2022学年新高考数学 专题04 最值问题-新高考数学圆锥曲线专项练习

圆锥曲线的最值问题

一、单选题

1．设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是

(      )

A．  B． C． D．

2．已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

3．已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（   ）

A． B． C． D．

4．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）

A． B． C． D．

5．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )

A．2 B．3 C． D．

6．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是( )

A． B． C． D．

7．抛物线上的点到直线距离的最小值是 （ ）

A． B． C． D．3

8．对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．点到曲线（其中是参数，且）上的点的最小距离为(  )

A． B． C． D．

10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A．16 B．14 C．12 D．10

二、填空题

11．若双曲线的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，已知，则的最小值是_____________.

12．已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为       ．

三、解答题

13．设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：

（1）动点P的轨迹方程；

（2）的最小值与最大值.

14．已知点，而且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，求的最小值和最大值．

15．已知定点Q(7，2)，抛物线上的动点P到焦点的距离为，求的最小值，并确定取最小值时P点的坐标．

16．已知抛物线，是抛物线上一点．

（1）设为焦点，一个定点为，求的最小值，并指出此时点的坐标；

（2）设点的坐标为，，求的最小值(用表示)，并指出此时点的坐标．

17．若抛物线的顶点是抛物线上到点的距离最近的点，求的取值范围．

18．在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线．

（1）求的方程;

（2）为上的动点，为在点处得切线，求点到距离的最小值．

19．平面直角坐标系中，过椭圆：（）右焦点的直线交于，两点，为的中点，且的斜率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ），为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.

20．已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

21．已知椭圆的短轴长等于，右焦点F距C最远处的距离为3．

(1)    求椭圆C的方程；

(2)    设O为坐标原点，过F的直线与C交于A、B两点（A、B不在x轴上），若，求四边形面积S的最大值．

参考答案

1．D

【分析】

转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）.

【详解】

设，圆心为，

则，

当时，取到最大值，∴最大值为．

故选：D.

【点睛】

本题考查圆上点与椭圆上点的距离的最值问题，解题关键是圆上的点转化为圆心，利用圆心到动点距离的最值加（或减）半径得出结论．

2．A

【分析】

由，的最小值是，转化为求的最小值即为．

【详解】

双曲线中，，，，圆半径为，，

∴，（当且仅当共线且在间时取等号．

∴，当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号．

∴的最小值是9．

故选：A．

【点睛】

本题考查双曲线的标准方程，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，常常与定义联系，双曲线上点到一个焦点的距离可能转化为到另一个焦点的距离，圆外一点到圆上点的距离的最大值为圆外的点到圆心距离加半径，最小值为圆外的点到圆心距离减半径．

3．A

【分析】

根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到和三点共线且点在中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解．

【详解】

由题意，抛物线的方程为，所以，所以焦点，

过点作准线的垂线，垂足为，由,

依题意可知当和三点共线且点在中间时距离和最小，

如图所示，

故点的纵坐标为，代入抛物线的方程，求得，

所以点，故选A．

【点睛】

本题主要考查了抛物线的定义、标准方程，及抛物线的几何性质的应用，其中解答中由抛物线的性质，当和三点共线且点在中间时距离和最小是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

4．A

【解析】

试题分析：由题意，设在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为，则，根据抛物线的定义可知点到该抛物线的准线的距离为,则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和，故选A.

考点：抛物线的定义及其简单的几何性质.

【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义及其简单的几何性质，其中解答中涉及到抛物线的标准方程、抛物线的焦点坐标和准线方程，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中熟练掌握抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离四解答的关键.

5．A

【解析】

直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2．

6．D

【分析】

设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02），点A（x0，x02）到直线2x-y-4=0的距离由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标．

【详解】

设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02），
点A（x0，x02）到直线2x-y-4=0的距离

∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短．
故选D．

【点睛】

本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

7．A

【解析】

为抛物线上任意一点. 则.

∴点P到直线的距离为 ∴.

数形结合法:设把已知直线平移到与抛物线相切,然后求出两条平行线间的距离即为所求的最小距离.

8．B

【分析】

设，把表示为的函数，问题转化为对恒成立，结合函数性质可求解．

【详解】

，

平方可得：，因为，即，只需，即，

故选：B．

【点睛】

本题考查抛物线上点到定点距离最值问题，解题方法是把这个距离用动点的横（或纵）坐标表示，然后问题转化为不等式恒成立，利用不等式恒成立的方法求解．

9．B

【解析】

【分析】

消去参数可得曲线即：，原问题等价于抛物线上的点到准线距离的最小值，结合抛物线的性质确定最小值即可.

【详解】

消去参数可得曲线（其中是参数，且）即：，

则点P为抛物线的焦点，原问题等价于抛物线上的点到准线距离的最小值，

很明显抛物线的顶点到准线的距离最小，其最小值为：.

本题选择B选项.

【点睛】

本题主要考查参数方程化为直角坐标方程的方法，抛物线的定义及其性质的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10．A

【解析】

设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知

，当且仅当（或）时，取等号.

点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以

.

11．9.

【分析】

设双曲线的右焦点，则，再利用双曲线的定义，三角形的两边之差小于第三边，即可得答案.

【详解】

设双曲线的右焦点，则，

∴，

等号成立当且仅当共线.

故答案为：.

【点睛】

本题考查双曲线的定义、三角形的两边之差小于第三边，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，求解时注意利用定义进行转化问题.

12．

【分析】

根据题意，根据三点共线，求出直线的方程，联立双曲线方程，即可求得点坐标，则由即可容易求得.

