上海市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案）

这是一份上海市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案），共42页。试卷主要包含了计算，﹣2+|3﹣|，÷，其中a＝，﹣1，解方程组，解方程，解不等式组等内容，欢迎下载使用。

上海市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编

一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•上海）计算：9+|1﹣|﹣2﹣1×．
2．（2019•上海）计算：|﹣1|﹣×+﹣8
二．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
3．（2020•上海）计算：+﹣（）﹣2+|3﹣|．
三．分式的化简求值（共1小题）
4．（2018•上海）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
四．二次根式的混合运算（共1小题）
5．（2017•上海）计算：+（﹣1）2﹣+（）﹣1．
五．一元二次方程的应用（共1小题）
6．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同
六．高次方程（共1小题）
7．（2021•上海）解方程组：．
七．解分式方程（共2小题）
8．（2019•上海）解方程：﹣＝1
9．（2017•上海）解方程：﹣＝1．
八．解一元一次不等式组（共2小题）
10．（2020•上海）解不等式组：
11．（2018•上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

九．两条直线相交或平行问题（共1小题）
12．（2019•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3）
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．

一十．一次函数的应用（共2小题）
13．（2018•上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米），其部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，这时离加油站的路程是多少千米？

14．（2017•上海）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，超过部分每平方米收取4元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；
（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

一十一．二次函数综合题（共5小题）
15．（2021•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．

16．（2020•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．

17．（2019•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；
②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，求新抛物线的表达式．

18．（2018•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．

19．（2017•上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x＝1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP＝OQ

一十二．正方形的判定（共1小题）
20．（2017•上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．

一十三．直角梯形（共1小题）
21．（2020•上海）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，CD＝5．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）连接BD，求∠DBC的正切值．

一十四．圆的综合题（共4小题）
22．（2021•上海）如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，其中E、F为AB、CD中点．
（1）证明：OP⊥EF；
（2）连接AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形．

23．（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，BO的延长线交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

24．（2018•上海）已知⊙O的直径AB＝2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．

（1）如图1，如果AC＝BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4），求△ACD的面积．
25．（2017•上海）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．

一十五．相似三角形的判定与性质（共3小题）
26．（2020•上海）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．

27．（2019•上海）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．

28．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．
（1）求证：EF＝AE﹣BE；
（2）连接BF，如果＝．求证：EF＝EP．

一十六．相似形综合题（共2小题）
29．（2021•上海）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，O是对角线AC的中点
（1）当点E在CD上，
①求证：△DAC∽△OBC；
②若BE⊥CD，求的值；
（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．

30．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD

（1）求证：∠E＝∠C；
（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数的值．
一十七．解直角三角形（共2小题）
31．（2021•上海）如图，已知△ABD中，AC⊥BD，CD＝4，cos∠ABC＝
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．

32．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．

一十八．解直角三角形的应用（共2小题）
33．（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示），DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．

34．（2017•上海）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．
（1）求sinB的值；
（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，垂足为点F，求支架DE的长．

一十九．扇形统计图（共1小题）
35．（2021•上海）现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如图．
（1）求三月份生产了多少部手机？
（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，求5G手机的下载速度．


