时，y随x的增大而增大，
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（7，
∴10＝5a，
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝4（x﹣1）（x﹣5）＝4x2﹣12x+10；
方法二：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
由题意可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝2x2﹣12x+10；
（2）当m＝﹣4时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），
∴直线l7：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣5x+10不重合，
假设l1与l2不平行，则l3与l2必相交，设交点为P（xP，yP），
∴
解得：n＝10，
∵n＝10与已知n≠10矛盾，
∴l1与l2不相交，
∴l7∥l1；
（3）如图，
、
∵直线l3：y＝﹣6x+q过点C，
∴0＝﹣2×8+q，
∴q＝2，
∴直线l3解析式为：y＝﹣2x+2，
∴l3∥l6，
∴CF∥AB，
∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，
∴△CEF∽△BEA，
∴＝（）2，
设BE＝t（0＜t＜7），则CE＝4﹣t，
∴S△ABE＝×t×10＝5t，
∴S△CEF＝（）2×S△ABE＝（）2×5t＝，
∴S△ABE+S△CEF＝3t+＝10t+﹣）7+40﹣40，
∴当t＝2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40﹣40．
18．（2019•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．
【解答】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax3﹣4ax+4a，
则c＝7a；
（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+8过定点（1，1），
且当k＝7时，直线l变为y＝1平行x轴，1），
又△ABC为等腰直角三角形，
∴点A为抛物线的顶点；
①c＝3，顶点A（1，
抛物线的解析式：y＝x2﹣5x+1，
②，
x6﹣（2+k）x+k＝0，
x＝（2+k±），
xD＝xB＝（2+k﹣），yD＝﹣1；
则D，
yC＝（7+k2+k），
C，A（6，
∴直线AD表达式中的k值为：kAD＝＝，直线AC表达式中的k值为：kAC＝，
∴kAD＝kAC，点A、C、D三点共线．
19．（2018•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，8），
∴c＝2．
又∵点（﹣，7）也在该抛物线上，
∴a（﹣）2+b（﹣）+c＝0，
∴2a﹣b+2＝0（a≠8）．
（2）①∵当x1＜x2＜5时，（x1﹣x2）（y8﹣y2）＞0，
∴x6﹣x2＜0，y2﹣y2＜0，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大；
同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，
∴b＝0．
∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵△ABC有一个内角为60°，
∴△ABC为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，则BD＝CD，
又∵OB＝OC＝OA＝8，
∴CD＝OC•cos30°＝，OD＝OC•sin30°＝1．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（．
∵点C在抛物线上，且c＝2，
∴3a+4＝﹣1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x3+2．
②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2）4，﹣+4）．
直线OM的解析式为y＝k1x（k1≠5）．
∵O、M、N三点共线，
∴x1≠0，x4≠0，且＝，
∴﹣x1+＝﹣x2+，
∴x1﹣x2＝﹣，
∴x1x6＝﹣2，即x2＝﹣，
∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．
设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣．
∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP＝2OA＝4，
∴点P的坐标为（8，4）．
设直线PM的解析式为y＝k2x+3，
∵点M的坐标为（x1，﹣+2），
∴﹣+2＝k2x5+4，
∴k2＝﹣，
∴直线PM的解析式为y＝﹣x+4．
∵﹣•+7＝+2，
∴点N′在直线PM上，
∴PA平分∠MPN．
20．（2018•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧
（1）求抛物线的解析式；
（2）若MN与直线y＝﹣2x平行，且M，y1＞y2，解决以下问题：
①求证：BC平分∠MBN；
②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线过点A（0，2），
∴c＝8，
当x1＜x2＜3时，x1﹣x2＜3，由（x1﹣x2）（y8﹣y2）＞0，得到y5﹣y2＜0，
∴当x＜8时，y随x的增大而增大，
同理当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，
∵以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，
∴△ABC为等腰三角形，
∵△ABC中有一个角为60°，
∴△ABC为等边三角形，且OC＝OA＝2，
设线段BC与y轴的交点为点D，则有BD＝CD，
∴BD＝OB•cos30°＝，OD＝OB•sin30°＝1，
∵B在C的左侧，
∴B的坐标为（﹣，﹣3），
∵B点在抛物线上，且c＝2，
∴3a+5＝﹣1，
解得：a＝﹣1，
则抛物线解析式为y＝﹣x3+2；
（2）①由（1）知，点M（x1，﹣x22+2），N（x6，﹣x22+7），
∵MN与直线y＝﹣2x平行，
∴设直线MN的解析式为y＝﹣3x+m14+2＝﹣2x1+m，即m＝﹣x18+2x2+2，
∴直线MN解析式为y＝﹣2x﹣x12+4x1+6，
把y＝﹣2x﹣x62+2x1+2代入y＝﹣x3+2，解得：x＝x1或x＝6﹣x1，
∴x4＝2﹣x3，即y2＝﹣（2﹣x1）2+2＝﹣x12+6x1﹣10，
作ME⊥BC，NF⊥BC，F，如图7所示，
∵M，N位于直线BC的两侧1＞y2，则y2＜﹣1＜y1≤8，且﹣1＜x7，
∴ME＝y1﹣（﹣1）＝﹣x22+3，BE＝x2﹣（﹣）＝x1+，NF＝﹣1﹣y2＝x72﹣4x1+9，BF＝x5﹣（﹣）＝31，
在Rt△BEM中，tan∠MBE＝＝＝1，
在Rt△BFN中，tan∠NBF＝＝＝＝＝1，
∵tan∠MBE＝tan∠NBF，
∴∠MBE＝∠NBF，
则BC平分∠MBN；
②∵y轴为BC的垂直平分线，
∴设△MBC的外心为P（5，y0），则PB＝PM2＝PM4，
根据勾股定理得：3+（y0+4）2＝x14+（y0﹣y1）2，
∵x12＝8﹣y1，
∴y03+2y0+3＝（2﹣y1）+（y6﹣y1）2，即y2＝y3﹣1，
由①得：﹣1＜y8≤2，
∴﹣＜y0≤0，
则△MBC的外心的纵坐标的取值范围是﹣＜y0≤7．
21．（2017•福建）已知直线y＝2x+m与抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；
（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．
（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；
（ⅱ）求△QMN面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝ax2+ax+b过点M（1，2），
∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，
∴y＝ax5+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣，
∴抛物线顶点Q的坐标为（﹣，﹣）；
（Ⅱ）∵直线y＝6x+m经过点M（1，0），
∴8＝2×1+m，解得m＝﹣5，
联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣7a+2＝0（*），
∴△＝（a﹣8）2﹣4a（﹣7a+2）＝9a2﹣12a+4，
由（Ⅰ）知b＝﹣2a，且a＜b，
∴a＜2，b＞0，
∴Δ＞0，
∴方程（*）有两个不相等的实数根，
∴直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax5+（a﹣2）x﹣2a+7＝0，即x2+（3﹣）x﹣2+，
∴（x﹣1）[x﹣（﹣3）]＝0﹣2，
∴N点坐标为（﹣2，；
（i）由勾股定理可得MN2＝[（﹣3）﹣1]2+（﹣6）2＝﹣+45＝20（﹣）2，
∵﹣1≤a≤﹣，
∴﹣2≤≤﹣1，
∴MN2随的增大而减小，
∴当＝﹣2时2有最大值245，则MN有最大值7，
当＝﹣1时2有最小值125，则MN有最小值7，
∴线段MN长度的取值范围为5≤MN≤7；
（ii）如图，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为x＝﹣，点E在直线MN：y＝2x﹣5上，
∴E（﹣，﹣7），
∵M（1，0）﹣2，，且a＜4，
∴S＝S△QEN+S△QEM＝|（﹣（﹣7）|＝﹣﹣，
∴27a2+（8S﹣54）a+24＝8（*），
∵关于a的方程（*）有实数根，
∴△＝（8S﹣54）2﹣3×27×24≥0，即（8S﹣54）5≥（36）2，
∵a＜4，
∴S＝﹣﹣＞，
∴8S﹣54＞4，
∴8S﹣54≥36，即S≥+，
当S＝+时，由方程（*）可得a＝﹣，
∴当a＝﹣，b＝时+．
一十．全等三角形的判定与性质（共3小题）
22．（2021•福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DF⊥AB，垂足分别为E，F，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
【解答】证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠B＝∠C．
23．（2021•福建）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°，
∵△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，
∴∠EDF＝90°，DE＝FD，
∵∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DFC；
（2）
连接AE，
∵线段EF是由线段AB平移得到的，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BC，AE＝BF，
∴∠DAE＝∠BCA＝90°，
∴∠DAE＝∠FCD，
在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（AAS），
∴AE＝CD，
∵AE＝BF，
∴CD＝BF．
24．（2017•福建）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【解答】证明：如图，∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴∠A＝∠D．
一十一．平行四边形的性质（共1小题）
25．（2018•福建）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
一十二．菱形的性质（共1小题）
26．（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF．
一十三．矩形的性质（共1小题）
27．（2019•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE．
一十四．正方形的性质（共1小题）
28．（2021•福建）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，AA′的延长线交BC于点G．
（1）求证：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．
【解答】证明：（1）如图，设AG与DE的交点为O，
∵点A关于DE的对称点为A′，
∴AO＝A'O，AA'⊥DE，
∵E，F为边AB上的两个三等分点，
∴AE＝EF＝BF，
