2022届海南省海南中学（海口市）高三下学期4月学生学科能力诊断数学试题含解析

这是一份2022届海南省海南中学（海口市）高三下学期4月学生学科能力诊断数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
海南省海口市2022届高三下学期学生学科能力诊断数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，若，则实数a＝（       ）A．2 B．1 C．0 D．-12．已知函数，则下列函数是奇函数的是（       ）A．f(x)+1 B．f(x)－1 C．f(x+1) D．f(x－1)3．2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，出色的赛事组织工作赢得了国际社会的一致称赞，经济效益方面，多项收入也创下历届冬奥会新高．某机构对本届冬奥会各项主要收人进行了统计，得到的数据如图所示：已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多25亿元，则估计2022年北京冬奥会这几项主要收人总和约为（       ）A．221亿元 B．203亿元 C．133亿元 D．108亿元4．若，则的值为（       ）A． B． C． D．35．已知圆柱的侧面积等于上、下底面积之和，圆柱的体积与表面积的数值相同，则该圆柱的高为（       ）A．8 B．4 C．2 D．16．若向量（O，A，B，C互不重合），则（       ）A．2 B． C． D．37．设函数的图象在点处的切线为，当的斜率最小时，其方程为（       ）A． B． C． D．8．某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的期望是（       ）A．10分钟 B．5分钟 C．4分钟 D．2分钟二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知函数，则（       ）A．的定义域为R B． 是奇函数C．在上单调递减 D． 有两个零点10．如图，在长方体中，，E，F分别是棱，的中点，则（       ） A．△BDF是等边三角形 B．直线与BF是异面直线C．平面BDF D．三棱锥与三棱锥的体积相等11．已知复数z及其共轭复数满足，则下列说法正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若为纯虚数，则或 D．若为实数，则或12．已知a>0，圆C：，则（       ）A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的最小正周期为______．14．从1，2，3，4四个数中随机抽取2个数作为m，n（m<n），则的不同值有______个．15．在直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为F，双曲线E：的右顶点为线段OF的中点，E与C交于A，B两点．若F是△ABO的重心，则E的离心率为______．16．在△ABC中，，角A的平分线交BC于点D，且AD＝2，则BD·CD的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列，记，若是等差数列，且，．(1)求，；(2)设，求数列的前n项和．18．如图所示，在平面四边形ABCD中，，BC＝3，AC＝5，，∠BCD＝135°．(1)求sin∠ACB；(2)求AD的长．19．如图所示的几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，两个锥体的底面在同一平面内，BC是半圆锥底面的直径，D在底面半圆弧上，且，△ABC是等边三角形．(1)证明：平面SAC；(2)若BC＝2，，求直线CD与平面SAB所成角的正弦值．20．某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件．(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；(2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？21．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点是上一点，，且的面积为．(1)求的方程．(2)过的直线与交于，两点，与直线交于点，从下面两个问题中选择一个进行解答：①设，直线，，的斜率分别为，证明：为定值；②设，，证明：为定值．22．已知函数．(1)若，证明：；(2)若有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
