安徽省五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案）

这是一份安徽省五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案），共59页。试卷主要包含了+×，﹣1，观察以下等式，【阅读理解】，某超市有线上和线下两种销售方式等内容，欢迎下载使用。
安徽省五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编

一．实数的运算（共2小题）
1．（2018•安徽）计算：50﹣（﹣2）+×．
2．（2017•安徽）计算：|﹣2|×cos60°﹣（）﹣1．
二．规律型：数字的变化类（共4小题）
3．（2020•安徽）观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝2﹣，
第2个等式：×（1+）＝2﹣，
第3个等式：×（1+）＝2﹣，
第4个等式：×（1+）＝2﹣．
第5个等式：×（1+）＝2﹣．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明．
4．（2019•安徽）观察以下等式：
第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明．
5．（2018•安徽）观察以下等式：
第1个等式：++×＝1，
第2个等式：++×＝1，
第3个等式：++×＝1，
第4个等式：++×＝1，
第5个等式：++×＝1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明．
6．（2017•安徽）【阅读理解】
我们知道，1+2+3+…+n＝，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中共有个圆圈2+22+32+…+n2．

【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为　 　，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+…+n2）＝　 　，因此，12+22+32+…+n2＝　 　．
【解决问题】
根据以上发现，计算：的结果为　 　．
三．一元一次方程的应用（共4小题）
7．（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%
（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a（直接在表格中填写结果）；
时间
销售总额（元）
线上销售额（元）
线下销售额（元）
2019年4月份
a
x
a﹣x
2020年4月份
1.1a
1.43x
　 　
（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
8．（2019•安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
9．（2018•安徽）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，又三家共一鹿，适尽，每家取一头鹿，没有取完，恰好取完，问：城中有多少户人家？
10．（2017•安徽）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三，不足四．问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
11．（2019•安徽）解方程：（x﹣1）2＝4．
五．解一元一次不等式（共2小题）
12．（2021•安徽）解不等式：﹣1＞0．
13．（2020•安徽）解不等式：＞1．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
14．（2021•安徽）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝的图象都经过点A（m，2）．

（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
七．二次函数的性质（共2小题）
15．（2021•安徽）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
16．（2019•安徽）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
八．二次函数图象与几何变换（共1小题）
17．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
九．二次函数的应用（共2小题）
18．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示w1，w2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？
19．（2017•安徽）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，经市场调查，每天的销售量y（千克）（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润
一十．三角形综合题（共1小题）
20．（2018•安徽）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．
（1）求证：CM＝EM；
（2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点

一十一．平行四边形的性质（共1小题）
21．（2019•安徽）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．

一十二．四边形综合题（共3小题）
22．（2021•安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时（如图3）；以此类推．

[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加　 　块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为　 　（用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少
23．（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，且AE∥CD，DE∥AB，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．

24．（2020•安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝

一十三．圆周角定理（共1小题）
25．（2021•安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．

一十四．三角形的外接圆与外心（共1小题）
26．（2017•安徽）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）连接CO，求证：CO平分∠BCE．

一十五．切线的性质（共1小题）
27．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．

一十六．作图—复杂作图（共1小题）
28．（2018•安徽）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．

一十七．作图-轴对称变换（共1小题）
29．（2017•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点）
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E＝　 　．

一十八．作图-平移变换（共1小题）
30．（2019•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）
（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD．
（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E（作出一个菱形即可）

一十九．作图-旋转变换（共2小题）
31．（2021•安徽）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）
（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．

32．（2020•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点），线段MN在网格线上．
（1）画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；
（2）将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．

二十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
33．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．

二十一．作图-位似变换（共1小题）
34．（2018•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；
（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是　 　个平方单位．

二十二．相似形综合题（共1小题）
35．（2017•安徽）已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°
①求证：BE＝CF；
②求证：BE2＝BC•CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F

二十三．解直角三角形的应用（共3小题）
36．（2021•安徽）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．

37．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB）
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）

38．（2017•安徽）如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处，且AB＝BD＝600m，α＝75°，求DE的长．
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41）

二十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
39．（2020•安徽）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．
（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）

40．（2018•安徽）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）

二十五．频数（率）分布直方图（共1小题）
41．（2021•安徽）为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取100户进行月用电量（单位：kW•h）调查，100～150，150～200，250～300，300～350进行分组