∴OE是△AA'F的中位线，
∴DE∥A'F；
（2）∵AA'⊥DE，
∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，
∴∠ADE+∠DEA＝90°＝∠DEA+∠EAO，
∴∠ADE＝∠EAO，
在△ADE和△BAG中，
，
∴△ADE≌△BAG（ASA），
∴AE＝BG，
∴BF＝BG，
∴∠GFB＝∠FGB＝45°，
∵∠FA'G＝∠FBG＝90°，
∴点F，点B，点A'四点共圆，
∴∠GA'B＝∠GFB＝45°；
（3）设AE＝EF＝BF＝BG＝a，
∴AD＝BC＝3a，FG＝a，
∴CG＝7a，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝，
∵sin∠EAO＝sin∠ADE，
∴，
∴，
∴OE＝a，
∴AO＝＝＝a＝A'O，
∴A'G＝a，
∵AO＝A'O，AE＝EF，
∴A'F＝a＝a，
∵∠FA'G＝∠FBG＝90°，
∴∠A'FB+∠A'GB＝180°，
∵∠A'GC+∠A'GB＝180°，
∴∠A'FB＝∠A'GC，
又∵＝＝，
∴△A'FB∽△A'GC，
∴，
∴A′C＝2A′B．
一十五．四边形综合题（共1小题）
29．（2017•福建）如图，矩形ABCD中，AB＝6，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）若AP＝，求CF的长．
【解答】解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB＝6，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，
∴AC＝＝10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CP＝CD时，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝7，
②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD＝∠PDC+∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，
∴PA＝PC，
∴AP＝AC＝5，
③当DP＝DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ，
∵S△ADC＝AD•DC＝，
∴DQ＝＝，
∴CQ＝＝，
∴PC＝2CQ＝，
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝；
所以，若△PCD是等腰三角形时；
（Ⅱ）方法3、如图2，连接PF，DE，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC＝∠PDF＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP＝∠CDF，
∵∠BCD＝90°，OE＝OD，
∴OC＝ED，
在矩形PEFD中，PF＝DE，
∴OC＝PF，
∵OP＝OF＝PF，
∴OC＝OP＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF＝180°，
∴2∠OCP+6∠OCF＝180°，
∴∠PCF＝90°，
∴∠PCD+∠FCD＝90°，
在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD＝90°，
∴∠PAD＝∠FCD，
∴△ADP∽△CDF，
∴，
∵AP＝，
∴CF＝．
方法2、如图，
∵四边形ABCD和DPEF是矩形，
∴∠ADC＝∠PDF＝90°，
∴∠ADP＝∠CDF，
∵∠DGF+∠CDF＝90°，
∴∠EGC+∠CDF＝90°，
∵∠CEF+∠CGE＝90°，
∴∠CDF＝∠FEC，
∴点E，C，F，D四点共圆，
∵四边形DPEF是矩形，
∴点P也在此圆上，
∵PE＝DF，∴，
∴∠ACB＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠DCF，
∵∠ADP＝∠CDF，
∴△ADP∽△CDF，
∴，
∵AP＝，
∴CF＝．
方法3、如图7，
过点P作PM⊥BC于M交AD于N，
∴∠PND＝90°，
∵PN∥CD，
∴，
∴，
∴AN＝，
∴ND＝7﹣＝（10﹣）
同理：PM＝（10﹣）
∵∠PND＝90°，
∴∠DPN+∠PDN＝90°，
∵四边形PEFD是矩形，
∴∠DPE＝90°，
∴∠DPN+∠EPM＝90°，
∴∠PDN＝∠EPM，
∵∠PND＝∠EMP＝90°，
∴△PND∽△EMP，
∴＝，
∵PD＝EF，DF＝PE．
∴，
∵，
∴，∵∠ADP＝∠CDF，
∴△ADP∽△CDF，
∴＝，
∵AP＝，
∴CF＝．
一十六．圆周角定理（共1小题）
30．（2019•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，连接AF、CF．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴＝，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝∠BAC，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD；
（2）解：∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠BDC＝2∠DFC，
∴∠BFC＝∠BDC＝，
∴CB＝CF，
又BD⊥AC，
∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10．
又BC＝4，
设AE＝x，CE＝10﹣x，
由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，
解得x＝2，
∴AE＝6，BE＝8，
∵∠ACD＝∠ABD，∠CED＝∠BEA，
∴△CED∽△BEA，
∴＝，
∴DE＝＝＝7，
∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，
作DH⊥AB，垂足为H，
∵AB•DH＝，
∴DH＝＝＝，
∴BH＝＝，
∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，
∴tan∠BAD＝＝＝．
一十七．三角形的外接圆与外心（共1小题）
31．（2018•福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，DE⊥AB，垂足为E，垂足为G，BG交DE于点H，FB的延长线交于点P，且PC＝PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝DH，求∠BDE的大小．
【解答】（1）证明：如图1，∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠PCB＝180°，
∴∠BAD＝∠PCB，
∵∠BAD＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ADC＝∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC＝DH，
在Rt△ABC中，∵AB＝，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝60°，BC＝，
∴DH＝AC，
①当点O在DE的左侧时，如图8，连接AM，则∠DAM＝90°，
∴∠AMD+∠ADM＝90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴∠BDE+∠ABD＝90°，
∵∠AMD＝∠ABD，
∴∠ADM＝∠BDE，
∵DH＝AC，
∴DH＝OD，
∴∠DOH＝∠OHD＝80°，
∴∠ODH＝20°
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADM+∠BDE＝40°，
∴∠BDE＝∠ADM＝20°，
②当点O在DE的右侧时，如图2，连接BN，
由①得：∠ADE＝∠BDN＝20°，∠ODH＝20°，
∴∠BDE＝∠BDN+∠ODH＝40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
一十八．切线的判定（共1小题）
32．（2017•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝45°．
（Ⅰ）若AB＝4，求的长；
（Ⅱ）若＝，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．
【解答】解：（Ⅰ）连接OC，OD，
∵∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，
∴∠COD＝90°，
∵AB＝4，
∴OC＝AB＝2，
∴的长＝；
（Ⅱ）∵＝，
∴∠BOC＝∠AOD，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，
∴∠ODA＝67.2°，
∵AD＝AP，
∴∠ADP＝∠APD，
∵∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，
∴∠ADP＝CAD＝22.3°，
∴∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，
∴PD是⊙O的切线．
一十九．切线的判定与性质（共1小题）
33．（2020•福建）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，E是上不与B，sinA＝．
（1）求∠BED的大小；
（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3
【解答】解：（1）连接OB，如图1，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，
∴∠BED＝∠BOD＝60°；
（2）证明：连接OF，OB，
∵AB是切线，
∴∠OBF＝90°，
∵BF＝7，OB＝3，
∴，
∴∠BOF＝60°，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BOF＝∠DOF＝60°，
在△BOF和△DOF中，
，
∴△BOF≌△DOF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF＝90°，
∴DF与⊙O相切．
二十．圆的综合题（共1小题）
34．（2018•福建）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P；
（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，连接OH，BD，DH＝1，∠OHD＝80°
【解答】解：（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠DEA＝∠ABC，
∴BC∥DF，
∴∠F＝∠PBC，
∵四边形BCDF是圆内接四边形，
∴∠F+∠DCB＝180°，
∵∠PCB+∠DCB＝180°，
∴∠F＝∠PCB，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴PC＝PB；
（2）如图2，连接OD，∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ADC＝∠AGB，
∴BG∥DC，
∵BC∥DE，
∴四边形DHBC是平行四边形，
∴BC＝DH＝7，
在Rt△ABC中，AB＝，
∴∠ACB＝60°，
∴BC＝AC＝OD，
∴DH＝OD，
在等腰三角形DOH中，∠DOH＝∠OHD＝80°，
∴∠ODH＝20°，
设DE交AC于N，
∵BC∥DE，
∴∠ONH＝∠ACB＝60°，
∴∠NOH＝180°﹣（∠ONH+∠OHD）＝40°，
∴∠DOC＝∠DOH﹣∠NOH＝40°，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝，
∴∠CBD＝∠OAD＝20°，
∵BC∥DE，
∴∠BDE＝∠CBD＝20°．
二十一．作图—基本作图（共1小题）
35．（2017•福建）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，Q两点；并证明AP＝AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BPD+∠PBD＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠AQP+∠ABQ＝90°．
∵∠ABQ＝∠PBD，
∴∠BPD＝∠AQP．
∵∠BPD＝∠APQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ．
二十二．作图—复杂作图（共2小题）
36．（2021•福建）如图，已知线段MN＝a，AR⊥AK