【详解】

设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，

∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，

由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，

∵，∴直线的方程为，即代入整理得，

解得或 (舍)，所以P点的纵坐标为，

∴=.

故答案为：.

【点睛】

本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题.

13．（1）；（2）当时，最小值为；当时，最大值为.

【分析】

（1）设出直线的方程和点A、B的坐标，联立直线与椭圆的方程，即可求出，然后根据求出点P的坐标，消去参数，即可得到动点P的轨迹方程，再检验当k不存在时，是否也满足方程即可；

（2）根据点P的轨迹方程求得的取值范围，再根据两点间的距离公式求出，消元，由二次函数的性质即可求出的最小值与最大值．

【详解】

（1）直线l过点，设其斜率为k，则l的方程为．

设，，由题设可得点A、B的坐标是方程组的解．

将①代入②并化简得，所以

于是，，

设点P的坐标为，

则消去参数k得，③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点，也满足方程③，

所以点P的轨迹方程为．

（2）点P的轨迹方变形为，

知，即．

所以

，

故当时，取得最小值，最小值为．

当时，取得最大值，最大值为．

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，平面向量的坐标运算，两点间的距离公式的应用，利用参数法求轨迹，以及二次函数的性质应用，意在考查学生的数学运算能力，综合性较强，属于中档题．

14．最小值；最大值.

【分析】

把转化为到右焦点的距离后易得结论．

【详解】

设是右焦点，由题意，，，

，

而，即，当且仅当共线时等号成立，

∴当在之间时，取得最大值，当在之间时，取得最小值．

【点睛】

本题考查椭圆的定义，求椭圆上的点到一定点与一焦点的距离和的最值问题，可根据椭圆定义把椭圆上 到一焦点距离转化为到另一焦点的距离，这样利用平面几何的知识易得结论．

15．

【分析】

由抛物线定义把转化为到准线的距离后易得最小值．

【详解】

如图，设是抛物线的准线，方程为，作于，则，

，当且仅当三点共线时，取得最小值．

此时，由得，即．

【点睛】

本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义可得抛物线上点到焦点和抛物线内一定点的距离之和的最小值是定点到准线的距离，掌握抛物线的定义是解题关键．

16．（1）7；；（2）当时，最小值为，；当时，最小值为，．

【分析】

（1）由抛物线定义把转化为到准线的距离后易得最小值．

（2）设，把表示为的函数，利用函数的知识可得最值．

【详解】

（1）如图，设是抛物线的准线，方程为，

作于，则，

，当且仅当三点共线时，

取得最小值．

此时，由得，即．

（2）设，则，

，

∵，∴当，即时，

，此时，，，

当，即时，，

此时，，即．

综上，当时，最小值为，；

当时，最小值为，．

【点睛】

本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义可得抛物线上点到焦点和抛物线内一定点的距离之和的最小值是定点到准线的距离，掌握抛物线的定义是解题关键．

17．

【分析】

设抛物线上的点P，把表示为的函数，题意说明时，此式取最小值，由二次函数性质可得．

【详解】

设抛物线上的点P，，只需二次函数的对称轴，∴．

故的范围是．

【点睛】

本题考查抛物线上点到定点距离最值问题，解题方法是把这个距离用动点的横（或纵）坐标表示，然后结合二次函数的性质求解．

18．（1）；（2）2.

【分析】

（1）设，代入已知条件可得轨迹方程；

（2）设点，由导数求出切线方程，再由点到直线距离公式得距离，化为关于的函数，利用基本不等式求得最值：

【详解】

（1）设，∵，∴，又∵，

而，，，

∴，化简得C的方程为： ;

（2）设点，，切线斜率为，切线方程为，即，则点到的距离，又， (当=0时取等号)，

∴点到距离最小值为2．

【点睛】

本题考查求动点轨迹方程，考查平面向量数量积的坐标表示，导数的几何意义，点到直线距离公式，考查用基本不等式求最值．求轨迹方程是直接法，即设出动点坐标，代入已知条件后化简变形即得，求距离最值问题是把距离表示动点横坐标的函数，然后用基本不等式求得最小值，也可由函数的性质求得最值．

19．(Ι) （Ⅱ）

【分析】

(1)把右焦点代入直线方程可求出c，设 ，线段AB的中点，利用“点差法”即可得出a,b的关系式，再与联立即可求出a,b，进而可得椭圆方程；

(2)由，可设直线CD方程为,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得到弦长，把直线，利用即可得到关于m的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其最大值.

【详解】

(Ι)设 则，，（1）－（2）得：

，因为，设，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得，即，即，又因为，所以，所以M的方程为.

（Ⅱ）因为，直线AB方程为，所以设直线CD方程为，

将代入得：，即、，所以可得；将代入得：，设 则=，又因为，即，所以当时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为 .

【点睛】

本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.

20．（1） （2）

【解析】

试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.

试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，

所以，.

又

解得，

所以椭圆的方程为.

（2）解：设

由题意可设直线的方程为：，

联立消去得，

当，所以，即或时

.

所以

点到直线的距离

所以，

设，则，

，

当且仅当，即，

解得时取等号，

满足

所以的面积最大时直线的方程为：或.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.

21．（1）；（2）1

【分析】

（1）由已知得，即可得椭圆方程.

（2）由题意设，与椭圆方程联立得，，代入化简求最值即可.

【详解】

（1）由已知得，，

（2）因为过 的直线与交于两点（不在轴上），

所以设，

设

则

，

，由对勾函数的单调性易得当即

【点睛】

本题考查了求椭圆的标准方程和四边形的面积的最值问题，转化为两个三角形的面积最值是关键，属于中档题.