2022届陕西省安康中学（安康市）高三下学期4月第三次联合考试理科数学试题含解析

安康市2022届高三下学期4月第三次联合考试

数学（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（    ）

A． B． C． D．8

4．已知函数则（    ）

A．2 B．3 C． D．

5．在正方体中，M是正方形ABCD的中心，则直线与直线所成角的大小为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

6．直线与函数的图象有两个公共点的充要条件为（    ）

A． B． C． D．

7．已知，则（    ）

A．6 B． C． D．2

8．已知F是抛物线的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，且，则下列结论一定正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

9．已知的展开式各项系数和为768，则其展开式中含项的系数为（    ）

A．70 B．140 C．280 D．112

10．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，△ABC的面积为，则bc的最小值为（    ）

A．16 B． C．48 D．

12．已知函数的定义域为R，且对任意，恒成立，则的解集是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，若，则______．

14．若双曲线的一条渐近线l与直线平行，则直线l，g间的距离为______．

15．近年来，人口问题已成为一个社会问题，人口老龄化，新生儿数量减少等问题已对我国的经济建设产生影响．为应对人口问题的挑战，2016年1月1日起全面放开二胎，2021年1月1日起全面放开三胎．下表是2016年～2020年我国新生儿数量统计：

研究发现这几年的新生儿数量与年份有较强的线性关系，若求出的回归方程为，则______，说明我国这几年的新生儿数量平均约以每年______万的速度递减（结果保留一位小数），这种趋势如果得不到遏制，我国人口形势将会非常悲观．

16．已知四面体ABCD中，AC=3，其余棱长均为2，则该四面体外接球的表面积是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

已知等比数列的前n项和为．

（1）求实数k的值，并求出数列的通项公式；

（2）令，设为数列的前n项和，求．

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，，点D是棱上的一点，且平面．

（1）证明：；

（2）若点M是棱AC上的一点，AM=2MC，求二面角的大小．

19．（本小题满分12分）

常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具．洗手是预防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．正确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤．某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取100名学生进行网上测试，满分10分，具体得分情况的频率分布表如下：

（1）现以7分为界限，将学生"寸“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于7分的学生为“未能掌握”，得分不低于7分的学生为“基本掌握”．

完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关？

（2）从参与网上测试且得分不低于9分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取10名同学，在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，求X的分布列与期望．

附：，．

临界值表：

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的右焦点为，点在C上，c为椭圆C的半焦距．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若经过F的直线l与C交于A，B（异于P）两点，与直线交于点M，设PA，PB，PM的斜率分别为，，，求证：．

21．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）若恒成立，求实数a的值；

（2）若，求证：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l和曲线C相交于A，B两点，求的值．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围．

安康市2022届高三下学期4月第三次联合考试

数学（理科）

参考答案、提示及评分细则

1．D  设，则，，所以，解得，，所以．故选D．

2．C  由题意知，，所以．故选C．

3．A  由题可知，是该函数的周期的整数倍，即，解得，又，故其最小值为．故选A．

4．D  由题意，，

所以．故选D．

5．A  设正方体的棱长为，连接，MC，MB．因为，故或其补角为直线与直线所成的角．而，，，

故，所以，所以，

故直线与直线所成角的大小为30°．故选A．

6．C  由题意知直线定点，函数的图象是以为圆心，1为半径的半圆，如图所示．易求，的斜率分别为0，，由图知，当l介于与之间（含）时，l与函数的图象有两个公共点，即．故选C．

7．C 

．故选C．

8．A  设，，联立直线与抛物线的方程，得，则，又因为，根据抛物线的定义可得，即．故选A．

9．B  因为的展开式各项系数和为768，所以，因为，所以．由得，，令，或2，得（舍）或，所以的展开式含的项为．故选B．

10．A  ，，，

，所以，即，所以．故选A．

11．C  因为，，所以，因为的面积为，即，所以．由余弦定理知，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以bc的最小值为48．故选C．

12．D  设，，所以在R上单调递增．等价于，所以，又在R上单调递增，所以，解得，所以不等式的解集是，故选D．

13．或6  由题意得，即，所以或．

14．  由题意，得l的方程为，因为，所以，即，所以直线l的方程为，直线g的方程为，所以l，g之间的距离为．

15．-146.5（3分）  146.5（2分）  ，，由回归直线的性质知，所以，所以我国这几年的新生儿数量平均约以每年146.5万的速度递减．

16．  取BD的中点E，连结AE，CE，在△ACE中，，AC=3，可得∠AEC=120°．四面体外接球的球心必在过△ABD，△CBD的外接圆圆心且与其所在面垂直的直线上．设△CBD，△ABD外接圆的圆心分别为，，作平面CBD，平面ABD，则O即为四面体ABCD外接球的球心，连结OE，如图．在中，，，所以．在中，，所以，所以四面体ABCD外接球的表面积为．

17．解：（1）当时，；

当时，；

因为是等比数列，

所以，即，解得．

综上，k的值为4，数列的通项公式为．

（2）因为，

所以

．

18．（1）证明：如图所示，连接，与相交于点O，连接，

因为平面，平面平面，平面，

所以．

在中，点O是的中点，所以点D是的中点，即．

（2）解：因为，，所以，又因为底面ABC，

建立如图所示空间直角坐标系：

则，，，，，，

，，，．

设平面的一个法向量为，则

所以

令，解得，，则．

设平面的一个法向量为，

则所以

令，解得，，则．

所以，

故二面角的大小为45°．

19．解：（1）由得分情况的频率分布表得列联表如下：

，

因为，

所以没有95%的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关．

（2）由得分情况的频率分布表可知，参与网上测试且得分不低于9分的学生中，女生9人，男生6人，从而分层抽样抽取的10人中，女生6人，男生4人．

在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，

所以，，

，，

所以随机变量X的分布列为

所以．

20．（1）解：因为椭圆的右焦点为，

所以．①

因为点在C上，所以，②

又，③

由①②③，解得，．

故椭圆的标准方程为．

（2）证明：，设，，直线，

则．

由消去y得，

所以，，

所以

．

又因为，

所以，命题得证．

21．（1）解：设，则．

当时，，单调递增，，不满足恒成立；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为．

即，即．

设，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

即，故的解只有．

综上，．

（2）证明：先证当时，恒成立．

令，，所以在上单调递增，

又，所以．

所以要证，即证，

即证，即证．

设，则，

所以在上单调递减，

所以，即原不等式成立．

所以当时，．

22．解：（1）由消去t得．

由得，

因为，，

所以即．

所以直线l的普通方程为，

曲线C的直角坐标方程为．

（2）因为直线l的标准参数方程为代入，

消去x，y得．

设点A，B对应的参数为，，则，，

所以．

23．解：（l）即为，

①当时，得，即，此不等式无解；

②当时，得，解得，舍去；

③当时，得，解得（舍去）或．

故不等式的解集为．

（2）当时，则，

所以．

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，所以，

当时，，

当时，，即．

因为时，有最大值0，所以．

因此实数的取值范围是．