（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，求证：直线AD，BC
【解答】（1）解：如图，四边形ABCD为所作；
（2）证明：设PQ交AD于G，BC交AD于G′，
∵DQ∥AP，
∴＝，
∵DC∥AB，
∴＝，
∵P，Q分别为边AB，
∴DC＝2DQ，AB＝2AP，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴点G与点G′重合，
∴直线AD，BC．
37．（2020•福建）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，AB，CD的中点分别为M，N，P，N三点在同一条直线上．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；
（2）证明：如图，
∵CD∥AB，
∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∵AB，CD的中点分别为M，N，
∴AB＝2AM，CD＝2CN，
∴＝，
连接MP，NP，
∵∠BAP＝∠DCP，
∴△APM∽△CPN，
∴∠APM＝∠CPN，
∵点P在AC上，
∴∠APM+∠CPM＝180°，
∴∠CPN+∠CPM＝180°，
∴M，P，N三点在同一条直线上．
二十三．旋转的性质（共1小题）
38．（2019•福建）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2
【解答】（1）解：连接AD，如图1，
∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；
（2）证明：如图2，
∵点F是边AC中点，
∴BF＝AC，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，
∴BF＝AB，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，
∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，
∴BE＝CB，
∵点F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
易证得△CFD≌△ABC，
∴DF＝BC，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
二十四．相似三角形的判定（共1小题）
39．（2019•福建）已知△ABC和点A'，如图．
（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．
【解答】解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB，得△A'B'C'即可所求．
证明：∵A'C'＝8AC、A'B'＝2AB，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴
（2）证明：
∵D、E、F分别是△ABC三边AB、AC的中点，
∴DE＝，，，
∴△DEF∽△ABC
同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，
由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，
∴△DEF∽△D'E'F'．
二十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
40．（2018•福建）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到
（1）求∠BDF的大小；
（2）求CG的长．
【解答】解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10，
∴∠ABD＝45°，
∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠BDF＝∠ABD＝45°；
（2）方法1、由平移的性质得，AB∥EF，
∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE+∠DAB＝180°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AC＝8，AB＝AD＝10，
∴AE＝12.6，
由平移的性质得，CG＝AE＝12.5；
方法2、由平移的性质得，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴S▱ABFE＝AE•AC＝AB•AD，
由旋转知，AD＝AB＝10，
∵AC＝2，
∴AE×8＝10×10，
∴AE＝12.5，
由平移的性质得，CG＝AE＝12.2．
二十六．作图-相似变换（共1小题）
41．（2018•福建）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′，∠A′（∠A′＝∠A），以线段A′B′为一边，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）已知，如图，＝＝＝k，D'是A'B'的中点，
求证：＝k．
证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
∴AD＝ABA'B'，
∴＝＝，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴＝，∠A'＝∠A，
∵＝，∠A'＝∠A，
∴△A'C'D'∽△ACD，
∴＝＝k．
二十七．相似形综合题（共1小题）
42．（2020•福建）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．
①判断DF和PF的数量关系，并证明；
②求证：＝．
【解答】解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．
（2）①DF＝PF．
证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，
即∠FPD＝∠FDP，
∴DF＝PF．
②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，
∴∠HPF＝∠DEP，，
∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，
∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，
∴∠DEP＝∠DAC，
又∵∠CDF＝∠DAC，
∴∠DEP＝∠CDF，
∴∠HPF＝∠CDF，
又∵FD＝FP，∠F＝∠F，
∴△HPF≌△CDF（ASA），
∴HF＝CF，
∴DH＝PC，
又∵，
∴．
二十八．互余两角三角函数的关系（共1小题）
43．（2017•福建）小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立
【解答】解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin430°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝7；
（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
二十九．用样本估计总体（共1小题）
44．（2017•福建）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，当次用车免费．具体收费标准如下：
使用次数
0
1
2
3
4
5（含5次以上）
累计车费
0
0.5
0.9
a
b
1.5
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
5
15
10
30
25
15
（Ⅰ）写出a，b的值；
（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）a＝0.9+2.3＝1.8，b＝1.2+6.2＝1.5；
（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为：
×（0×7+0.5×15+7.9×10+1.5×30+1.4×25+6.5×15）＝1.4（元），
所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为：5000×1.1＝5500（元），
因为5500＜5800，
故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利．
三十．折线统计图（共1小题）
45．（2020•福建）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入
（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．
已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．
【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中
1000×＝120（户）；
（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：
×（3.5×6+4.0×8+6.2×10+2.2×12+3.0×2+3.2×3）
＝2.4（千元）；
（3）根据题意，得，
2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：
由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：
500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＝8170（元），
∵8170＞4000．
所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．
三十一．概率公式（共1小题）
46．（2018•福建）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：
甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；
乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元
40，超过部分每件多提成2元．
如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图：
（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；
（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的
揽件数，解决以下问题：
①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数；
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择
【解答】解：（1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的有4天，
所以甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率为＝；
（2）①甲公司各揽件员的日平均件数为＝39件；
②甲公司揽件员的日平均工资为70+39×2＝148元，
乙公司揽件员的日平均工资为
＝[40+]×7+
＝159.4元，
因为159.3＞148，
所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘．
三十二．列表法与树状图法（共1小题）
47．（2021•福建）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【解答】解：（1）田忌首局应出“下马”才可能获胜，
此时，比赛所有可能的对阵为：（A1C2，B3A2，C1B8），（A1C2，C4B2，B1A2），（A1C2，B7B2，C1A2），（A1C2，C4A2，B1B8），共四种，
故此田忌获胜的概率为P＝．
（2）不是．
当齐王的出马顺序为A2，B1，C1时，田忌获胜的对阵是：（A3C2，B1A8，C1B2），
当齐王的出马顺序为A7，C1，B1时，田忌获胜的对阵是：（A8C2，C1B2，B1A2），
当齐王的出马顺序为B4，A1，C1时，田忌获胜的对阵是：（B7A2，A1C4，C1B2），
当齐王的出马顺序为B8，C1，A1时，田忌获胜的对阵是：（B5A2，C1B6，A1C2），
当齐王的出马顺序为C8，A1，B1时，田忌获胜的对阵是：（C6B2，A1C5，B1A2），
当齐王的出马顺序为C7，B1，A1时，田忌获胜的对阵是：（C5B2，B1A6，A1C2），
综上所述，田忌获胜的对阵有6种，也都有相应的6种可能对阵．
三十三．利用频率估计概率（共1小题）