参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•上海）计算：9+|1﹣|﹣2﹣1×．
【解答】解：+|1﹣﹣5×
＝3
＝5
＝5．
2．（2019•上海）计算：|﹣1|﹣×+﹣8
【解答】解：|﹣1|﹣×+
＝﹣1﹣2﹣2
＝﹣3
二．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
3．（2020•上海）计算：+﹣（）﹣2+|3﹣|．
【解答】解：原式＝（33）+﹣7﹣4+3﹣
＝3+﹣3﹣4+3﹣
＝0．
三．分式的化简求值（共1小题）
4．（2018•上海）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝，
当a＝时，
原式＝＝＝5﹣6．
四．二次根式的混合运算（共1小题）
5．（2017•上海）计算：+（﹣1）2﹣+（）﹣1．
【解答】解：原式＝3+6﹣2
＝+2．
五．一元二次方程的应用（共1小题）
6．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同
【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（8+x）2＝504，
解得：x1＝3.2＝20%，x2＝﹣3.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、5月份营业额的月增长率为20%．
六．高次方程（共1小题）
7．（2021•上海）解方程组：．
【解答】解：，
由①得：y＝5﹣x，
把y＝3﹣x代入②，得：x2﹣8（3﹣x）2＝3，
化简得：（x﹣2）（x﹣6）＝7，
解得：x1＝2，x7＝6．
把x1＝2，x2＝6依次代入y＝8﹣x得：
y1＝1，y2＝﹣3，
∴原方程组的解为．
七．解分式方程（共2小题）
8．（2019•上海）解方程：﹣＝1
【解答】解：去分母得：2x2﹣6＝x2﹣2x，即x5+2x﹣8＝4，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝8，
解得：x＝2或x＝﹣4，
经检验x＝5是增根，分式方程的解为x＝﹣4．
9．（2017•上海）解方程：﹣＝1．
【解答】解：两边乘x（x﹣3）得到3﹣x＝x4﹣3x，
∴x2﹣7x﹣3＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x＝5或﹣1，
经检验x＝3是原方程的增根，
∴原方程的解为x＝﹣7．
八．解一元一次不等式组（共2小题）
10．（2020•上海）解不等式组：
【解答】解：，
解不等式①得x＞3，
解不等式②得x＜5．
故原不等式组的解集是2＜x＜7．
11．（2018•上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

【解答】解：
解不等式①得：x＞﹣6，
解不等式②得：x≤3，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤5，
不等式组的解集在数轴上表示为：
九．两条直线相交或平行问题（共1小题）
12．（2019•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3）
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．

【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象平行于直线y＝x，
∴k＝，
∵一次函数的图象经过点A（2，4），
∴3＝+b，
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）由y＝x+2，得x+2＝6，
∴x＝﹣4，
∴一次函数的图形与x轴的交点为B（﹣4，6），
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为（0，y），
∵AC＝BC，
∴＝，
∴y＝﹣，
经检验：y＝﹣是原方程的根，
∴点C的坐标是（0，﹣）．
一十．一次函数的应用（共2小题）
13．（2018•上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米），其部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，这时离加油站的路程是多少千米？

【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b，
将（150，45），60）代入y＝kx+b中，
，解得：，
∴该一次函数解析式为y＝﹣x+60．
（2）当y＝﹣x+60＝8时，
解得x＝520．
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530﹣520＝10千米，
油箱中的剩余油量为5升时，距离加油站10千米．
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油．
14．（2017•上海）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，超过部分每平方米收取4元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；
（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

【解答】解：（1）设y＝kx+b，则有，
解得，
∴y＝5x+400．

（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，
∵6300＜6400
∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
一十一．二次函数综合题（共5小题）
15．（2021•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．

【解答】解：（1）P（3，0），4）代入y＝ax2+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G

当A与Q（1，2）重合时，GH＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝BH＝AB＝2，
∴CG＝CH﹣GH＝1，
而抛物线y＝﹣x2+的对称轴是y轴（x＝0），
∴C到抛物线对称轴的距离是CG＝4；
②过C作CH⊥AB于H，如图：

设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（3、Q（1
，解得，
∴直线PQ为y＝﹣2x+4，
设A（m，﹣2m+6），
∴CH＝AH＝BH＝AB＝|﹣m+3|，
当﹣m+2≥0，yC＝﹣m+3时，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，
将C（6m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+得：
﹣m+3＝﹣（2m﹣8）2+，
解得m＝或m＝8（与P重合，
∴m＝，3m﹣3＝﹣2，
∴C（﹣2，）
当﹣m+3＜8，yC＝﹣m+3时，xC＝m﹣（m﹣3）＝2，
C（3，﹣m+3），3）可知m＝3，
此时A、B、C重合，
∴C（﹣2，）
16．（2020•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．