（1）求频数分布直方图中x的值；
（2）判断这100户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）；
（3）设各组居民用户月平均用电量如表：
组别
50～100
100～150
150～200
200～250
250～300
300～350
月平均用电量（单位：kW•h）
75
125
175
225
275
325
根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数．
二十六．列表法与树状图法（共4小题）
42．（2020•安徽）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为　 　，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为　 　°；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
43．（2019•安徽）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格：
编号
 ①
 ②
  ③
 ④
⑤
 ⑥
 ⑦
 ⑧
 ⑨
⑩
⑪
⑫
⑬
⑭
⑮
尺寸（cm）
8.72
8.88
8.92
8.93
8.94
8.96
8.97
8.98
a
9.03
9.04
9.06
9.07
9.08
b
按照生产标准，产品等次规定如下：
尺寸（单位：cm）
产品等次
8.97≤x≤9.03
特等品
8.95≤x≤9.05
优等品
8.90≤x≤9.10
合格品
x＜8.90或x＞9.10
非合格品
注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时（含特等品）计算在内．
（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．
（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm．
（i）求a的值；
（ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，求抽到的2件产品都是特等品的概率．
44．（2018•安徽）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理

（1）本次比赛参赛选手共有　 　人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为　 　；
（2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖；
（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．
45．（2017•安徽）甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如下：
甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7
乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10
丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5
（1）根据以上数据完成下表：

平均数
中位数
方差
甲
8
8
　 　
乙
8
8
2.2
丙
6
　 　
3
（2）根据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由；
（3）比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定，求甲、乙相邻出场的概率．

参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2018•安徽）计算：50﹣（﹣2）+×．
【解答】解：原式＝1+2+3＝7．
2．（2017•安徽）计算：|﹣2|×cos60°﹣（）﹣1．
【解答】解：原式＝2×﹣3
＝﹣2．
二．规律型：数字的变化类（共4小题）
3．（2020•安徽）观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝2﹣，
第2个等式：×（1+）＝2﹣，
第3个等式：×（1+）＝2﹣，
第4个等式：×（1+）＝2﹣．
第5个等式：×（1+）＝2﹣．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　×（1+）＝2﹣　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　×（1+）＝2﹣　（用含n的等式表示），并证明．
【解答】解：（1）第6个等式：×（3+；
（2）猜想的第n个等式：×（1+．
证明：∵左边＝×＝＝2﹣，
∴等式成立．
故答案为：×（1+；×（1+．
4．（2019•安徽）观察以下等式：
第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　　（用含n的等式表示），并证明．
【解答】解：（1）第6个等式为：，
故答案为：；

（2）
证明：∵右边＝＝左边．
∴等式成立，
故答案为：．
5．（2018•安徽）观察以下等式：
第1个等式：++×＝1，
第2个等式：++×＝1，
第3个等式：++×＝1，
第4个等式：++×＝1，
第5个等式：++×＝1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　　（用含n的等式表示），并证明．
【解答】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和5
故应填：
（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1
故应填：
证明：＝
∴等式成立
6．（2017•安徽）【阅读理解】
我们知道，1+2+3+…+n＝，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中共有个圆圈2+22+32+…+n2．

【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为　2n+1　，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+…+n2）＝　　，因此，12+22+32+…+n2＝　　．
【解决问题】
根据以上发现，计算：的结果为　1345　．
【解答】解：【规律探究】
由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n＝4n+1，
由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：
3（22+24+32+…+n8）＝（2n+1）×（4+2+3+…+n）＝（2n+1）×，
因此，12+62+35+…+n2＝；
故答案为：4n+1，，；