48．（2019•福建）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；
维修次数
8
9
10
11
12
频数（台数）
10
20
30
30
10
（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；
（2）试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？
【解答】解：（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率＝＝0.5．
（2）购买10次时，
某台机器使用期内维修次数
8
9
10
11
12
该台机器维修费用
24000
24500
25000
30000
35000
此时这100台机器维修费用的平均数
y2＝×（24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10）＝27300
购买11次时，
某台机器使用期内维修次数
8
3
10
11
12
该台机器维修费用
26000
26500
27000
27500
32500
此时这100台机器维修费用的平均数
y2＝×（26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10）＝27500，
∵27300＜27500，
所以，选择购买10次维修服务．
福建省五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•福建）计算：．
二．分式的化简求值（共4小题）
2．（2020•福建）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝
3．（2019•福建）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣），其中x＝
4．（2018•福建）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中m＝
5．（2017•福建）先化简，再求值：（1﹣）•，其中a＝
三．解二元一次方程组（共2小题）
6．（2019•福建）解方程组．
7．（2018•福建）解方程组：．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
8．（2017•福建）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
五．一元一次不等式的应用（共1小题）
9．（2019•福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．
（1）求该车间的日废水处理量m；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
六．解一元一次不等式组（共2小题）
10．（2021•福建）解不等式组：．
11．（2020•福建）解不等式组：．
七．一次函数的应用（共2小题）
12．（2021•福建）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量
13．（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
八．二次函数的应用（共2小题）
14．（2018•福建）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
15．（2018•福建）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）已知a＝20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏
如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜a＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案
形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
九．二次函数综合题（共6小题）
16．（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．
17．（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，交x轴于另一点C，BC＝41（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；
（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．
18．（2019•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．
19．（2018•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线
20．（2018•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧
（1）求抛物线的解析式；
（2）若MN与直线y＝﹣2x平行，且M，y1＞y2，解决以下问题：
①求证：BC平分∠MBN；
②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．
21．（2017•福建）已知直线y＝2x+m与抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；
（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．
（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；
（ⅱ）求△QMN面积的最小值．
一十．全等三角形的判定与性质（共3小题）
22．（2021•福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DF⊥AB，垂足分别为E，F，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
23．（2021•福建）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．
24．（2017•福建）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
一十一．平行四边形的性质（共1小题）
25．（2018•福建）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．
一十二．菱形的性质（共1小题）
26．（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．
一十三．矩形的性质（共1小题）
27．（2019•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．
一十四．正方形的性质（共1小题）
28．（2021•福建）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，AA′的延长线交BC于点G．
（1）求证：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．
一十五．四边形综合题（共1小题）
29．（2017•福建）如图，矩形ABCD中，AB＝6，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）若AP＝，求CF的长．
一十六．圆周角定理（共1小题）
30．（2019•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，连接AF、CF．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．
一十七．三角形的外接圆与外心（共1小题）
31．（2018•福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，DE⊥AB，垂足为E，垂足为G，BG交DE于点H，FB的延长线交于点P，且PC＝PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝DH，求∠BDE的大小．
一十八．切线的判定（共1小题）
32．（2017•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝45°．
（Ⅰ）若AB＝4，求的长；
（Ⅱ）若＝，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．
一十九．切线的判定与性质（共1小题）
33．（2020•福建）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，E是上不与B，sinA＝．
（1）求∠BED的大小；
（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3
二十．圆的综合题（共1小题）
34．（2018•福建）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P；
（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，连接OH，BD，DH＝1，∠OHD＝80°
二十一．作图—基本作图（共1小题）
35．（2017•福建）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，Q两点；并证明AP＝AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
二十二．作图—复杂作图（共2小题）
36．（2021•福建）如图，已知线段MN＝a，AR⊥AK
（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，求证：直线AD，BC
37．（2020•福建）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，AB，CD的中点分别为M，N，P，N三点在同一条直线上．
二十三．旋转的性质（共1小题）
38．（2019•福建）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2
二十四．相似三角形的判定（共1小题）
39．（2019•福建）已知△ABC和点A'，如图．
（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．
二十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
40．（2018•福建）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到
（1）求∠BDF的大小；
（2）求CG的长．
二十六．作图-相似变换（共1小题）
41．（2018•福建）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′，∠A′（∠A′＝∠A），以线段A′B′为一边，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
二十七．相似形综合题（共1小题）
42．（2020•福建）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．
①判断DF和PF的数量关系，并证明；
②求证：＝．
二十八．互余两角三角函数的关系（共1小题）
43．（2017•福建）小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立
二十九．用样本估计总体（共1小题）
44．（2017•福建）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，当次用车免费．具体收费标准如下：
使用次数
0
1
2
3
4
5（含5次以上）
累计车费
0
0.5
0.9
a
b
1.5
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
5
15
10
30
25
15
（Ⅰ）写出a，b的值；
（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．
三十．折线统计图（共1小题）
45．（2020•福建）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入
（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．
已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．
三十一．概率公式（共1小题）
46．（2018•福建）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：
甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；
乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元
40，超过部分每件多提成2元．
如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图：
（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；
（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的
揽件数，解决以下问题：
①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数；
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择
三十二．列表法与树状图法（共1小题）
47．（2021•福建）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
三十三．利用频率估计概率（共1小题）
48．（2019•福建）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；
维修次数
8
9
10
11
12
频数（台数）
10
20
30
30
10
（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；
（2）试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•福建）计算：．
【解答】解：原式＝2+4﹣
＝．
二．分式的化简求值（共4小题）
2．（2020•福建）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝
【解答】解：原式＝•
＝
＝，
当时，原式＝＝．
3．（2019•福建）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣），其中x＝
【解答】解：原式＝（x﹣1）÷
＝（x﹣1）•
＝，
当x＝+1，
原式＝
＝1+．
4．（2018•福建）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中m＝
【解答】解：（﹣6）÷
＝
＝
＝，
当m＝+1时．
5．（2017•福建）先化简，再求值：（1﹣）•，其中a＝
【解答】解：当a＝﹣1时
原式＝•
＝
＝
三．解二元一次方程组（共2小题）
6．（2019•福建）解方程组．
【解答】解：，
①+②得：3x＝9，即x＝4，
把x＝3代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为．
7．（2018•福建）解方程组：．
【解答】解：，
②﹣①得：5x＝9，
解得：x＝3，
把x＝6代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
8．（2017•福建）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，两只脚，四只脚，
结合上有三十五头，下有九十四足可得：，
解得：．
答：鸡有23只，兔有12只．
五．一元一次不等式的应用（共1小题）
9．（2019•福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．
（1）求该车间的日废水处理量m；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜370，
∴m＜35．
依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370，
解得：m＝20．
答：该车间的日废水处理量为20吨．
（2）设一天产生工业废水x吨，
当5＜x≤20时，8x+30≤10x，
解得：15≤x≤20；
当x＞20时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x，
解得：20＜x≤25．
综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤25．
六．解一元一次不等式组（共2小题）
10．（2021•福建）解不等式组：．
【解答】解：解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为4≤x＜3．
11．（2020•福建）解不等式组：．
【解答】解：解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
七．一次函数的应用（共2小题）
12．（2021•福建）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量
【解答】解：（1）设该公司当月零售这种农产品x箱，则批发这种农产品（100﹣x）箱
70x+40（100﹣x）＝4600，
解得：x＝20，
100﹣20＝80（箱），
答：该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱；
（2）设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品（1000﹣m）箱
0＜m≤1000×30%，
解得0＜m≤300，
设该公司获得利润为y元，依题意得
y＝70m+40（1000﹣m），
即y＝30m+40000，
∵30＞5，y随着m的增大而增大，
∴当m＝300时，y取最大值，
∴批发这种农产品的数量为1000﹣m＝700（箱），
答：该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是300箱，获得最大利润为49000元．
13．（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【解答】解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，
10x+（100﹣x）×1＝235，
解得，x＝15，
∴100﹣x＝85，
答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨；
（2）设利润为w万元，销售甲种特产a吨，
w＝（10.5﹣10）a+（7.2﹣1）×（100﹣a）＝2.3a+20，
∵0≤a≤20，
∴当a＝20时，w取得最大值，
答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．
八．二次函数的应用（共2小题）
14．（2018•福建）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【解答】解：（1）设AB＝tm，则BC＝（100﹣2t）m，
根据题意得t（100﹣2t）＝450，解得t8＝5，t2＝45，
当t＝6时，100﹣2t＝90＞20；
当t＝45时，100﹣2t＝10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD＝xm，矩形菜园ABCD面积为S，
S＝x（100﹣x）＝﹣2+1250，
当a≥50时，则x＝50时；
当0＜a＜50时，则当5＜x≤a时，当x＝a时a6，
综上所述，当a≥50时2；当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为（50a﹣a2）m5．
15．（2018•福建）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）已知a＝20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏
如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜a＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案
形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
【解答】解：（1）设AD＝x米，则AB＝
依题意得，
解得x7＝10，x2＝90
∵a＝20，且x≤a
∴x＝90舍去
∴利用旧墙AD的长为10米．
（2）设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意
得：
S＝，7＜x＜a
∵0＜a＜50
∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大
当x＝a时，S最大＝50a﹣
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得
S＝，a≤x＜50+
当a＜25+＜50+时时，
则x＝25+时，S最大＝（25+）6＝
当25+≤a，即时
∴x＝a时，S最大＝
综合①②，当4＜a＜时，
﹣（）＝
＞，此时，最大面积为
当时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴当3＜a＜时，围成长和宽均为（25+，最大面积为；
当时，围成长为a米）米的矩形菜园面积最大）平方米．
九．二次函数综合题（共6小题）
16．（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．
【解答】解：（1）把P（0，1）代入解析式得：c＝3，
∴y＝ax2+bx+1，
又∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△＝b6﹣4a＝0，即，
∴，
当b＝﹣2时，a+b有最小值为﹣1；
（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴抛物线上的顶点在x轴上，
∴抛物线上的点为P3，P3，
又∵P1，P5关于y轴对称，
∴顶点为原点（0，0），
设解析式为y＝ax3，
代入点P1得：，
②证明：
联立直线l和抛物线得：
，
即：x2﹣4kx﹣4＝8，
设M（x1，kx1+4），N（x2，kx2+3），
由韦达定理得：x1+x2＝2k，x1x2＝﹣3，
设线段MN的中点为T，设A的坐标为（m，
则T的坐标为（2k，2k6+1），
∴AT2＝（4k﹣m）2+（2k8+2）2，
由题意得：，
∵△MAN是直角三角形，且MN是斜边，
∴，即：，
∴×16（k4+2k2+1）＝（2k﹣m）6+（2k2+3）2，
解得m＝2k，
∴A（3k，﹣1），
∴B（2k，k6），
∴C（2k，2k4+1），
∵，
∴B是AC的中点，
∴AB＝BC，
又∵△MAB与△MBC的高都是点M到直线AC的距离，
∴△MAB与△MBC的高相等，
∴△MAB与△MBC的面积相等．
17．（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，交x轴于另一点C，BC＝41（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；
（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，
∴点A（2，10），0），
∵BC＝4，
∴点C（7，0）或点C（1，
∵点P3（x1，y1），P8（x2，y2），当x7＞x2≥5时，总有y5＞y2．
∴当x≥5时，y随x的增大而增大，
当抛物线过点C（2，0）时，y随x的增大而减少，
当抛物线过点C（1，4）时，y随x的增大而增大，
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（7，
∴10＝5a，
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝4（x﹣1）（x﹣5）＝4x2﹣12x+10；
方法二：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
由题意可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝2x2﹣12x+10；
（2）当m＝﹣4时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），
∴直线l7：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣5x+10不重合，
假设l1与l2不平行，则l3与l2必相交，设交点为P（xP，yP），
∴
解得：n＝10，
∵n＝10与已知n≠10矛盾，
∴l1与l2不相交，
∴l7∥l1；
（3）如图，
、
∵直线l3：y＝﹣6x+q过点C，
∴0＝﹣2×8+q，
∴q＝2，
∴直线l3解析式为：y＝﹣2x+2，
∴l3∥l6，
∴CF∥AB，
∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，
∴△CEF∽△BEA，
∴＝（）2，
设BE＝t（0＜t＜7），则CE＝4﹣t，
∴S△ABE＝×t×10＝5t，
