2022届四川省成都市石室中学高三上学期专家联测（一）数学（理）试题含解析

2022届四川省成都市石室中学高三上学期专家联测（一）

数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】化简集合，按照并集定义，即可求解.

【详解】，

.

故选:B.

【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.

2．若，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用特殊值判断ABD，根据不等式的性质判断C；

【详解】解：对于A：若，，显然满足，但是，故A错误；

对于B：若，，显然满足，无意义，故B错误；

对于C：因为，，所以，故C正确；

对于D：若，，显然满足，但是无意义，故D错误；

故选：C

3．如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】D

【分析】根据向量共线定理求解即可.

【详解】对A项，设，则，无解

对B项，设，则，无解

对C项，设，则，无解

对D项，，所以两向量为共线向量

故选：D

【点睛】本题主要考查了基底的概念及辨析，属于基础题.

4．已知，且，则（       ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据，可得，再利用二倍角的正弦公式及平方关系化简，即可得出答案.

【详解】解：由于，所以，故，，

因此，

即，即，

故.

故选：B.

5．设函数则满足的取值范围是

A．[-1,2] B．[0,2] C．[1,+） D．[0,+）

【答案】D

【分析】根据函数解析式，结合指对数函数的单调性，讨论不同区间对应的x范围，然后取并.

【详解】由，可得；或，可得；

综上，的取值范围是.

故选：D

6．在中，，则为（       ）.

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】B

【分析】由通过诱导公式辅助角公式化简可得，再由

化简可得，又三角形内角和为，所以 ，进而得出结果.

【详解】由可得即，再由辅助角公式化简得即，又，所以，再由可得，所以，又

，所以，所以，所以为直角三角形.

故选B.

【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式、辅助角公式的化简，属于基础题.

7．素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（       ）（参考数据：）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由2170，令2170＝k，化指数式为对数式求解．

【详解】解：2170．

令2170＝k，则lg2170＝lgk，

∴170lg2＝lgk，

又lg2≈0.3，∴51＝lgk，

即k＝1051，

∴与最接近的数为1051．

故选B．

【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，考查运算能力，是基础题．

8．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将问题转化为，，与交点的横坐标大小的比较，通过数形结合的方式可确定大小关系.

【详解】在同一坐标系中分别作出，，，的图象，如图所示．

由图可知，函数，，的零点分别为，，，

则，，，所以．

故选:A

9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的部分图象大致是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的性质以及特殊位置即可利用排除法选出正确答案．

【详解】因为函数定义域为，关于原点对称，而，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A，C；又因为，故排除B．

故选：D．

【点睛】本题主要考查函数图象的识别，涉及余弦函数性质的应用，属于基础题．

10．给定函数：①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是（       ）．

A．①③ B．③ C．②③ D．①④

【答案】C

【分析】根据基本函数的性质逐个分析判断即可

【详解】解：①在定义域上为增函数，则在区间上也为增函数；

②有意义时，，即，且，

则函数为上的减函数，故在区间上也为减函数；

③，对称轴为直线，且开口向上，

则函数在区间上为减函数，故在区间上也为减函数；

④，，则函数为R上的增函数，故在区间上也为增函数．

综上所述，②③为区间上单调递减的函数．

故选：C．

11．已知函数有唯一零点，则

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】【详解】因为，设，则

，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.

【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：

（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.

（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

12．已知定义在上的函数为增函数，且，则等于（   ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【分析】设f（1）=t，由题意知t≠0，令x=1，代入f（x）•f[f（x）+]=1，得f（t+1）=，令x=t+1代入f（x）•f[f（x）+]=1，得f（+）=t=f（1），由在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，得t2﹣t﹣1=0，由此能求出f（1）．

【详解】设f（1）=t，由题意知t≠0，

令x=1，代入f（x）•f[f（x）+]=1，得f（1）f[f（1）+1]=1，

即f（t+1）=，

令x=t+1代入f（x）•f[f（x）+]=1得，f（t+1）f[f（t+1）+]=1，

∴f（+）=t=f（1），

∵在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，

∴+=1，化简得t2﹣t﹣1=0，

解得，t=或t=．

∵定义在（0，+∞）上的函数f（x）为增函数，且f（x）•f（f（x）+）=1，

∴f（1）=．

故选A．

【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数的单调性、换元法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

二、填空题

13．若实数x，y满足约束条件，则的最小值是______.

【答案】-1.5

【分析】作出约束条件所表示的可行域，再利用直线截距的几何意义，即可得答案.

【详解】画出满足约束条件的可行域，如图所示.

目标函数化为.

由，解得，则.

当直线过点A时，取得最小值为.

故答案为：

14．已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表：

的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：

①在区间上单调递增；

②有2个极大值点；

③的值域为；

④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4．

其中，所有正确结论的序号是______．

【答案】③④

【分析】画出函数图象，数形结合作出判断.

【详解】根据函数的导函数的图象与表格，整理出函数的大致图象，如图所示．

对于①，在区间上单调递减，故①错误；

对于②，有1个极大值点，2个极小值点，故②错误；

对于③，根据函数的极值和端点值可知，的值域为，故③正确；

对于④，如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4，故④正确．

综上所述，所有正确结论的序号是③④．

故答案为：③④

15．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意的，恒成立，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】分析可知，从第二项起，数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，求出、，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】解：当时，由题意可知，，故．

当时，，

可得，

上述两个等式作差得，①

所以，②．

由②①，得，

所以从第二项起，数列的奇数项和偶数项分别成以为公差的等差数列．

当时，由，得．

若对任意的，恒成立，则，即，解得.

