2021-2022学年四川省绵阳市江油中学高二上学期第三次阶段考试数学（理）试题含解析

2021-2022学年四川省绵阳市江油中学高二上学期第三次阶段考试数学（理）试题

一、单选题

1．空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据空间直角坐标系的对称性可得答案.

【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于平面的对称点的坐标为，

故选：D.

2．直线x+y+1=0的倾斜角为

A．150° B．120° C．60° D．30°

【答案】A

【解析】【详解】试题分析：直接利用倾斜角的正切值等于斜率求解．

解：设直线的倾斜角为α（0°＜α＜180°），则tanα=．

所以α=150°．

故选A．

【解析】直线的一般式方程．

3．给出下列三个问题：

①从高二（3）班60名学生中，抽出8名学生去参加座谈；

②将全年级学号尾数为5的同学的作业收来检查；

③甲乙丙三个车间生产了同一种产品分别为60件，40件，30件，为了解产品质量，取一个容量为13的样本调查．

则以上问题适宜采用的抽样方法分别是（       ）

A．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样 B．简单随机抽样、分层抽样、系统抽样

C．系统抽样、分层抽样、简单随机抽样 D．系统抽样、简单随机抽样、分层抽样

【答案】A

【分析】根据简单的随机抽样、系统抽样和分层抽样的概念和方法，依次判定，即可求解.

【详解】①中，从高二（3）班60名学生中，抽出8名学生去参加座谈，因为总体较少，采用简单的随机抽样进行抽取即可；

②中，将全年级学号尾数为5的同学的作业收来检查，根据系统抽样的概念，采用系统抽样抽取即可；

③中，甲乙丙三个车间生产了同一种产品分别为60件，40件，30件，为了解产品质量，取一个容量为13的样本调查，因为总体的构成明显分为三层，采用分层抽样的方法抽取即可．

故选：A.

4．双曲线的渐近线方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将双曲线方程变为标准方程，即可得出答案.

【详解】解：由双曲线，得，

所以其渐近线方程为.

故选：B.

5．执行如图的程序框图，输出的x的值是（       ）

A．2 B．14 C．11 D．8

【答案】B

【分析】根据程序框图依次执行即可得出．

【详解】第一次运行，，，，

第二次运行，，，，，

第三次运行，，，，，

第四次运行，，，，，

终止运行，输出．

故选：B

6．圆关于直线对称的圆的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程.

【详解】圆的圆心 半径为 ，由得设对称点的坐标为 ，利用两圆心的连线与直线垂直，两圆心的中点在直线上列方程求解， ，化简得，解得所以对称圆的方程为.

故选:C.

7．天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0--9之间整数值的随机数，并制定用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数

907   966   191   925   271   932   812   458   569   683

431   257   393   027   556   488   730   113   537   989

则这三天中恰有两天下雨的概率近似为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：阅读随机数表可知，满足题意的数据为： ,

据此可知：这三天中恰有两天下雨的概率近似为 .

本题选择B选项.

8．若直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由，求得直线的交点坐标，代入直线，得到，然后将点到原点的距离的最小值，转化为原点到直线的距离求解.

【详解】由，解得，

所以直线的交点为，

因为交点在直线上，

所以，

所以点到原点的距离的最小值为，

故选：D

9．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示，则下列结论正确的是(　　)

A．，且甲比乙成绩稳定 B．，且乙比甲成绩稳定

C．，且甲比乙成绩稳定 D．，且乙比甲成绩稳定

【答案】A

【分析】利用茎叶图求出甲、乙两位同学的平均成绩和方差，分别比较这两个数的大小，可得出结论．

【详解】由茎叶图可知，甲同学成绩的平均数为，

方差为，

乙同学成绩的平均数为，

方差为，则，，

因此，，且甲比成绩稳乙定，故选A．

【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数和方差的计算，在求解有关茎叶图中数据的计算时，先将数据由小到大或由大到小排列，结合相关公式进行计算， 考查计算能力，属于中等题．

10．若曲线存在到直线距离相等的点，则称相对直线“互关”.已知曲线相对直线“互关”，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而得出圆上点到直线的最大距离，当时满足题意；当时，利用导数的几何意义求出曲线的切点坐标，根据点到直线的距离公式求出切点到直线的距离，结合计算即可.