【解答】解：（1）针对于直线y＝﹣x+8，
令x＝0，y＝5，
∴B（2，5），
令y＝0，则﹣，
∴x＝10，
∴A（10，0），
∴AB＝＝5；

（2）设点C（m，﹣m+5），
∵B（0，5），
∴BC＝＝|m|，
∵BC＝，
∴|m|＝，
∴m＝±4，
∵点C在线段AB上，
∴m＝2，
∴C（2，6），
将点A（10，0），4）代入抛物线y＝ax4+bx（a≠0）中，得，
∴，
∴抛物线y＝﹣x4+x；

（3）∵点A（10，2）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，
∴b＝﹣10a，
∴抛物线的解析式为y＝ax4﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，
∴抛物线的顶点D坐标为（2，﹣25a），
将x＝5代入y＝﹣x+5中×5+5＝，
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜﹣25a＜，
∴﹣＜a＜4；
17．（2019•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；
②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，求新抛物线的表达式．

【解答】解：（1）∵a＝1＞0，
故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（5，
当x＞1，y随x的增大而增大，y随x增大而减小；

（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t）2﹣6t，
解得：t＝0或3，
故“不动点”坐标为（6，0）或（3；
②当OC∥AB时，
∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，
∴新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，
∵四边形OABC是梯形，
∴直线x＝m在y轴左侧，
∵BC与OA不平行，
∴OC∥AB，
又∵点A（6，﹣1），m），
∴m＝﹣1，
故新抛物线是由抛物线y＝x6﹣2x向左平移2个单位得到的；
当OB∥AC时，
同理可得：抛物线的表达式为：y＝（x﹣5）2+2＝x8﹣4x+6，
当四边形OABC是梯形，字母顺序不对，
综上，新抛物线的表达式为：y＝（x+5）2﹣1．
18．（2018•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（7，x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+；
（2）∵y＝﹣（x﹣2）2+，
∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x＝2，
如图，设CD＝t，﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（2+t，﹣t），
把P（2+t，﹣t）代入y＝﹣x2+2x+得﹣2+2（4+t）+＝﹣t，
整理得t2﹣8t＝0，解得t1＝4（舍去），t2＝2，
∴线段CD的长为5；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移，
而P点（4，）向左平移2个单位个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），
设M（4，m），
当m＞0时，•（m+，解得m＝，）；
当m＜0时，•（﹣m+，解得m＝﹣，﹣）；
综上所述，M点的坐标为（0，，﹣）．

19．（2017•上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x＝1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP＝OQ

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴x＝﹣＝3，即，解得b＝6．
∴y＝﹣x2+2x+c．
将A（3，2）代入得：﹣4+6+c＝2．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2．
配方得：y＝﹣（x﹣1）6+3．
∴抛物线的顶点坐标为（1，5）．
（2）如图所示：过点A作AG⊥BM，垂足为G，G（1．

∵M（1，m），6），
∴MG＝m﹣2．
∴cot∠AMB＝＝m﹣2．
（3）∵抛物线的顶点坐标为（8，3），
∴抛物线向下平移了3个单位．
∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣x5+2x﹣1，PQ＝2．
∵OP＝OQ，
∴点O在PQ的垂直平分线上．
又∵QP∥y轴，
∴点Q与点P关于x轴对称．
∴点Q的纵坐标为﹣．
将y＝﹣代入y＝﹣x2+8x﹣1得：﹣x2+4x﹣1＝﹣，解得：x＝．
∴点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
一十二．正方形的判定（共1小题）
20．（2017•上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．

【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵AD＝CD，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵BE＝BC
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE＝2：3，
∴∠CBE＝180×＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
一十三．直角梯形（共1小题）
21．（2020•上海）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，CD＝5．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）连接BD，求∠DBC的正切值．

【解答】解：（1）过C作CE⊥AB于E，
∵AB∥DC，∠DAB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AD＝CE，AE＝CD＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝3，
∵BC＝7，
∴CE＝＝6，
∴梯形ABCD的面积＝×（5+8）×2＝39；
（2）过C作CH⊥BD于H，
∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵∠CHD＝∠A＝90°，
∴△CDH∽△DBA，
∴，
∵BD＝＝＝10，
∴＝，
∴CH＝8，
∴BH＝＝＝6，
∴∠DBC的正切值＝＝＝．

