第5题 立体几何中的线面关系——【新课标全国卷（理）】2022届高考数学三轮复习考点题号一对一

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1.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
2.已知圆柱的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆，圆上的点，若异面直线，所成的角为，则( )
A.B.C.2或D.2或
3.如图，E，F分别是三棱锥的棱AP，BC的中点，，，，则异面直线AB与PC所成的角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
4.如图，在圆柱中，正三棱柱的所有顶点分别在圆柱的上、下底面的圆周上，F为上一点，，E为BC的中点，则下列关系正确的是( )
①平面；②平面；③平面；④平面.
A.①②B.①③C.②③D.③④
5.在底面为正方形的长方体中，，P，R分别为的中点，则直线与AR所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
6.在正方体中，O为底面ABCD的中心，P是的中点，设Q为上的点，要使平面平面PAO，则点Q( )
A.与C重合
B.与重合
C.为的三等分点
D.为的中点
7.已知四棱锥，底面ABCD为矩形，侧面平面ABCD，，，若点M为PC的中点，则下列说法正确的是( )
A.平面PCD
B.平面MBD
C.四棱锥外接球的表面积为
D.四棱锥的体积为6
8.如图所示，在正四面体中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
9.如图，在各棱长均为1的正三棱柱中，M，N分别为线段上的动点，且平面，则这样的MN有( )
A.1条B.2条C.3条D.无数条
10.已知正三棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦值为( )
A.B.C.D.
11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在如图所示的四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
12.已知正四棱柱中，，，E为的中点，则直线与平面BED的距离为( )
A.1B.C.D.2
13.如图，在四棱柱中，四边形为平行四边形，E，F分别在线段DB，上，且.若G在线段上，且平面平面，则( )
A.B.C.D.
14.如图，沿着等腰直角三角形ABC斜边上的高BD将三角形ABD折起，使点A到达点的位置，且，则直线与平面BCD所成的角为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
15.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，且，M为PC上一动点.若，则MB的长度为( )
A.B.C.D.
答案以及解析
1.答案：C
解析：如图，将长方体补成长方体，使，易知，所以或其补角为异面直线与所成的角.易知，，.在中，由余弦定理的推论得，所以异面直线与，所成角的余弦值为.故选C.
2.答案：C
解析：设过B的母线为BD，连接AD，则，，四边形为平行四边形，，异面直线，所成的角或其补角，或，当时，，此时；当时，由余弦定理得，此时，所以或2.故选：C.
3.答案：B
解析：如图，取AC的中点D，连接DE，DF，因为D，E，F分别为AC，PA，BC的中点，所以，，，，所以或其补角为异面直线PC与AB所成的角.因为，，所以在中，，，，由余弦定理得，所以，所以异面直线PC与AB所成的角为60°.故选B.
4.答案：B
解析：对于①，为的重心，，，又，，又平面，平面，平面，①正确；
对于②，由①知：，又，与相交，又平面，与平面相交，②错误；
对于③，为等边三角形，为中点，，由①知，，平面，平面，；又，平面，平面，③正确；
对于④，由①知：，又为等边三角形，，异面直线与AB所成角为，即与AB不垂直，
平面不成立，④错误.
故选：B.
5.答案：C
解析：在长方体中，连接AC，如图，
因P为的中点，则必过点P，又长方体对角面是矩形，即，因此，于是得直线与AR所成角即为直线CA与AR所成角，连接CR，因R为的中点，，而ABCD是正方形，则，即为正三角形，，，所以直线与AR所成角的正弦值为.
故选：C.
6.答案：D
解析：当Q为的中点时，平面平面PAO.证明如下：因为Q为的中点，P是的中点，所以，又平面PAO，所以平面PAO.连接DB，因为P，O分别为，DB的中点，所以.因为平面PAO，所以平面PAO.又，所以平面平面PAO.
7.答案：B
解析：在四棱锥中，因为侧面平面ABCD，面平面，，所以平面PCD，因为过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；
连接AC交BD于O，连接MO，在中，，平面MBD，平面MBD，所以平面MBD，所以选项B正确；
取CD中点N，连接PN，在矩形ABCD中，易得，，，在中，，在中，，所以，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为3，所以其体积为，所以选项C不正确；
四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，因为，侧面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD，，所以四棱锥的体积，所以选项D错误.
故选：B.
8.答案：B
解析：在正四面体中，E为棱AD的中点，设棱长为a，如图所示，过A作平面BCD，垂足为O，
则O为的中心，连接DO并延长，交BC于G，过E作于F，连接FC，则即为CE与平面BCD所成的角.
由，得，
所以，
由，得，
所以.又，
所以在中，.故选B.
9.答案：D
解析：如图，过线段上任一点M作，交AB于点H，过点H作交BC于点G，过点G作的平行线，与一定有交点N，且平面，则这样的MN有无数条.故选D.
10.答案：C
解析：如图所示，过点S作底面ABC，点O为垂足，连接OA，OB，OC，则，点O为等边三角形ABC的中心.延长AO交BC于点D，连接SD.则， .
为侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角.
正三棱锥的所有棱长均为2，
，.
在中，.故选C.
11.答案：C
解析：因为底面ABCD，所以，，，
又四边形ABCD为正方形，所以，
所以平面PCD，所以，所以四面体PDBC是一个鳖臑.
因为平面PCD，所以.
因为，点E是PC的中点，所以，
又，所以平面PBC，所以，
可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑.
同理可得，四面体PABD和FABD都是鳖臑.
故选C.
12.答案：A
解析：如图，连接AC交BD于点O.在中，易证.又平面BDE，平面BDE，平面BDE，直线与平面BED的距离为点A到平面BED的距离.连接AE.在三棱锥中，.在三棱锥中，，，，.设点A到平面BED的距离为h，则，解得，故选A.
13.答案：B
解析：四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且，平面平面在上且平面平面.又.故选B.
14.答案：A
解析：因为BD为等腰直角三角形ABC斜边上的高，所以，又，所以平面.过点作于点E，则，所以平面BCD，连接BE，则就是直线与平面BCD所成的角.设，则在直角三角形中，，所以，又，所以，所以直线与平面BCD所成的角为30°.故选A.
15.答案：B
解析：如图所示，连接AC，BD.因为底面ABCD为正方形，所以.又因为底面ABCD， 平面ABCD，所以.因为，平面PAC， 平面PAC，所以平面PAC.因为平面PAC，所以.因为，平面BDM， 平面BDM，所以平面BDM.又因为平面BDM，所以.因为底面ABCD为正方体，所以.又底面ABCD， 平面ABCD，所以.因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB.又因为平面PAB，所以.在中，，所以.中，.又，所以.