参考答案：1．B【解析】【分析】对于集合，元素对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及，可确定出其中的元素，进而求解.【详解】对于集合N，因为，所以N中有两个元素，且乘积为-2，又因为，所以，所以．即a＝1．故选：B.2．C【解析】【分析】利用奇函数的性质判断【详解】的图象是由的图象向右平移1个单位得出的，因此其图象关于点对称，只有把的的图象向左平移1个单位，图象才会关于原点对称，所以只有，是奇函数．故选：C．3．B【解析】【分析】设冬奥会收入总和为，列式求解即可【详解】设冬奥会收入总和为亿元，则所以．故选：B4．A【解析】【分析】分别用余弦的两角和差公式展开分母和分子，分子和分母再同时除以弦化切，代入的值计算求解即可.【详解】由题意得，．故选:A 5．B【解析】【分析】根据已知条件及圆柱的侧面积、表面积和体积公式即可求解.【详解】设底面圆的半径为，高为，则由题意可知，，解得.所以该圆柱的高为.故选：B.6．D【解析】【分析】由向量线性运算得出的关系，再由数乘的定义得结论．【详解】，即，因为，所以，．故选：D．7．D【解析】【分析】利用二次函数的基本性质求出的最小值，进而可求得切点坐标，利用点斜式可得出切线的方程.【详解】因为，则，切线斜率为，当时，取得最小值，则，即切点为，故切线的方程为，即．故选：D.8．C【解析】【分析】由题可得甲同学一节课在直播屏幕上出现的轮次服从二项分布，甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间，根据二项分布的期望公式及期望的性质可得答案.【详解】每5分钟算作一轮，每一轮甲同学出现在直播屏幕上的概率为，设他在直播屏幕上出现的轮次为X，根据题意，，设甲同学在直播屏幕上出现的时间为，则．故答案为：C.9．BC【解析】【分析】根据函数解析式，结合函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对：的定义域为，错误；对：，且定义域关于原点对称，故是奇函数，正确；对：当时，，单调递减，正确；对：因为，，所以无解，即没有零点，错误．故选：.10．AC【解析】【分析】A选项可根据几何关系求三角形的各个边长进行判断；B选项证点，E，B，F四点共面得出矛盾；C选项证，线线垂直，可得线面垂直；D选项点A与点F到平面的距离不相等，即是高不相等，体积也不会相等.【详解】对于A，设AB＝1，则，故△BDF是等边三角形，A正确；对于B，连接、，如图所示： 易知，,故点，E，B，F共面，B错误；对于C，设AB＝1，则，，，所以所以，同理可知，又因为，所以平面BDF，故C正确；对于D，三棱锥与三棱锥有公共的面，若要它们的体积相等，则点A与点F到平面的距离相等，这显然不成立，故D错误．故选：AC.11．AD【解析】【分析】设，由给定条件求出a，b的关系，再逐项分析各个选项的条件，计算判断作答.【详解】设，则，，，对于A，若，则b=0，有，此时z=a，，A正确；对于B，若，则a=0，有，此时，，B错误；对于C，若为纯虚数，则，，此时，C错误；对于D，若为实数，则，有或，此时或，D正确.故选：AD12．ACD【解析】【分析】本题考查圆的方程与性质以及函数图象．当圆心纵(横)坐标的绝对值等于半径时，圆与x(y)轴相切，可判定A；当圆心到x轴或y轴距离相等时，在轴上截得的线段相等，可判定B；对于C，只要圆心到原点距离等于半径即可；当直线过圆心时，平分圆的面积，可判定D.【详解】由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为（a，lna），即圆心在曲线y＝ln x上运动．对于A，当a＝1时，圆C与y轴相切，当，即a＝e或时，圆C与x轴相切，所以满足要求的a有3个，A正确；对于B，若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴的距离相等，故圆心在上，又圆心在y＝lnx上，作图可知曲线y＝lnx与y＝x没有公共点，与y＝-x有一个交点，所以满足要求的a仅有一个，B错误；对于C，若圆C过坐标原点，则，如下图可知，曲线y＝lnx与有两个交点，所以满足要求的a有2个，C正确；对于D，若圆C的面积被直线平分，则直线经过圆心（a，ln a），计算可知曲线y＝lnx在x＝e处的切线恰好为，即满足要求的a仅有一个，故D正确．故选：ACD.【点睛】已知圆C：，有如下结论：(1)当或时，圆C与y轴或x轴相切；(2)当时，圆心到两轴距离相等，若与两轴相交，则截得的线段相等；(3)若圆C过原点，则；(4)若直线过圆心，则平分圆的面积.13．【解析】【分析】根据二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为，所以函数的最小正周期．故答案为：14．4【解析】【分析】用列举法写出所有并计算其值后可得结论．【详解】，，，，所以的不同值有4个．故答案为：4．15．2【解析】【分析】由题意求出抛物线的焦点为F，得到则E的右顶点为（1，0），即a＝1，根据F是△ABO的重心，可得直线AB的方程为x＝3，进一步求出A，B坐标，代入双曲线得到，解得，最终求出离心率．【详解】设双曲线E的半焦距为c（c>0）．由题意可知：抛物线的焦点为F（2，0），则E的右顶点为（1，0），所以a＝1，由F是△ABO的重心，可得直线AB的方程为x＝3，可知，，代入双曲线方程得到，解得，所以，所以离心率．故答案为：2.16．【解析】【分析】由正弦定理用角表示出，计算，然后对利用两角和与差的正弦公式，二倍角公式变形为一个角的一个三角函数形式，再由正弦函数性质得其范围，从而得出结论．