2022届江苏省扬州中学高三下学期4月阶段性检测数学试题含解析

2022届江苏省扬州中学高三下学期4月阶段性检测数学试题

一、单选题

1．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图中阴影部分表示求解即可.

【详解】由题知：图中阴影部分表示，

，则.

故选：A

2．的展开式中的系数为（       ）

A． B．24 C． D．60

【答案】D

【分析】利用展开式的通项公式即得.

【详解】由题可得展开式的通项公式为，

故的展开式中的系数为60.

故选：D.

3．“”是“复数为纯虚数”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充要条件的判定，分别验证充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果.

【详解】当时，，则为纯虚数

可知“”是“复数为纯虚数”的充分条件；

当复数为纯虚数时，，解得：

可知“”是“复数为纯虚数”的必要条件；

综上所述，“”是“复数为纯虚数”的充要条件

故选：C

4．双曲线的离心率为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】将双曲线方程化为标准形式，直接求离心率即可.

【详解】由题意知：，故离心率为.

故选：D.

5．已知某批零件的长度（单位：毫米）服从正态分布，从中随机抽取一件，其长度落在区间内的概率为（       ）

（附：若随机变量服从正态分布，则，）

A．4.56% B．13.59%

C．27.18% D．31.74%

【答案】B

【分析】利用原则，分别求出的值，再利用对称性求出.

【详解】正态分布中，，

所以，

，

所以.

故选：B.

6．函数在上的图象如图所示，则的解析式可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由为偶函数，可排除A；当时，，可排除C；当时，函数，可排除D，即可求解.

【详解】由函数图像知，为偶函数，

对于A中，函数为非奇非偶函数，所以可排除A项；

对于C中，当时，，

当时，取得最小值，不符合题意，排除C项；

对于D中，函数，当时，函数，可排除D项；

综上可得，只有选项B符合题意.

故选：B.

7．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（       ）

A． B．直线与直线的斜率之积为

C．存在点满足 D．若△的面积为，则点的横坐标为

【答案】D

【分析】根据椭圆的概念和几何性质依次判断选项即可.

【详解】对选项A，，故A错误；

对选项B，设，则，，

，，

则，故B错误.

对选项C，因为椭圆，，，，

所以以为直径的圆与椭圆无交点，故不存在点满足，故C错误；

对选项D，，则，

则，解得，故D正确.

故选：D

8．已知，则下列大小关系中正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】A.构造函数，利用其单调性比较大小；

B.构造函数，利用其单调性比较大小；

C.构造函数及函数，利用其单调性比较大小；

D.将转化为，判断的大小关系即可.

【详解】，则，且，

A.因为函数在上单调递减，故，A错误；

B.因为函数在上单调递减，故，B错误；

C.因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， ，C正确；

D.

，

又，，D错误；

故选：C.

二、多选题

9．已知函数，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．是图象的一条对称轴

C．的最小正周期为

D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称

【答案】AC

【分析】变形得，然后根据三角函数的性质逐一判断即可.

【详解】，A正确；

，由于在对称轴处函数值要取到最值，故B错误；

，C正确；

将的图象向左平移个单位后得

，其为偶函数，不关于原点对称，D错误.

故选：AC.

10．已知，则下列结论正确的是（ ）

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】AD

【分析】A.根据，利用“1”的代换，利用基本不等式求解判断； B. 根据，转化为二次函数求解判断； C. 由，得到，再利用对数运算求解判断； D. 根据，利用基本不等式求解判断.

【详解】A.因为，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，故正确；

B. 因为，所以，所以，当时，取得最小值，故错误；

C. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为，故错误；

D. 因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故正确；

故选：AD

11．已知为坐标原点，圆，则下列结论正确的是（       ）

A．圆恒过原点

B．圆与圆内切

C．直线被圆所截得弦长的最大值为

D．直线与圆相离

【答案】ABC

【分析】A.代入点可判断；B.计算圆心距离与半径差的大小关系；C.利用垂径定理求弦长然后求最值；D.求圆心到直线的距离来判断.

【详解】A.代入点得恒成立，A正确；

B.，即两圆心距离等于两圆半径差，B正确；

C. 直线被圆所截得弦长为

，

，

即直线被圆所截得弦长的最大值为，C正确；

D.圆心到直线的距离，故圆和直线相切或相交，D错误；

故选：ABC.

12．如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（       ）

A．的取值范围是

B．若与平面所成的角为，则

C．若三棱锥的外接球表面积为，则，

D．四面体的体积是定值

【答案】BC

【分析】利用空间向量数量积的定义可判断A选项的正误；利用线面角的定义可判断B选项的正误；利用建系的方法计算出的外接球的半径的取值范围，结合球体的表面积公式可判断C选项的正误；利用锥体的体积公式可判断D选项的正误.

【详解】在中，，

所以，

因为，所以，

所以的取值范围是，故A错误；

由于面，所以与面所成的角为，

所以，因为，所以，故B正确；

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

线段的中点为，线段的中点为，

设球心为，点，则，

由可得，

化简可得，则，

易知，则，

，因此，，C选项正确；

因为直四棱柱，所以点到面的距离为1，

所以，

由于不为定值，得不为定值，故D错误.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：

（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；

（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；

（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.

三、填空题

13．命题“，”的否定为___________.

【答案】，

【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出.

【详解】由全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，可得：命题“，”的否定为“，”.

故答案为：，.