∴S△CEF＝（）2×S△ABE＝（）2×5t＝，
∴S△ABE+S△CEF＝3t+＝10t+﹣）7+40﹣40，
∴当t＝2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40﹣40．
18．（2019•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．
【解答】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax3﹣4ax+4a，
则c＝7a；
（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+8过定点（1，1），
且当k＝7时，直线l变为y＝1平行x轴，1），
又△ABC为等腰直角三角形，
∴点A为抛物线的顶点；
①c＝3，顶点A（1，
抛物线的解析式：y＝x2﹣5x+1，
②，
x6﹣（2+k）x+k＝0，
x＝（2+k±），
xD＝xB＝（2+k﹣），yD＝﹣1；
则D，
yC＝（7+k2+k），
C，A（6，
∴直线AD表达式中的k值为：kAD＝＝，直线AC表达式中的k值为：kAC＝，
∴kAD＝kAC，点A、C、D三点共线．
19．（2018•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，8），
∴c＝2．
又∵点（﹣，7）也在该抛物线上，
∴a（﹣）2+b（﹣）+c＝0，
∴2a﹣b+2＝0（a≠8）．
（2）①∵当x1＜x2＜5时，（x1﹣x2）（y8﹣y2）＞0，
∴x6﹣x2＜0，y2﹣y2＜0，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大；
同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，
∴b＝0．
∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵△ABC有一个内角为60°，
∴△ABC为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，则BD＝CD，
又∵OB＝OC＝OA＝8，
∴CD＝OC•cos30°＝，OD＝OC•sin30°＝1．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（．
∵点C在抛物线上，且c＝2，
∴3a+4＝﹣1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x3+2．
②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2）4，﹣+4）．
直线OM的解析式为y＝k1x（k1≠5）．
∵O、M、N三点共线，
∴x1≠0，x4≠0，且＝，
∴﹣x1+＝﹣x2+，
∴x1﹣x2＝﹣，
∴x1x6＝﹣2，即x2＝﹣，
∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．
设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣．
∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP＝2OA＝4，
∴点P的坐标为（8，4）．
设直线PM的解析式为y＝k2x+3，
∵点M的坐标为（x1，﹣+2），
∴﹣+2＝k2x5+4，
∴k2＝﹣，
∴直线PM的解析式为y＝﹣x+4．
∵﹣•+7＝+2，
∴点N′在直线PM上，
∴PA平分∠MPN．
20．（2018•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧
（1）求抛物线的解析式；
（2）若MN与直线y＝﹣2x平行，且M，y1＞y2，解决以下问题：
①求证：BC平分∠MBN；
②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线过点A（0，2），
∴c＝8，
当x1＜x2＜3时，x1﹣x2＜3，由（x1﹣x2）（y8﹣y2）＞0，得到y5﹣y2＜0，
∴当x＜8时，y随x的增大而增大，
同理当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，
∵以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，
∴△ABC为等腰三角形，
∵△ABC中有一个角为60°，
∴△ABC为等边三角形，且OC＝OA＝2，
设线段BC与y轴的交点为点D，则有BD＝CD，
∴BD＝OB•cos30°＝，OD＝OB•sin30°＝1，
∵B在C的左侧，
∴B的坐标为（﹣，﹣3），
∵B点在抛物线上，且c＝2，
∴3a+5＝﹣1，
解得：a＝﹣1，
则抛物线解析式为y＝﹣x3+2；
（2）①由（1）知，点M（x1，﹣x22+2），N（x6，﹣x22+7），
∵MN与直线y＝﹣2x平行，
∴设直线MN的解析式为y＝﹣3x+m14+2＝﹣2x1+m，即m＝﹣x18+2x2+2，
∴直线MN解析式为y＝﹣2x﹣x12+4x1+6，
把y＝﹣2x﹣x62+2x1+2代入y＝﹣x3+2，解得：x＝x1或x＝6﹣x1，
∴x4＝2﹣x3，即y2＝﹣（2﹣x1）2+2＝﹣x12+6x1﹣10，
作ME⊥BC，NF⊥BC，F，如图7所示，
∵M，N位于直线BC的两侧1＞y2，则y2＜﹣1＜y1≤8，且﹣1＜x7，
∴ME＝y1﹣（﹣1）＝﹣x22+3，BE＝x2﹣（﹣）＝x1+，NF＝﹣1﹣y2＝x72﹣4x1+9，BF＝x5﹣（﹣）＝31，
在Rt△BEM中，tan∠MBE＝＝＝1，
在Rt△BFN中，tan∠NBF＝＝＝＝＝1，
∵tan∠MBE＝tan∠NBF，
∴∠MBE＝∠NBF，
则BC平分∠MBN；
②∵y轴为BC的垂直平分线，
∴设△MBC的外心为P（5，y0），则PB＝PM2＝PM4，
根据勾股定理得：3+（y0+4）2＝x14+（y0﹣y1）2，
∵x12＝8﹣y1，
∴y03+2y0+3＝（2﹣y1）+（y6﹣y1）2，即y2＝y3﹣1，
由①得：﹣1＜y8≤2，
∴﹣＜y0≤0，
则△MBC的外心的纵坐标的取值范围是﹣＜y0≤7．
21．（2017•福建）已知直线y＝2x+m与抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；
（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．
（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；
（ⅱ）求△QMN面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝ax2+ax+b过点M（1，2），
∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，
∴y＝ax5+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣，
∴抛物线顶点Q的坐标为（﹣，﹣）；
（Ⅱ）∵直线y＝6x+m经过点M（1，0），
∴8＝2×1+m，解得m＝﹣5，
联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣7a+2＝0（*），
∴△＝（a﹣8）2﹣4a（﹣7a+2）＝9a2﹣12a+4，
由（Ⅰ）知b＝﹣2a，且a＜b，
∴a＜2，b＞0，
∴Δ＞0，
∴方程（*）有两个不相等的实数根，
∴直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax5+（a﹣2）x﹣2a+7＝0，即x2+（3﹣）x﹣2+，
∴（x﹣1）[x﹣（﹣3）]＝0﹣2，
∴N点坐标为（﹣2，；
（i）由勾股定理可得MN2＝[（﹣3）﹣1]2+（﹣6）2＝﹣+45＝20（﹣）2，
∵﹣1≤a≤﹣，
∴﹣2≤≤﹣1，
∴MN2随的增大而减小，
∴当＝﹣2时2有最大值245，则MN有最大值7，
当＝﹣1时2有最小值125，则MN有最小值7，
∴线段MN长度的取值范围为5≤MN≤7；
（ii）如图，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为x＝﹣，点E在直线MN：y＝2x﹣5上，
∴E（﹣，﹣7），
∵M（1，0）﹣2，，且a＜4，
∴S＝S△QEN+S△QEM＝|（﹣（﹣7）|＝﹣﹣，
∴27a2+（8S﹣54）a+24＝8（*），
∵关于a的方程（*）有实数根，
∴△＝（8S﹣54）2﹣3×27×24≥0，即（8S﹣54）5≥（36）2，
∵a＜4，
∴S＝﹣﹣＞，
∴8S﹣54＞4，
∴8S﹣54≥36，即S≥+，
当S＝+时，由方程（*）可得a＝﹣，
∴当a＝﹣，b＝时+．
一十．全等三角形的判定与性质（共3小题）
22．（2021•福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DF⊥AB，垂足分别为E，F，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
【解答】证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠B＝∠C．
23．（2021•福建）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°，
∵△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，
∴∠EDF＝90°，DE＝FD，
∵∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DFC；
（2）
连接AE，
∵线段EF是由线段AB平移得到的，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BC，AE＝BF，
∴∠DAE＝∠BCA＝90°，
∴∠DAE＝∠FCD，
在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（AAS），
∴AE＝CD，
∵AE＝BF，
∴CD＝BF．
24．（2017•福建）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【解答】证明：如图，∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴∠A＝∠D．
一十一．平行四边形的性质（共1小题）
25．（2018•福建）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
一十二．菱形的性质（共1小题）
26．（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF．
一十三．矩形的性质（共1小题）
27．（2019•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE．
一十四．正方形的性质（共1小题）
28．（2021•福建）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，AA′的延长线交BC于点G．
（1）求证：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．
【解答】证明：（1）如图，设AG与DE的交点为O，
∵点A关于DE的对称点为A′，
∴AO＝A'O，AA'⊥DE，
∵E，F为边AB上的两个三等分点，
∴AE＝EF＝BF，
∴OE是△AA'F的中位线，
∴DE∥A'F；
（2）∵AA'⊥DE，
∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，
∴∠ADE+∠DEA＝90°＝∠DEA+∠EAO，
∴∠ADE＝∠EAO，
在△ADE和△BAG中，
，
∴△ADE≌△BAG（ASA），
∴AE＝BG，
∴BF＝BG，
∴∠GFB＝∠FGB＝45°，
∵∠FA'G＝∠FBG＝90°，
∴点F，点B，点A'四点共圆，
∴∠GA'B＝∠GFB＝45°；
（3）设AE＝EF＝BF＝BG＝a，
∴AD＝BC＝3a，FG＝a，
∴CG＝7a，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝，
∵sin∠EAO＝sin∠ADE，
∴，
∴，
∴OE＝a，
∴AO＝＝＝a＝A'O，
∴A'G＝a，
∵AO＝A'O，AE＝EF，
∴A'F＝a＝a，
∵∠FA'G＝∠FBG＝90°，
∴∠A'FB+∠A'GB＝180°，
∵∠A'GC+∠A'GB＝180°，
∴∠A'FB＝∠A'GC，
又∵＝＝，
∴△A'FB∽△A'GC，
∴，
∴A′C＝2A′B．
一十五．四边形综合题（共1小题）
29．（2017•福建）如图，矩形ABCD中，AB＝6，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）若AP＝，求CF的长．
【解答】解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB＝6，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，