故答案为：.

三、解答题

16．设是函数的图象上一点，向量，，且满足.数列是公差不为0的等差数列，若，则______.

【答案】18

【分析】由向量共线求出函数的解析式，设，利用函数的单调性以及等差数列的性质讨论的值，从而求出的值.

【详解】由，得，整理得，

因为设函数，

则奇函数单调递增.

由，

可得

又数列为公差不为0的等差数列，

因此，即，

此时；

故答案为：

17．在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知.

条件①：；

条件②：.

(1)求b的值；

(2)求的面积.

【答案】(1)选条件①：；选条件②：

(2)选条件①：；选条件②：

【分析】（1）若选①：在三角形ABC中由正弦定理及余弦定理可得a，b关系式，解方程可得b的值；若选②：由正弦定理可得a，b，c的关系，再由余弦定理可得a，b，c的关系，再由A角的余弦值可得b的值．

（2）结合（1），利用三角形面积公式即可求出三角形的面积；

(1)

选条件①：.

在中，因为，所以.

因为，且，，，

所以，

化简得，解得或.

当时，，与题意矛盾，

所以，所以.

选条件②：.

在中，因为，且，

所以由，得.

因为，且，，，

所以，解得.

(2)

选条件①：.

因为，，所以，

所以.

选条件②：.

由（1）知，所以.

因为，，所以，

所以.

18．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．

（I）求和的通项公式；

（II）记，

（i）证明是等比数列；

（ii）证明

【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；

（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；

（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.

【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．

所以，所以，

所以；

设等比数列的公比为，

所以，解得（负值舍去），

所以；

（II）（i）由题意，，

所以，

所以，且，

所以数列是等比数列；

（ii）由题意知，，

所以，

所以，

设，

则，

两式相减得，

所以，

所以.

【点睛】关键点点睛：

最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.

19．已知函数，再从下列条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

条件①：的最大值与最小值之和为；条件②：.

(1)求的值；

(2)求函数在上的单调递增区间.

【答案】(1)选①：；选②：.

(2)选①或②，函数在上的单调递增区间为.

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据所选条件①或②可得出关于实数的等式，由此可解得对应的实数的值；

（2）选①或②，由可得，解不等式即可得解.

(1)

解：选①：

，

则，，

由已知可得，解得，此时.

选②：

，

，解得，此时.

(2)

解：选①：由可得，

由，解得，故函数在上的单调递增区间为；

选②：同①.

20．已知函数.

（1）求的极值；

（2）已知，且对任意的恒成立，求的最大值；

（3）设的零点为，当，，且时，证明：.

【答案】(1)极小值为-1，无极大值；(2)3；(3)证明见解析.

【分析】(1)对函数求导，分析导函数在其零点分定义区间上的正负即可得解；

(2)将给定不等式等价转化，构造函数，并讨论其最值即可得解；

(3)讨论函数的零点，构造函数并讨论其单调性，再借助单调性即可作答.

【详解】(1) 函数定义域为，，

时时，时，取得极小值，无极大值，

所以的极小值为-1，无极大值；

(2)，令，

，

由(1)知在上单调递增，而，

，即，当时，，当时，，

于是得在上递减，在上递增，

则时，，

从而有，而，则，

所以的最大值是3；

(3)由(1)知在上递增，，，

即大于1的零点，

令，，

显然在上单调递减，，

于是得，在上单调递减，，且时，，

即，

所以，且时，..

21．已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数的极小值为0，.

①求的值；

②若对于任意的，，有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）单调减区间为（2）①②

【分析】（1）首先求出导函数，利用导数与函数单调性的关系即可求解.

（2）①由已知可得，，求出导函数，令，利用导数与极值的关系即可求解； ②设，根据题意只需成立，求出，结合①分类讨论，若，当时，，不满足，故必有，令，解得，根据与定义域的关系进行讨论：分或，利用导数求出即可求解.

【详解】解：（1）由已知得，

令，方程无实数解，

可知对任意都有，所以函数的单调减区间为，无增区间.

（2）由已知化简得，.

①，令，解得.

当变化时，，的变化情况如下表：

故极小值.因为极小值为0，所以.

②设，

根据题意，对任意的，，有成立，

可得.

由①可知，当时，在处取得最小值0，

又因为在上递增，所以当时，.

若，则当时，，不符题意，舍去.故必有.

令，解得.

下面根据与定义域的关系进行讨论：

当，即时，在上恒成立，

因此在，上递减，从而当，时，

总有，故符合题意；

当，即时，可知对任意的，恒成立，

因此在，内递增.

因为，所以当时，，不合题意.

综上，的取值范围是.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、根据函数的极值求参数值、利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题.

22．在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为，以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，l与x轴交于点M．

求l的直角坐标方程，点M的极坐标；

设l与C相交于A，B两点，若、、成等比数列，求p的值．

【答案】（1），；（2）

【分析】直接利用转换关系，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．

写出直线l的参数方程并代入曲线C中，写出韦达定理利用参数t的几何意义进行求解.

【详解】解：由得，，

的直角坐标方程．

令得点M的直角坐标为，

点M的极坐标为 ．

由知l的倾斜角为，参数方程为,为参数,代入，

得，

．

，

，

．

，

．

【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于基础题.

23．已知设函数

（1）若，求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为1，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据题意，只需解，再分类讨论求解即可；

（2）由题知，进而根据柯西不等式即可证明.

【详解】（1），不等式，

即

当时，

当时，

当时，

∴不等式的解集为

（2）

∵，∴

∴

.