【详解】由题意知，

圆的圆心坐标为，半径为，

圆心到直线的距离为，

所以圆上的点到直线的最大距离为；

当时，为开口向上的抛物线，、存在到直线l距离相等的点，符合题意；

当时，由，得，设点为曲线上的一点，

则曲线上过点P的切线方程的斜率为，

又过点P且与直线平行的切线方程的斜率为1，所以=1，，所以切点，

此时切点到直线的距离为，

由，得，即，

解得，所以

综上所述，

故选：B

11．某中学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，随机询问了100名性别不同的学生，得到如下的列联表：

附：

根据以上数据，该数学兴趣小组有多大把握认为“喜爱该食品与性别有关”？

A．99%以上 B．97．5%以上 C．95%以上 D．85%以上

【答案】C

【详解】 由题意得，根据公式可得，则，

所以有95%的把握性认为“喜爱该食品与性别有关”，故选C.

12．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，是双曲线的左焦点，两曲线交于、两点，若，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出图形，分析可知、两点关于轴对称，可得出，设抛物线的准线为直线，则过点，过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得出，求得，利用余弦定理可求得，进而可得出，再利用双曲线的定义可得出关于、的等式，进而可求得双曲线的离心率.

【详解】因为抛物线与双曲线均关于轴对称，

且两曲线交于、两点，则、两点关于轴对称，故，

设抛物线的准线为直线，则过点，过点作，垂足为点，

由抛物线的定义可得，则，

所以，，所以，为等腰直角三角形，且，

轴，所以，，

由余弦定理可得，

整理可得，所以，，则，

由双曲线的定义可得，则.

故选：D.

二、填空题

13．设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______．

【答案】

【分析】设点，根据可得出点的轨迹方程，可知圆与椭圆相交，可得出，由此可求得椭圆离心率的取值范围.

【详解】设点，易知、，则，

故点的轨迹为圆，

由题意可知，圆与椭圆相交，

由图可知，即，可得，又因为，故.

故答案为：.

14．一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖上的概率是______

【答案】

【解析】利用几何概型求概率.

【详解】小蚂蚁在地板砖的任何一个地方都是等可能的，所以可以看成几何概型，共有9块，黑色的有4块，所以它最后停留在黑色地板砖上的概率.

故答案为：

15．若关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是_____

【答案】

【分析】转化为半圆与直线的交点个数为2，数形结合求出m的取值范围.

【详解】令，化简得：，故图象为圆心为，半径为1的圆的位于轴上半部分，而为过点的直线，如图，

当直线斜率位于直线AC和直线AB之间时，有两个交点，即方程有两个根，其中，而圆心到直线AB距离，解得：或0（舍去），所以.

故答案为：

16．过椭圆右焦点F的直线交椭圆短轴于点，交椭圆于两点，若，则的最小值为_______

【答案】

【分析】根据题意得直线的斜率存在，设方程为，则，进而得，再联立方程，设，根据向量关系得，，最后结合韦达定理求解即可得答案.

【详解】解：由题知，直线的斜率存在，设方程为，则

由于点在短轴上，故，即，

联立方程得

设，

所以，，

，

因为，

所以，，

所以

，

因为，故

所以，即的最小值为

故答案为：

三、解答题

17．某化工厂为预测产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现收集了4组对照数据.

(1)请根据相关系数的大小判断回收率与之间是否存在高度线性相关关系；（精确到小数点后两位）

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测当时回收率的值.