【详解】由已知可得，在△ABD中，根据正弦定理得，则．同理．所以．．因为，所以，，所以，故，即BD·CD的取值范围是．故答案为：．17．(1)；；(2).【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合是等差数列，即可赋值求得结果；（2）根据（1）中所求可得与，结合的特点，即可求得结果.(1)由题可得，，因为是等差数列，所以.所以；．(2)当时，有，当时，由（1）可知，所以当时，，因此．18．(1)(2)【解析】【分析】（1）由三边长，可用余弦定理求出,根据同角关系即可得.（2由两边及一角，根据余弦定理即可求出第三边.(1)在中，由余弦定理可得,.(2)，在中，由余弦定理可得,即，19．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）只需证明即可；（2）建立空间直角坐标系，平面SAB的法向量，利用进行计算，从而求出答案.(1)因为BC是半圆锥底面的直径，，所以∠DBC＝60°，因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，所以．因为平面SAC，平面SAC，所以平面SAC．(2)设S在底面上的射影为O，连接OA，OS，由已知得O为BC的中点，所以AO⊥BC，．因为BC＝2，，所以OB＝1，．以O为坐标原点，分别以OA，CB，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则C（0，-1，0），，B（0，1，0），，S（0，0，2）．所以，，．设平面SAB的法向量为，则令x＝2，得． 设CD与平面SAB所成的角为θ，则．20．(1)需要从甲厂订购配件M的数量为5万个；从乙厂订购配件M的数量为3万个(2)0.028(3)甲厂应承担的费用为元，乙厂应承担的费用为元，本厂应承担的费用为元【解析】【分析】（1）设出使用甲厂生产的配件M的比例，同时得到乙厂的比例，再根据已知条件求出比例，进而求出数量；（2）由（1）的生产比例，分别算出各个厂的次品的概率，求概率的和即可；（3）由条件概率公式，分别求出来自各个厂次品配件的概率，进一步求出它们各自应该承担的维修费用.(1)设使用甲厂生产的配件M的比例为a，则使用乙厂生产的配件M的比例为0.8-a，由已知可得，解得a＝0.5．所以需要从甲厂订购配件M的数量为100.5＝5万个；从乙厂订购配件M的数量为＝3万个．(2)由（1）知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为0.5，0.3，0.2，所以该汽车厂使用的配件M的次品率的估计值为，所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为0.028．(3)设A＝“该轿车使用了次品配件”，“配件M来自甲厂”，“配件M来自乙厂”，“配件M来自本厂”．由（2）可知 ．该次品配件M来自甲厂的概率为： ，该次品配件M来自乙厂的概率为： ，该次品配件M来自本厂的概率为： ，所以甲厂应承担的费用为元，乙厂应承担的费用为元，本厂应承担的费用为元．21．(1)(2)①证明见解析 ；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理结合椭圆定义可以得到，进而由已知条件可以求出，再结合可求出（2）选择问题①，设l的方程为，以为参数分别表示出和，即可证明；选择问题②当l的斜率为时,易求，当l的斜率不为时，设l的方程为，以为参数分别表示，，再结合韦达定理即可证明(1)（1）依题知，设椭圆C的焦距为，上式可化为，所以．因为离心率，所以，所以．所以C的方程为．(2)选择问题①：由（1）知，由条件可知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为，则，联立方程，得，设，，则，，，在的方程中令，得，所以，所以，故为定值．选择问题②：由（1）知，由条件可知l的斜率存在．当l的斜率为时，，为的左、右顶点，，此时．当l的斜率不为时，设l的方程为，则，令可得．联立方程得，设，，则，，由可得，所以，同理．所以．故为定值．22．(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）利用导数求得的单调性以及最大值，即可证明；（2）对参数进行分类讨论，根据对应单调性结合零点的个数，即可求得参数的范围.(1)，x>0．当时，，得，当时，，得，所以在上单调递增，在上单调递减，故，即证.(2)，．若a0，则，在上单调递减，因此至多一个零点，不满足题意； 当时，令，则，因为，所以，所以g(x)在上单调递减．令，即，则在上，g(x)>0，即，在上，g(x)<0，即，故在上单调递增，在上单调递减，所以．又x趋近于0时，趋近于负无穷；趋近于正无穷时，趋近于负无穷，要使有两个不同的零点，则需． 令，则，当时，，，得，当时，，，得，所以t(x)在上单调递减，在上单调递增，故．故当时，，又在单调递增,故此时．【点睛】本题考察利用导数证明不等式，以及利用导数由函数零点个数求参数的范围；解决第二问的关键是根据求得的范围再求参数的范围，属综合困难题.