14．已知，若，则________．

【答案】2.5

【分析】利用数量积为零可求，从而可求.

【详解】因为，故，故，

故，

故答案为：

15．已知函数，，，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为________．

【答案】

【分析】根据函数的对称性和零点，结合函数极大值点的定义进行求解即可.

【详解】由，所以函数关于直线对称，

于是有：，

由，

于是，解得，

令，所以，

令时，，，

令时，，，

因为在区间上有且只有一个极大值点，

所以（为函数的最小正周期），因为，

所以有，即，

当时，，所以，

此时有两个极大值点，不符合题意；

当时，，此时此时有一个极大值点，符合题意，

故答案为：

【点睛】关键点睛：利用函数的对称性、零点、函数极值的定义和正弦函数的性质是解题的关键.

四、双空题

16．在数列中，，，，则______；的前2022项和为______．

【答案】          2024

【分析】求出数列前若干项，根据其周期性可解.

【详解】由，得，又，

所以，，，，，

可知数列为周期数列，周期为4，

故.

故答案为：；2024.

五、解答题

17．已知数列的前n项和为，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据所给条件先求出首项，然后仿写，作差即可得到的通项公式;

（2）根据（1）求出的通项公式，观察是由一个等差数列加一个等比数列得到，要求其前项和，需采用分组求和法，即可求出前项和．

【详解】(1)∵，①

当时，，即

当时，．②

由①－②得，即

∴数列是以2为首项，4为公比的等比数列．

∴

(2)由（1）知

∴，

∴．

18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，，点D在边BC上，且，求线段AD的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简可得角；

（2）中由余弦定理求得，再由余弦定理求得，然后在中由余弦定理求得．

【详解】(1)在中，由正弦定理得       

因为，代入得

即．       

又，所以．             

又，所以．

(2)在中，由余弦定理得

所以，．             

在中，由余弦定理得．             

在中，由余弦定理得，

所以．

19．垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程．搞好垃圾分类收集处理，可为政府节省开支，为国家节约能源，减少环境污染，是建设资源节约型社会的一个重要内容．为推进垃圾分类收集处理工作，A市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育，为了解市民能否正确进行垃圾分类处理，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）：

（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关？

（2）将频率视为概率，现从A市55岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量的分布列和均值．

附：，其中．

【答案】（1）有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关；（2）答案见解析.

【分析】（1）根据列联表计算，再根据临界值参考数据比较大小，即得结论；（2）由条件可知，根据二项分布计算分布列和数学期望.

【详解】解：（1）由列联表可知，

因为，

所以有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关．

（2）由题意可知，从该市55岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，

不能正确进行垃圾分类的频率为，

所以，的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

所以的分布列为

所以．

【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并能判断变量服从二项分布.

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=PC.

(1)求直线CE与直线PD所成角的余弦值；

(2)当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用坐标法，利用向量夹角公式即得；

（2）利用线面角的向量求法，然后利用基本不等式即得.

【详解】(1)以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则、、、，

从而

∴,

即与所成角的余弦值为；

(2)点在棱上，且，

所以，

于是，，

又，．

设为平面的法向量，则

，可得，取，则，

设直线与平面所成的角为，则

令，则，

所以，

当，即时，有最小值，

此时取得最大值为，即与平面所成的角最大，

此时，即的值为．

21．已知椭圆的离心率为，过的右顶点的直线与的另一交点为.当为的上顶点时，原点到的距离为.

(1)求的标准方程；

(2)过与垂直的直线交抛物线于两点，求面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用点到直线距离、离心率和椭圆关系可构造方程组求得，由此可得椭圆方程；

（2）当直线斜率为时，易求得；当直线斜率不为时，分别将直线与椭圆、直线与抛物线方程联立，求得，进而得到，采用换元法，令，利用导数可求得最小值；综合两种情况可得所求面积的最小值.

【详解】(1)由题意知：，

若为的上顶点，则，，即，

原点到的距离，

又离心率，，，，

椭圆的标准方程为：.

(2)由题意知：直线斜率存在；

①当直线斜率为时，，；此时直线，

则，，；

②当直线斜率存在且不为时，，

由得：，

又，，则，；

又直线，

由得：，；

的焦点为，，

又，

，

设，则，，

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，，

即；

综上所述：面积的最小值为.

【点睛】思路点睛：求解直线与圆锥曲线综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③结合弦长公式、点到直线距离公式等知识，利用变量表示出所求三角形的面积；

④将所求三角形面积转化为关于变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.

22．已知函数，其中.

(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；

(2)若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，由函数在上单调递增，转化为在上恒成立.令，利用导数判断出在上单调递增，求出，即可求出的取值范围；

(2)先判断出时有两个极值点，且.得到.令，则，得到，.令利用二次求导判断出在上递增.求出，得到的取值范围是.

【详解】(1)因为，所以，

因为函数在上单调递增，

所以在上恒成立，

所以在上恒成立，

故令，则在上恒成立，

所以在上单调递增，故，

所以，即的取值范围是.

(2).

对函数，设上一点为，

过点的切线方程为，

将代入上式得，

所以过的的切线方程为

所以，要使与有两个交点，则.

此时有两个极值点，且.

，

令，则，所以，

所以，即，所以，

令，令，

所以在上递增.

因为，所以在上恒成立.所以在上恒成立.

所以在上递增.

又，

所以当时，，

所以的取值范围是.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．