【解决问题】
原式＝＝×（2017×2+2）＝1345，
故答案为：1345．
三．一元一次方程的应用（共4小题）
7．（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%
（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a（直接在表格中填写结果）；
时间
销售总额（元）
线上销售额（元）
线下销售额（元）
2019年4月份
a
x
a﹣x
2020年4月份
1.1a
1.43x
　1.04（a﹣x）　
（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【解答】解：（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，
∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a﹣x）元．
故答案为：2.04（a﹣x）．
（2）依题意，得：1.1a＝4.43x+1.04（a﹣x），
解得：x＝a，
∴＝＝＝0.2．
答：2020年3月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．
8．（2019•安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，
由题意，得2x+（x+x﹣4）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天）
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
9．（2018•安徽）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，又三家共一鹿，适尽，每家取一头鹿，没有取完，恰好取完，问：城中有多少户人家？
【解答】解：设城中有x户人家，
依题意得：x+＝100
解得x＝75．
答：城中有75户人家．
10．（2017•安徽）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三，不足四．问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
【解答】解：设共有x人，可列方程为：8x﹣3＝2x+4．
解得x＝7，
∴2x﹣3＝53（元），
答：共有7人，这个物品的价格是53元．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
11．（2019•安徽）解方程：（x﹣1）2＝4．
【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，
∴x﹣7＝2或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝3，x6＝﹣1．
五．解一元一次不等式（共2小题）
12．（2021•安徽）解不等式：﹣1＞0．
【解答】解：﹣3＞0，
去分母，得
x﹣1﹣3＞0，
移项及合并同类项，得
x＞4．
13．（2020•安徽）解不等式：＞1．
【解答】解：去分母，得：2x﹣1＞3，
移项，得：2x＞2+3，
合并，得：2x＞3，
系数化为4，得：x＞．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
14．（2021•安徽）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝的图象都经过点A（m，2）．

（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数得：2m＝6．
∴m＝7．
∴A（3，2）
将点A坐标代入正比例函数得：8＝3k．
∴k＝．
（2）如图：

∴正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围：x＞3或﹣3＜x＜8．
七．二次函数的性质（共2小题）
15．（2021•安徽）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
【解答】解：（1）根据题意可知，抛物线y＝ax2﹣2x+2（a≠0）的对称轴为直线：x＝﹣＝＝1，
∴a＝1．
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为：y＝x3﹣2x+1＝（x﹣5）2，
∵a＝1＞8，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜x6＜0，1＜x8＜2，
∴1＜3﹣x1＜2，4＜x2﹣1＜6，
结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，值越大，
∴y1＞y2．
（3）联立y＝m（m＞2）与y＝x2﹣2x+7＝（x﹣1）2，可得A（3+，m），m），
∴AB＝2，
联立y＝m（m＞0）与y＝3（x﹣1）2，可得C（8+，m），m），
∴CD＝7×＝，
∴＝．
16．（2019•安徽）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
【解答】解：（1）由题意得，k+4＝2，
∴一次函数为y＝﹣3x+4，
又∵二次函数图象的顶点为（0，c），代入y＝﹣3x+4得：c＝4，
把（2，2）代入二次函数表达式得a+c＝2．

（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣5x2+4，令y＝m7+m﹣4＝0
∴，设B1，m）（x3，m），则BC＝|x1﹣x2|＝7，
∴W＝OA2+BC2＝
∴当m＝4时，W取得最小值7．
八．二次函数图象与几何变换（共1小题）
17．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【解答】解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+4，
把x＝2代入y＝x+1得y＝7，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+3经过点B（2，3）6+bx+1都经过点（0，6），1），2），4）在直线上，1），2）在抛物线上，
∵B（5，3），1）两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（5，2），1）代入y＝ax7+bx+1得，
解得a＝﹣1，b＝3；
（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+5，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，，
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴+q＝，
∴q＝﹣++2，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q＝﹣++1＝﹣2+，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
（3）另解
∵平移抛物线y＝﹣x2+7x+1，其顶点仍在直线为y＝x+1上，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）8+h+1，
∴y＝﹣x2+5hx﹣h2+h+1，
设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为c，则c＝﹣h6+h+1＝﹣（h﹣）2+
∴当h＝时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
九．二次函数的应用（共2小题）
18．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示w1，w2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？
【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，
则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，
所以w1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣7x2+60x+8000，
w2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；