参考数据：，，

【答案】(1)0.98，x与y高度线性相关

(2)，12

【分析】小问1：由题意计算可得，则与之间存在高度线性相关关系；

小问2：由题意求得回归方程为.据此预测当时，．

(1)

     所以，x与y高度线性相关

(2)

根据最小二乘法

     所以，回归方程                    

当时，

18．已知，，以为邻边作平行四边形

(1)求点的坐标；

(2)过点A的直线l交直线BC与点E，若，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2)和

【分析】（1）根据，设列出方程，求得的值，即可求解；

（2）要使，得到点B，C到直线l 的距离之比为2，分直线l的斜率存在和不存在，两种情况，结合点到直线的距离公式，即可求解.

(1)

解：由题可知，以为邻边作平行四边形，可得，

所以，

设且，则可得，

解得，所以的坐标为.

(2)

解：要使，则点B，C到直线l 的距离之比为2，

当斜率存在时，设l的方程为，即

所以由，可得，即，解得，

所以直线l的方程为.

当直线斜率不存在时，l的方程为，此时，仍符合题意.

综上：l的方程为和.

19．为了解我校高二数学复习备考情况，年级组织了一次检测考试，并随机抽取了100人的数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，估计该次检测数学成绩的平均数及中位数（精确到小数点后一位）；

(2)现准备从成绩在的8人中随机选出2人交流发言，求恰好抽到2人成绩在的概率．

【答案】(1)＝103.2，；

(2).

【分析】(1)根据频率分布直方图平均数和中位数计算方法计算即可；

(2)利用枚举法枚举出8人选2人的基本事件，求出其总数，再求出2人成绩在的事件数量，由此即可求出概率.

(1)

该校此次检测理科数学成绩平均成绩约为：

＝65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03＝

103.2．

因为成绩在的频率为0.4，设中位数，则

所以，；

(2)

设成绩在的5位同学位，成绩在的3位同学为．从中选出2位同学，基本事件为：

，

，

共28个，而2位同学成绩恰在内的事件有3个，

所以8人中随机选出2人交流发言，恰好抽到2人成绩在的概率为.

20．已知E是曲线上任一点，过点E作x轴的垂线，垂足为H，动点D满足

(1)求点D的轨迹的方程；

(2)若点P是直线l：上一点，过点P作曲线的切线，切点分别为M，N，求使四边形OMPN面积最小时的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）相关点法求轨迹方程；（2）表达出四边形OMPN面积，转化为当OP最小时，面积最小，利用点到直线距离求出OP最小值，进而求出答案.

(1)

设

由得，，所以

所以，点D的轨迹方程为

(2)

由圆的切线性质知，切线长

所以，四边形面积，

所以，当OP最小时，面积最小．

而OP的最小值即为O到直线的距离，此时

又因为，所以此时.

21．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离小1．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意得到曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，再利用抛物线的定义求解；

（2）设直线方程为，联立，根据以线段为直径的圆过点，则，由求解.

【详解】（1）因为曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离小1，

所以曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，

所以曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线，即，

所以曲线的方程为．

（2）根据题意设直线方程为，，，，，

联立，可得，

所以，，

则，

因为以线段为直径的圆过点，

所以，

则，，，

即（舍去）或，

所以直线的方程为，即，

所以直线经过定点．

22．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程;

（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），（2）存在符合条件的圆，且此圆的方程为，定值为

【解析】（1）利用离心率和点在椭圆上列出方程，解出即可

（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，先将直线的方程与椭圆的方程联立，利用直线与椭圆有且仅有一个公共点，推出，然后通过直线与圆的方程联立，

设，，结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出为定值，然后再验证直线的斜率不存在时也满足即可

【详解】（1）由题意得：，

又因为点在椭圆上

所以

解得

所以椭圆的标准方程为：

（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为

证明如下：

假设存在符合条件的圆，且设此圆的方程为：

当直线的斜率存在时，设的方程为

由方程组得

因为直线与椭圆有且仅有一个公共点

所以

即

由方程组得

则

设，，则

设直线，的斜率分别为，

所以

将代入上式得

要使得为定值，则，即

所以当圆的方程为时，

圆与的交点，满足为定值

当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为

此时圆与的交点，也满足为定值

综上：当圆的方程为时，

圆与的交点，满足为定值

【点睛】涉及圆、椭圆的弦长、交点、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.