一十四．圆的综合题（共4小题）
22．（2021•上海）如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，其中E、F为AB、CD中点．
（1）证明：OP⊥EF；
（2）连接AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形．

【解答】（1）证明：连接OP，EF，OF．
∵AE＝EB，CF＝FD，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
∵OB＝OD，
∴Rt△OEB≌Rt△OFD（HL），
∴OE＝OF，
∵∠OEP＝∠OFP＝90°，OP＝OP，
∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL），
∴PE＝PF，
∵OE＝OF，
∴OP⊥EF．

（2）证明：连接AC，设EF交OP于J．
∵AB＝CD，AE＝EB，
∴AE＝CF，BE＝DF，
∵PE＝PF，
∴PA＝PC，
∵PE＝PF，OE＝OF，
∴OP垂直平分线段EF，
∴EJ＝JF，
∵OP∥AF，
∴EP＝PA，
∴PC＝PF，PA＝PE，
∴四边形AFEC是平行四边形，
∵EA＝CF，
∴四边形AFEC是矩形．

23．（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，BO的延长线交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

【解答】（1）证明：连接OA．

∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAO，
∴∠BAC＝2∠ABD．

（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．

①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝7∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DBC＝2∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，
∴8∠ABD＝180°，
∴∠C＝7∠ABD＝67.5°．
②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，
∴∠C＝5∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，
∴10∠ABD＝180°，
∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．
③若DB＝DC，则D与A重合．
综上所述，∠C的值为67.5°或72°．

（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．

则＝＝，
∴＝＝，设OB＝OA＝4a，
∵BH8＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，
∴25﹣49a2＝16a6﹣9a2，
∴a4＝，
∴BH2＝7a3＝，
∴BH＝
∴BC＝2BH＝．
24．（2018•上海）已知⊙O的直径AB＝2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．

（1）如图1，如果AC＝BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4），求△ACD的面积．
【解答】解：（1）∵OD⊥AC，
∴＝，∠AFO＝90°，
又∵AC＝BD，
∴＝，即+＝+，
∴＝，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，
∵AB＝2，
∴AO＝BO＝1，
∴AF＝AOsin∠AOF＝6×＝，
则AC＝2AF＝；

（2）如图1，连接BC，

∵AB为直径，OD⊥AC，
∴∠AFO＝∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠EBC，
∵DE＝BE、∠DEF＝∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），
∴BC＝DF、EC＝EF，
又∵AO＝OB，
∴OF是△ABC的中位线，
设OF＝t，则BC＝DF＝2t，
∵DF＝DO﹣OF＝8﹣t，
∴1﹣t＝2t，
解得：t＝，
则DF＝BC＝、AC＝＝＝，
∴EF＝FC＝，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠D，
则cot∠ABD＝cot∠D＝＝＝；

（3）如图2，

∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，
∴∠BOC＝、∠AOD＝∠COD＝，
则+2×，
解得：n＝5或﹣2，﹣2舍去．
∴∠BOC＝90°、∠AOD＝∠COD＝45°，
∴BC＝AC＝，
∵∠AFO＝90°，
∴OF＝AOcos∠AOF＝，
则DF＝OD﹣OF＝2﹣，
∴S△ACD＝AC•DF＝×）＝．
25．（2017•上海）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．

【解答】（1）证明：如图1中，

在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠C＝∠B，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝∠B，
∵∠ADO＝∠ADB，
∴△OAD∽△ABD．

（2）如图2中，①当∠ODC＝90°时，

∵BD⊥AC，OA＝OC，
∴AD＝DC，
∴BA＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
在Rt△OAD中，∵OA＝8，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝＝，
∴BC＝AC＝2AD＝．
②∠COD＝90°，∠BOC＝90°＝，
③∠OCD显然≠90°，不需要讨论．
综上所述，BC＝或．