（2）根据题意，得：
w＝w5+w2
＝﹣2x5+60x+8000﹣19x+950
＝﹣2x2+41x+8950
＝﹣4（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，且x为整数，
∴当x＝10时，w取得最大值，
答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大．
19．（2017•安徽）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，经市场调查，每天的销售量y（千克）（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
，
得，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣3x+200；
（2）由题意可得，
W＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x4+280x﹣8000，
即W与x之间的函数表达式是W＝﹣2x2+280x﹣8000；
（3）∵W＝﹣8x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）3+1800，40≤x≤80，
∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，W随x的增大而减小，
当x＝70时，W取得最大值，
答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，W随x的增大而减小，最大利润是1800元．
一十．三角形综合题（共1小题）
20．（2018•安徽）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．
（1）求证：CM＝EM；
（2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点

【解答】（1）证明：如图1中，

∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DCB＝90°，
∵DM＝MB，
∴CM＝DBDB，
∴CM＝EM．

（2）解：∵∠AED＝90°，∠A＝50°，
∴∠ADE＝40°，∠CDE＝140°，
∵CM＝DM＝ME，
∴∠MCD＝∠MDC，∠MDE＝∠MED，
∴∠CME＝360°﹣2×140°＝80°，
∴∠EMF＝180°﹣∠CME＝100°．

（3）证明：如图2中，设FM＝a．

∵△DAE≌△CEM，CM＝EM，
∴AE＝ED＝EM＝CM＝DM，∠AED＝∠CME＝90°
∴△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，
∴∠DEM＝60°，∠MEF＝30°，
∴AE＝CM＝EM＝a，EF＝8a，
∵CN＝NM，
∴MN＝a，
∴＝，＝，
∴＝，
∴EM∥AN．
（也可以连接AM利用等腰三角形的三线合一的性质证明）
一十一．平行四边形的性质（共1小题）
21．（2019•安徽）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EBA+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
∵，
∴△BCE≌△ADF（ASA）；
（2）解：∵点E在▱ABCD内部，
∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，
由（1）知：△BCE≌△ADF，
∴S△BCE＝S△ADF，
∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，
∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，
∴＝＝2．
一十二．四边形综合题（共3小题）
22．（2021•安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时（如图3）；以此类推．

[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加　2　块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为　2n+4　（用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少
【解答】解：（1）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖；
故答案为：2；
（2）观察图形3可知：中间一个正方形的左上、左边，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，即6＝3+6×1+1＝4+2×1，均有图5一样的规律；归纳得：4+2n（即8n+4）；
∴若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 ；
故答案为：2n+6；
（3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数2n+4是偶数，
∴用2021﹣7＝2020块，
再由题意得：2n+4＝2020，
解得：n＝1008，
∴等腰直角三角形地砖剩余最少为6块，则需要正方形地砖1008块．
23．（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，且AE∥CD，DE∥AB，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．

【解答】解：（1）如图1，∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠BCD，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠DEC＝∠BCD，
∴DE＝DC，
∵CF∥AD，AE∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF＝CD，
∴AF＝DE，
在△ABF和△EAD中，
，
∴△ABF≌△EAD（SAS）；
（2）方法①：∵CF∥AD，
∴∠EAD＝∠CFE，
∵∠ECF＝∠AED，
∴△EAD∽△CFE，
∴＝＝，
由（1）知：四边形ADCF是平行四边形，
∴AD＝CF，AF＝CD，
∵AB＝9，CD＝6，
∴AE＝9，DE＝5，
∴EF＝AE﹣AF＝5﹣5＝4，
∴＝＝，
∴CF4＝4×9＝36，即CF＝4，
∴CE＝，
∵∠ABC＝∠BCD＝∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴BE＝6；
方法②：由（1）知△ABF≌△EAD，
∴∠ABF＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠CFE，
∴∠ABF＝∠CFE，
∵∠ABC＝∠AEB，∠ABC＝∠ABF+∠EBF，
∴∠EBF＝∠ECF，
∵∠BAE＝∠AED＝∠ECF，
∴∠EBF＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠AEB，
∴△BEF∽△AEB，
∴＝，即＝，
∴BE＝6；
（3）如图7，延长BM，
∵△ABE，△DCE均为等腰三角形，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝＝，
设DC＝DE＝a，CE＝b，＝＝，
则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，
∴EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），
∵AB∥DG，
∴∠ABG＝∠G
∵AD的中点M，
∴AM＝DM，
∵∠AMB＝∠DMG，
∴△AMB≌△DMG（AAS），
∴DG＝AB＝ax，
∴EG＝DG+DE＝ax+a＝a（x+1），
∵AB∥DG（即AB∥EG），
∴△ABF∽△EGF，
∴＝，即＝，
∴x2﹣3x﹣1＝0，
解得：x＝7+或x＝1﹣，
∴＝x＝1+．