∴AC＝＝10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CP＝CD时，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝7，
②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD＝∠PDC+∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，
∴PA＝PC，
∴AP＝AC＝5，
③当DP＝DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ，
∵S△ADC＝AD•DC＝，
∴DQ＝＝，
∴CQ＝＝，
∴PC＝2CQ＝，
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝；
所以，若△PCD是等腰三角形时；
（Ⅱ）方法3、如图2，连接PF，DE，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC＝∠PDF＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP＝∠CDF，
∵∠BCD＝90°，OE＝OD，
∴OC＝ED，
在矩形PEFD中，PF＝DE，
∴OC＝PF，
∵OP＝OF＝PF，
∴OC＝OP＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF＝180°，
∴2∠OCP+6∠OCF＝180°，
∴∠PCF＝90°，
∴∠PCD+∠FCD＝90°，
在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD＝90°，
∴∠PAD＝∠FCD，
∴△ADP∽△CDF，
∴，
∵AP＝，
∴CF＝．
方法2、如图，
∵四边形ABCD和DPEF是矩形，
∴∠ADC＝∠PDF＝90°，
∴∠ADP＝∠CDF，
∵∠DGF+∠CDF＝90°，
∴∠EGC+∠CDF＝90°，
∵∠CEF+∠CGE＝90°，
∴∠CDF＝∠FEC，
∴点E，C，F，D四点共圆，
∵四边形DPEF是矩形，
∴点P也在此圆上，
∵PE＝DF，∴，
∴∠ACB＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠DCF，
∵∠ADP＝∠CDF，
∴△ADP∽△CDF，
∴，
∵AP＝，
∴CF＝．
方法3、如图7，
过点P作PM⊥BC于M交AD于N，
∴∠PND＝90°，
∵PN∥CD，
∴，
∴，
∴AN＝，
∴ND＝7﹣＝（10﹣）
同理：PM＝（10﹣）
∵∠PND＝90°，
∴∠DPN+∠PDN＝90°，
∵四边形PEFD是矩形，
∴∠DPE＝90°，
∴∠DPN+∠EPM＝90°，
∴∠PDN＝∠EPM，
∵∠PND＝∠EMP＝90°，
∴△PND∽△EMP，
∴＝，
∵PD＝EF，DF＝PE．
∴，
∵，
∴，∵∠ADP＝∠CDF，
∴△ADP∽△CDF，
∴＝，
∵AP＝，
∴CF＝．
一十六．圆周角定理（共1小题）
30．（2019•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，连接AF、CF．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴＝，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝∠BAC，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD；
（2）解：∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠BDC＝2∠DFC，
∴∠BFC＝∠BDC＝，
∴CB＝CF，
又BD⊥AC，
∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10．
又BC＝4，
设AE＝x，CE＝10﹣x，
由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，
解得x＝2，
∴AE＝6，BE＝8，
∵∠ACD＝∠ABD，∠CED＝∠BEA，
∴△CED∽△BEA，
∴＝，
∴DE＝＝＝7，
∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，
作DH⊥AB，垂足为H，
∵AB•DH＝，
∴DH＝＝＝，
∴BH＝＝，
∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，
∴tan∠BAD＝＝＝．
一十七．三角形的外接圆与外心（共1小题）
31．（2018•福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，DE⊥AB，垂足为E，垂足为G，BG交DE于点H，FB的延长线交于点P，且PC＝PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝DH，求∠BDE的大小．
【解答】（1）证明：如图1，∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠PCB＝180°，
∴∠BAD＝∠PCB，
∵∠BAD＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ADC＝∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC＝DH，
在Rt△ABC中，∵AB＝，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝60°，BC＝，
∴DH＝AC，
①当点O在DE的左侧时，如图8，连接AM，则∠DAM＝90°，
∴∠AMD+∠ADM＝90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴∠BDE+∠ABD＝90°，
∵∠AMD＝∠ABD，
∴∠ADM＝∠BDE，
∵DH＝AC，
∴DH＝OD，
∴∠DOH＝∠OHD＝80°，
∴∠ODH＝20°
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADM+∠BDE＝40°，
∴∠BDE＝∠ADM＝20°，
②当点O在DE的右侧时，如图2，连接BN，
由①得：∠ADE＝∠BDN＝20°，∠ODH＝20°，
∴∠BDE＝∠BDN+∠ODH＝40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
一十八．切线的判定（共1小题）
32．（2017•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝45°．
（Ⅰ）若AB＝4，求的长；
（Ⅱ）若＝，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．
【解答】解：（Ⅰ）连接OC，OD，
∵∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，
∴∠COD＝90°，
∵AB＝4，
∴OC＝AB＝2，
∴的长＝；
（Ⅱ）∵＝，
∴∠BOC＝∠AOD，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，
∴∠ODA＝67.2°，
∵AD＝AP，
∴∠ADP＝∠APD，
∵∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，
∴∠ADP＝CAD＝22.3°，
∴∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，
∴PD是⊙O的切线．
一十九．切线的判定与性质（共1小题）
33．（2020•福建）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，E是上不与B，sinA＝．
（1）求∠BED的大小；
（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3
【解答】解：（1）连接OB，如图1，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，
∴∠BED＝∠BOD＝60°；
（2）证明：连接OF，OB，
∵AB是切线，
∴∠OBF＝90°，
∵BF＝7，OB＝3，
∴，
∴∠BOF＝60°，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BOF＝∠DOF＝60°，
在△BOF和△DOF中，
，
∴△BOF≌△DOF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF＝90°，
∴DF与⊙O相切．
二十．圆的综合题（共1小题）
34．（2018•福建）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P；
（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，连接OH，BD，DH＝1，∠OHD＝80°
【解答】解：（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠DEA＝∠ABC，
∴BC∥DF，
∴∠F＝∠PBC，
∵四边形BCDF是圆内接四边形，
∴∠F+∠DCB＝180°，
∵∠PCB+∠DCB＝180°，
∴∠F＝∠PCB，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴PC＝PB；
（2）如图2，连接OD，∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ADC＝∠AGB，
∴BG∥DC，
∵BC∥DE，
∴四边形DHBC是平行四边形，
∴BC＝DH＝7，
在Rt△ABC中，AB＝，
∴∠ACB＝60°，
∴BC＝AC＝OD，
∴DH＝OD，
在等腰三角形DOH中，∠DOH＝∠OHD＝80°，
∴∠ODH＝20°，
设DE交AC于N，
∵BC∥DE，
∴∠ONH＝∠ACB＝60°，
∴∠NOH＝180°﹣（∠ONH+∠OHD）＝40°，
∴∠DOC＝∠DOH﹣∠NOH＝40°，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝，
∴∠CBD＝∠OAD＝20°，
∵BC∥DE，
∴∠BDE＝∠CBD＝20°．
二十一．作图—基本作图（共1小题）
35．（2017•福建）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，Q两点；并证明AP＝AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BPD+∠PBD＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠AQP+∠ABQ＝90°．
∵∠ABQ＝∠PBD，
∴∠BPD＝∠AQP．
∵∠BPD＝∠APQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ．
二十二．作图—复杂作图（共2小题）
36．（2021•福建）如图，已知线段MN＝a，AR⊥AK
（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，求证：直线AD，BC
【解答】（1）解：如图，四边形ABCD为所作；
（2）证明：设PQ交AD于G，BC交AD于G′，
∵DQ∥AP，
∴＝，
∵DC∥AB，
∴＝，
∵P，Q分别为边AB，
∴DC＝2DQ，AB＝2AP，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴点G与点G′重合，
∴直线AD，BC．
37．（2020•福建）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，AB，CD的中点分别为M，N，P，N三点在同一条直线上．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；
（2）证明：如图，
∵CD∥AB，
∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∵AB，CD的中点分别为M，N，
∴AB＝2AM，CD＝2CN，
∴＝，
连接MP，NP，
∵∠BAP＝∠DCP，
∴△APM∽△CPN，
∴∠APM＝∠CPN，
∵点P在AC上，
∴∠APM+∠CPM＝180°，
∴∠CPN+∠CPM＝180°，
∴M，P，N三点在同一条直线上．
二十三．旋转的性质（共1小题）
38．（2019•福建）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2
【解答】（1）解：连接AD，如图1，
∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；
（2）证明：如图2，
∵点F是边AC中点，
∴BF＝AC，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，
∴BF＝AB，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，
∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，
∴BE＝CB，
∵点F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
易证得△CFD≌△ABC，
∴DF＝BC，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
二十四．相似三角形的判定（共1小题）
39．（2019•福建）已知△ABC和点A'，如图．
（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．
【解答】解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB，得△A'B'C'即可所求．
证明：∵A'C'＝8AC、A'B'＝2AB，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴
（2）证明：
∵D、E、F分别是△ABC三边AB、AC的中点，
∴DE＝，，，
∴△DEF∽△ABC
同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，
由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，
∴△DEF∽△D'E'F'．
二十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
40．（2018•福建）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到
（1）求∠BDF的大小；
（2）求CG的长．
【解答】解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10，
∴∠ABD＝45°，
∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠BDF＝∠ABD＝45°；
（2）方法1、由平移的性质得，AB∥EF，
∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE+∠DAB＝180°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AC＝8，AB＝AD＝10，
∴AE＝12.6，
由平移的性质得，CG＝AE＝12.5；
方法2、由平移的性质得，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴S▱ABFE＝AE•AC＝AB•AD，
由旋转知，AD＝AB＝10，
∵AC＝2，
∴AE×8＝10×10，
∴AE＝12.5，
由平移的性质得，CG＝AE＝12.2．
二十六．作图-相似变换（共1小题）
41．（2018•福建）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′，∠A′（∠A′＝∠A），以线段A′B′为一边，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）已知，如图，＝＝＝k，D'是A'B'的中点，
求证：＝k．
证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
∴AD＝ABA'B'，
∴＝＝，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴＝，∠A'＝∠A，
∵＝，∠A'＝∠A，
∴△A'C'D'∽△ACD，
∴＝＝k．
二十七．相似形综合题（共1小题）
42．（2020•福建）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．
①判断DF和PF的数量关系，并证明；
②求证：＝．
【解答】解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．
（2）①DF＝PF．
证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，
即∠FPD＝∠FDP，
∴DF＝PF．
②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，
∴∠HPF＝∠DEP，，
∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，
∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，
∴∠DEP＝∠DAC，
又∵∠CDF＝∠DAC，
∴∠DEP＝∠CDF，
∴∠HPF＝∠CDF，
又∵FD＝FP，∠F＝∠F，
∴△HPF≌△CDF（ASA），
∴HF＝CF，
∴DH＝PC，
又∵，
∴．
二十八．互余两角三角函数的关系（共1小题）
43．（2017•福建）小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立
【解答】解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin430°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝7；
（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
二十九．用样本估计总体（共1小题）
44．（2017•福建）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，当次用车免费．具体收费标准如下：
使用次数
0
1
2
3
4
5（含5次以上）
累计车费
0
0.5
0.9
a
b
1.5
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
5
15
10
30
25
15
（Ⅰ）写出a，b的值；
（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）a＝0.9+2.3＝1.8，b＝1.2+6.2＝1.5；
（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为：
×（0×7+0.5×15+7.9×10+1.5×30+1.4×25+6.5×15）＝1.4（元），
所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为：5000×1.1＝5500（元），
因为5500＜5800，
故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利．
三十．折线统计图（共1小题）
45．（2020•福建）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入
（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．
已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．
【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中
1000×＝120（户）；
（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：
×（3.5×6+4.0×8+6.2×10+2.2×12+3.0×2+3.2×3）
＝2.4（千元）；
（3）根据题意，得，
2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：
由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：
500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＝8170（元），
∵8170＞4000．
所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．
三十一．概率公式（共1小题）
46．（2018•福建）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：
甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；
乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元
40，超过部分每件多提成2元．
如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图：
（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；
（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的
揽件数，解决以下问题：
①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数；
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择
【解答】解：（1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的有4天，
所以甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率为＝；
（2）①甲公司各揽件员的日平均件数为＝39件；
②甲公司揽件员的日平均工资为70+39×2＝148元，
乙公司揽件员的日平均工资为
＝[40+]×7+
＝159.4元，
因为159.3＞148，
所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘．
三十二．列表法与树状图法（共1小题）
47．（2021•福建）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【解答】解：（1）田忌首局应出“下马”才可能获胜，
此时，比赛所有可能的对阵为：（A1C2，B3A2，C1B8），（A1C2，C4B2，B1A2），（A1C2，B7B2，C1A2），（A1C2，C4A2，B1B8），共四种，
故此田忌获胜的概率为P＝．
（2）不是．
当齐王的出马顺序为A2，B1，C1时，田忌获胜的对阵是：（A3C2，B1A8，C1B2），
当齐王的出马顺序为A7，C1，B1时，田忌获胜的对阵是：（A8C2，C1B2，B1A2），
当齐王的出马顺序为B4，A1，C1时，田忌获胜的对阵是：（B7A2，A1C4，C1B2），
当齐王的出马顺序为B8，C1，A1时，田忌获胜的对阵是：（B5A2，C1B6，A1C2），
当齐王的出马顺序为C8，A1，B1时，田忌获胜的对阵是：（C6B2，A1C5，B1A2），
当齐王的出马顺序为C7，B1，A1时，田忌获胜的对阵是：（C5B2，B1A6，A1C2），
综上所述，田忌获胜的对阵有6种，也都有相应的6种可能对阵．
三十三．利用频率估计概率（共1小题）
48．（2019•福建）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；
维修次数
8
9
10
11
12
频数（台数）
10
20
30
30
10
（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；
（2）试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？
【解答】解：（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率＝＝0.5．
（2）购买10次时，
某台机器使用期内维修次数
8
9
10
11
12
该台机器维修费用
24000
24500
25000
30000
35000
此时这100台机器维修费用的平均数
y2＝×（24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10）＝27300
购买11次时，
某台机器使用期内维修次数
8
3
10
11
12
该台机器维修费用
26000
26500
27000
27500
32500
此时这100台机器维修费用的平均数
y2＝×（26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10）＝27500，
∵27300＜27500，
所以，选择购买10次维修服务．
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