（3）如图6中，作OH⊥AC于H．

∵△DAO∽△DBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AD＝，AB＝，
∵S2是S5和S3的比例中项，
∴S25＝S1•S3，
∵S5＝AD•OH，S4＝S△OAC＝•AC•OH，S5＝•CD•OH，
∴（AD•OH）2＝•AC•OH•，
∴AD2＝AC•CD，
∵AC＝AB．CD＝AC﹣AD＝﹣，
∴（）2＝•（﹣），
整理得x4+x﹣1＝0，
解得x＝或，
经检验：x＝是原方程的根，
∴OD＝．
（也可以利用角平分线的性质定理：＝＝，黄金分割点的性质解决这个问题）

方法5、设OD＝x，则△AOD的边OD边上的高也为h，
∴＝＝，
设S△AOB＝a，
∴S△AOD＝ax，
∵△AOB≌△AOC，
∴S△AOC＝S△AOB＝a
∴S△AOC＝S△AOD+S△COD，
∴S△COD＝a﹣ax＝a（6﹣x），
∵S2是S1和S3的比例中项，
∴S22＝S2•S3，
∴（ax）2＝a×a（3﹣x），
∴x＝，
∵OD＞0，
∴OD＝．
一十五．相似三角形的判定与性质（共3小题）
26．（2020•上海）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠H＝∠BCE，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH．
（2）证明：∵BE2＝AB•AE，
∴，
∵CB∥DG，
∴＝，
∴＝，
∵BC＝AB，
∴AG＝BE，
∵△CDF≌△CBE，
∴DF＝BE，
∴AG＝DF．
27．（2019•上海）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．

【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OC，

∵AB、AC是⊙O的两条弦，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵OB＝OA＝OC，
∴O在BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC，
∴BD＝CD；

（2）如图2，连接OB，

∵AB6＝AO•AD，
∴＝，
∵∠BAO＝∠DAB，
∴△ABO∽△ADB，
∴∠OBA＝∠ADB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠BDA，
∴AB＝BD，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ABDC是菱形．
28．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．
（1）求证：EF＝AE﹣BE；
（2）连接BF，如果＝．求证：EF＝EP．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BEA＝∠AFD＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠4，
在△ABE和△DAF中
，
∴△ABE≌△DAF，
∴BE＝AF，
∴EF＝AE﹣AF＝AE﹣BE；
（2）如图，∵＝，
而AF＝BE，
∴＝，
∴＝，
∴△BEF∽△DFA，
∴∠3＝∠3，
而∠1＝∠4，
∴∠4＝∠1，
∵∠8＝∠1，
∴∠4＝∠2，
即BE平分∠FBP，
而BE⊥EP，
∴EF＝EP．

一十六．相似形综合题（共2小题）
29．（2021•上海）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，O是对角线AC的中点
（1）当点E在CD上，
①求证：△DAC∽△OBC；
②若BE⊥CD，求的值；
（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．

【解答】（1）①证明：如图1，

∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，
∴△DAC∽△OBC；
②解：如图2，若BE⊥CD，

在Rt△BCE中，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，
∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．
过点D作DH⊥BC于点H，
设AD＝CD＝4m，则BH＝AD＝2m，
在Rt△DCH中，DC＝2m，
∴CH＝m，
∴BC＝BH+CH＝4m，
∴；
（2）①如图3，当点E在AD上时，

∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠BCO，∠AEO＝∠CBO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COB（AAS），
∴OB＝OE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCE是矩形．
设AD＝CD＝x，
∵DE＝2，
∴AE＝x﹣2，
∵OE＝3，
∴AC＝4，
在Rt△ACE和Rt△DCE中，CE2＝AC2﹣AE3，CE2＝CD2﹣DE6，
∴62﹣（x﹣5）2＝x2﹣32，
解得x＝1+，或x＝8﹣．
∴CD＝1+．
②如图4，当点E在CD上时，则CE＝x﹣3，