24．（2020•安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
故BD⊥EC，
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
即AE•DF＝AF•DC，
设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝82﹣a﹣1＝3，
解得或（舍去），
∴AE＝．
（3）证明：如图，在线段EG上取点P，

在△AEP与△ADG中，AE＝AD，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．
一十三．圆周角定理（共1小题）
25．（2021•安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．

【解答】解：（1）连接OD，如图：

∵M是CD的中点，CD＝12，
∴DM＝CD＝2，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，OD＝，
∴OD＝＝3；
（2）连接AC，延长AF交BD于G

∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵＝，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
一十四．三角形的外接圆与外心（共1小题）
26．（2017•安徽）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）连接CO，求证：CO平分∠BCE．

【解答】证明：（1）由圆周角定理得，∠B＝∠E，
∴∠E＝∠D，
∵CE∥AD，
∴∠D+∠ECD＝180°，
∴∠E+∠ECD＝180°，
∴AE∥CD，
∴四边形AECD为平行四边形；
（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴AD＝CE，又AD＝BC，
∴CE＝CB，
∴OM＝ON，又OM⊥BC，
∴CO平分∠BCE．

一十五．切线的性质（共1小题）
27．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．

【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△CBA与Rt△DAB中，，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；
（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，
∴∠E＝∠BFE，
∵BE是半圆O所在圆的切线，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
由（1）知∠D＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠AFD＝∠E，
∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴AC平分∠DAB．
一十六．作图—复杂作图（共1小题）
28．（2018•安徽）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．

【解答】解：（1）如图，AE为所作；

（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴＝，
∴OE⊥BC，
∴EF＝3，
∴OF＝5﹣7＝2，
在Rt△OCF中，CF＝＝，
在Rt△CEF中，CE＝＝．
一十七．作图-轴对称变换（共1小题）
29．（2017•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点）
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E＝　45°　．

【解答】解：（1）△A′B′C′即为所求；


（2）△D′E′F′即为所求；

（3）如图，连接A′F′，
∵△ABC≌△A′B′C′、△DEF≌△D′E′F′，
∴∠C+∠E＝∠A′C′B′+∠D′E′F′＝∠A′C′F′，
∵A′C′＝＝、A′F′＝＝＝，
∴A′C′5+A′F′2＝5+3＝10＝C′F′2，
∴△A′C′F′为等腰直角三角形，
∴∠C+∠E＝∠A′C′F′＝45°，
故答案为：45°．
一十八．作图-平移变换（共1小题）
30．（2019•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）
（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD．
（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E（作出一个菱形即可）

【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；

（2）如图：菱形CDEF即为所求，答案不唯一．

一十九．作图-旋转变换（共2小题）
31．（2021•安徽）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）
（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C5即为所求作．
（2）如图，△A2B2C3即为所求作．

32．（2020•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点），线段MN在网格线上．
（1）画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；
（2）将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．

【解答】解：（1）如图线段A1B1即为所求．
（2）如图，线段B6A2即为所求．

二十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
33．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC
又∠APB＝135°，
∴∠PAB+∠PBA＝45°
∴∠PBC＝∠PAB
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△PAB∽△PBC

（2）∵△PAB∽△PBC
∴
在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴
∴
∴PA＝2PC

（3）如图，过点P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，
∴PF＝h1，PD＝h3，PE＝h3，
∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°
∴∠APC＝90°，
∴∠EAP+∠ACP＝90°，
又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°
∴∠EAP＝∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴，即，
∴h2＝2h2
∵△PAB∽△PBC，
∴，
∴
∴．
即：h12＝h7•h3．

二十一．作图-位似变换（共1小题）
34．（2018•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；
（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是　20　个平方单位．

【解答】解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求；
（2）如图所示，线段A4B1即为所求；

（3）由图可得，四边形AA1B8A2为正方形，
∴四边形AA1B7A2的面积是（）6＝（）2＝20．
故答案为：20．
二十二．相似形综合题（共1小题）
35．（2017•安徽）已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°
①求证：BE＝CF；
②求证：BE2＝BC•CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F