设OB＝OC＝m，
∵OE＝3，
∴EB＝m+3，
∵△DAC∽△OBC，
∴，
∴，
∴．
又∵∠EBC＝∠OCE，∠BEC＝∠OEC，
∴△EOC∽△ECB，
∴，
∴，
∴，
∴m＝，
将m＝代入，
整理得，x8﹣6x﹣10＝0，
解得x＝4+，或x＝3﹣．
∴CD＝3+．
综合以上可得CD的长为8+或3+．
30．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD

（1）求证：∠E＝∠C；
（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数的值．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC∠ABC，
∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，
∴∠ADE＝（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣，
∴∠E＝90°﹣（90°﹣∠C）＝．

（2）解：延长AD交BC于点F．

∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，
∵BD：DE＝2：6，
∴cos∠ABC＝＝＝．

（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，
∴∠ABC中必有一个内角为90°
∵∠ABC是锐角，
∴∠ABC≠90°．
①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，
∵∠E＝∠C，
∴∠ABC＝∠E＝∠C，
∵∠ABC+∠C＝90°，
∴∠ABC＝30°，此时．
②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，
∴∠EDA＝45°，
∵△ABC与△ADE相似，
∴∠ABC＝45°，此时．
综上所述，∠ABC＝30°，．∠ABC＝45°，．
一十七．解直角三角形（共2小题）
31．（2021•上海）如图，已知△ABD中，AC⊥BD，CD＝4，cos∠ABC＝
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．

【解答】解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，
∴AB＝10，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC＝＝＝6，
即AC的长为6；
（2）如图，

连接CF，过F点作BD的垂线，
∵BF为AD边上的中线，
即F为AD的中点，
∴CF＝AD＝FD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝2，
∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△EFC中，EF＝＝，
∴tan∠FBD＝＝＝．
解法二：∵BF为AD边上的中线，
∴F是AD中点，
∵FE⊥BD，AC⊥BD，
∴FE∥AC，
∴FE是△ACD的中位线，
∴FE＝AC＝3CD＝2，
∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．
32．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．

【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，
∴AE＝3，BE＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣2＝1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC＝＝；
（2）
方法一：
∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF＝，
∵tan∠DBF＝＝，
∴DF＝，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD＝＝，
∴AD＝5﹣＝，
则＝．
方法二：
∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF＝，
∴EF＝CF﹣CE＝﹣1＝，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠BFD＝∠BEA，
∵∠FBD＝∠EBA，
∴Rt△BFD∽Rt△BEA，
∴．

一十八．解直角三角形的应用（共2小题）
33．（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示），DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．

【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，如图3所示．
由题意，得：AD′＝AD＝90厘米．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．
在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45．
又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，
∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，
∴D′H＝D′F+FH＝（45+70）厘米．
答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．
（2）连接AE，AE′，如图4所示．
由题意，得：AE′＝AE，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°．
在Rt△ADE中，AD＝90厘米，
∴AE＝＝30，
∴EE′＝30厘米．
答：E、E′两点的距离是30．


34．（2017•上海）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．
（1）求sinB的值；
（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，垂足为点F，求支架DE的长．

【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵BD＝DC＝9m，
∴AB＝＝＝3m，
∴sinB＝＝＝．

（2）∵EF∥AD，BE＝4AE，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
∴EF＝4m，BF＝6m，
∴DF＝7m，
在Rt△DEF中，DE＝＝．

一十九．扇形统计图（共1小题）
35．（2021•上海）现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如图．
（1）求三月份生产了多少部手机？
（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，求5G手机的下载速度．

【解答】解：（1）80×（1﹣30%﹣25%）＝36（万部），
答：三月份生产了36万部手机；
（2）设5G手机的下载速度是每秒xMB．则4G手机的下载速度是每秒（x﹣95）MB．
+190＝，
解得：x1＝100，x2＝﹣8（不合题意，舍去），
经检验，x1＝100是原方程的解，
答：5G手机的下载速度是每秒100MB．