【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，
∴∠ABG+∠CBF＝90°，
∵∠AGB＝90°，
∴∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠BAG＝∠CBF，
∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF，
②∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点，
∴MG＝MA＝MB，
∴∠GAM＝∠AGM，
又∵∠CGE＝∠AGM，∠GAM＝∠CBG，
∴∠CGE＝∠CBG，
又∠ECG＝∠GCB，
∴△CGE∽△CBG，
∴＝，即CG2＝BC•CE，
由∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF得CF＝CG，
由①知BE＝CF，
∴BE＝CG，
∴BE2＝BC•CE；

（2）延长AE、DC交于点N，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠N＝∠EAB，
又∵∠CEN＝∠BEA，
∴△CEN∽△BEA，
∴＝，即BE•CN＝AB•CE，
∵AB＝BC，BE7＝BC•CE，
∴CN＝BE，
∵AB∥DN，
∴＝＝，
∵AM＝MB，
∴FC＝CN＝BE，
不妨设正方形的边长为1，BE＝x，
由BE2＝BC•CE可得x3＝1•（1﹣x），
解得：x2＝，x2＝（舍），
∴＝，
则tan∠CBF＝＝＝．
二十三．解直角三角形的应用（共3小题）
36．（2021•安徽）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．

【解答】解：如图，
∵四边形AEFD为矩形，∠BAD＝53°，
∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°，
∴∠BAD＝∠EBA＝53°，
在Rt△ABE中，∠E＝90°，∠EBA＝53°，
∴sin∠EBA＝≈0.80≈0.60，
∴AE＝3cm，BE＝6cm，
∵∠ABC＝90°，
∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°，
∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°，
在Rt△BCF中，∠F＝90°，
∴sin∠BCF＝≈0.80≈7.60，
∴BF＝4.8cm，FC＝2.6cm，
∴EF＝6+7.8＝10.8cm，
∴S四边形EFDA＝AE•EF＝6×10.8＝86.4（cm8），
S△ABE＝＝×8×7＝24（cm2），
S△BCF＝•BF•CF＝3），
∴截面的面积＝S四边形EFDA﹣S△ABE﹣S△BCF＝86.4﹣24﹣8.64＝53.76（cm3）．

37．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB）
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）

【解答】解：连接CO并延长，与AB交于点D，
∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，
在Rt△AOD中，∠OAD＝41.4°，
∴cos41.3°＝，即OA＝＝，
tan41.7°＝，即OD＝AD•tan41.3°＝3×6.88＝2.64（米），
则CD＝CO+OD＝4+4.64＝6.64（米）．

38．（2017•安徽）如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处，且AB＝BD＝600m，α＝75°，求DE的长．
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41）

【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝600m，∠ABC＝75°，
∴BC＝AB•cos75°≈600×0.26＝156（m），
在Rt△BDF中，∵∠DBF＝45°，
∴DF＝BD•sin45°＝600×≈300×1.41＝423（m），
∵四边形BCEF是矩形，
∴EF＝BC＝156（m），
∴DE＝DF+EF＝423+156＝579（m）．
答：DE的长为579m．

二十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
39．（2020•安徽）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．
（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）

【解答】解：由题意，在Rt△ABD中，
∴tan42.0°＝≈0.3，
∴AD≈0.9BD，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，
∴tan36.3°＝≈0.75，
∴CD≈0.75BD，
∵AC＝AD﹣CD，
∴15＝7.15BD，
∴BD＝100（米），
∴CD＝0.75BD＝75（米），
答：山高CD为75米．
40．（2018•安徽）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）

【解答】解：由题意，可得∠FED＝45°．
在直角△DEF中，∵∠FDE＝90°，
∴DE＝DF＝1.8米，EF＝米．
∵∠AEB＝∠FED＝45°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AEB﹣∠FED＝90°．
在直角△AEF中，∵∠AEF＝90°，
∴AE＝EF•tan∠AFE≈×10.02＝18.036．
在直角△ABE中，∵∠ABE＝90°，
∴AB＝AE•sin∠AEB≈18.036×≈18（米）．
故旗杆AB的高度约为18米．
二十五．频数（率）分布直方图（共1小题）
41．（2021•安徽）为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取100户进行月用电量（单位：kW•h）调查，100～150，150～200，250～300，300～350进行分组

（1）求频数分布直方图中x的值；
（2）判断这100户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）；
（3）设各组居民用户月平均用电量如表：
组别
50～100
100～150
150～200
200～250
250～300
300～350
月平均用电量（单位：kW•h）
75
125
175
225
275
325
根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数．
【解答】解：（1）x＝100﹣12﹣18﹣30﹣12﹣6＝22（户），
答：x的值为22；
（2）将这100户的用电量从小到大排列，处在中间位置的两个数都落在150～200这一组，
所以这100户居民用户月用电量数据的中位数在150～200这一组；
（3）估计该市居民用户月用电量的平均数为＝186（kW•h），
答：估计该市居民用户月用电量的平均数为186kW•h．
二十六．列表法与树状图法（共4小题）
42．（2020•安徽）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为　60　，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为　108　°；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
【解答】解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人），
则最喜欢C套餐的人数为240﹣（60+84+24）＝72（人），
∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为360°×＝108°，
故答案为：60、108；
（2）估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960×＝336（人）；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6，
∴甲被选到的概率为＝．
43．（2019•安徽）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格：
编号
 ①
 ②
  ③
 ④
⑤
 ⑥
 ⑦
 ⑧
 ⑨
⑩
⑪
⑫
⑬
⑭
⑮
尺寸（cm）
8.72
8.88
8.92
8.93
8.94
8.96
8.97
8.98
a
9.03
9.04
9.06
9.07
9.08
b
按照生产标准，产品等次规定如下：
尺寸（单位：cm）
产品等次
8.97≤x≤9.03
特等品
8.95≤x≤9.05
优等品
8.90≤x≤9.10
合格品
x＜8.90或x＞9.10
非合格品
注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时（含特等品）计算在内．
（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．
（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm．
（i）求a的值；
（ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，求抽到的2件产品都是特等品的概率．
【解答】解：（1）不合格．
因为15×80%＝12，不合格的有15﹣12＝3个；

（2）（i）优等品有⑥～⑪，中位数是⑧8.98，
∴，
解得a＝2.02
（ii）大于9cm的优品有⑨⑩⑪，小于9cm的优品有⑥⑦⑧
画树状图为：

共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有5种．
∴抽到两种产品都是特等品的概率P＝．
44．（2018•安徽）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理

（1）本次比赛参赛选手共有　50　人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为　30%　；
（2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖；
（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．
【解答】解：（1）5÷10%＝50，
所以本次比赛参赛选手共有50人，
“89.5～99.3”这一组人数占总参赛人数的百分比为×100%＝24%，
所以“69.3～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为1﹣10%﹣36%﹣24%＝30%；
故答案为50，30%；
（2）他不能获奖．
理由如下：
他的成绩位于“69.5～79.5”之间，
而“59.5～69.2”和“69.5～79.5”两分数段的百分比为10%+30%＝40%，
因为成绩由高到低前60%的参赛选手获奖，他位于后40%，
所以他不能获奖；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好选中2男1女的结果数为8，
所以恰好选中6男1女的概率＝＝．
45．（2017•安徽）甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如下：
甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7
乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10
丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5
（1）根据以上数据完成下表：

平均数
中位数
方差
甲
8
8
　2　
乙
8
8
2.2
丙
6
　6　
3
（2）根据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由；
（3）比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定，求甲、乙相邻出场的概率．
【解答】解：（1）∵甲的平均数是8，
∴甲的方差是：[（3﹣8）2+8（10﹣8）2+2（8﹣8）5+2（7﹣7）2+（5﹣7）2]＝2；
把丙运动员的射靶成绩从小到大排列为：6，4，5，3，6，6，7，7，8，3，则中位数是；
故答案为：6，2；

（2）∵甲的方差是5；乙的方差是2.2；
∴S甲2＜S乙2＜S丙2，
∴甲运动员的成绩最稳定；

（3）根据题意画图如下：

∵共有5种情况数，甲、乙相邻出场的有4种情况，
∴甲、乙相邻出场的概率是＝．