理科数学2022届高考考前冲刺卷（五）教师版

2022届高考考前冲刺卷

理 科 数 学（五）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】或，所以，

所以得，故选D．

2．复数（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，

所以其共轭复数为，则其虚部为，故选B．

3．若数列是等差数列，，，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【解析】解：令，

因为，，所以，，所以，

所以，所以，故选A．

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，

所以，解得，

所以，故选B．

5．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，，

所以，故选B．

6．若实数，满足不等式组，则的最小值是（    ）

A． B．0 C．1 D．

【答案】C

【解析】作出可行域如图所示：

记，可化为，看成斜率为的直线l，

平移直线l经过点A时，纵截距最小，此时A满足，解得，

即，

代入可得，

即的最小值是1，故选C．

7．考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】问题①，由，解得，

则．

问题②，根据题意，事件B的可能情况有种，

事件发生的可能情况为种，

所以，，故选C．

8．已知圆，圆（且），则圆与圆的公切线有（    ）

A．4条 B．1条 C．2条 D．3条

【答案】C

【解析】解法一：圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

所以，圆心之间的距离，

因为，

故两圆相交，有两条公切线．

解法二：

两圆有，两个公共点，故两圆相交，有两条公切，

故选C．

9．已知函数的图象如图所示，则下面描述不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意：可得，，

因为，所以，

又，

则，即，

因为，则，

所以函数，

所以，，

故选D．

10．已知曲线的左、右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于2，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，，

设点，则，有，

由直线与的斜率之积等于2，得，

所以C的离心率，故选B．

11．设，若为函数的极小值点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，

得，

令，则或．

当，即时，

若时，则在，上单调递增，在上单调递减，

所以是函数的极大值点，不合题意；

若时，则在，上单调递减，在上单调递增，

所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，，可得，

当时，，

若时，在，上单调递减，在上单调递增，

所以是函数的极大值点，不合题意；

若时，在，上单调递增，在上单调递减，

所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，，得，

综上，一定成立，所以C正确，ABD错误，

故选C．

12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则不等式在上的解集为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】由题可得函数关于轴对称，

又因为为奇函数，所以关于原点中心对称，由此可得函数是周期为2的函数，

因为当是，令，所以，

即在上单调递增，所以，即，

又因为时，，所以，

所以在上，，

由函数的对称性和周期性，做出函数的草图及的图象，

结合图象，可得不等式在上的解集为，

故选A．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知向量，，若，则实数__________．

【答案】

【解析】因为，

所以由，可得，

解得，

故答案为．

14．我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如_________（填“＞”“＜”）．

【答案】>

【解析】令，则，

令，则，

所以，，

根据题设知：，

故答案为．

15．如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于的位置”的概率为_________．

【答案】

【解析】由图可知，若想通过6次移动最终停在的位置上，则必然需要向右移动2次且向左移动4次，记向右移动一次为R，向左移动一次为L，

则该题可转化为RRLLLL六个字母排序的问题，故落在上的排法为，

所有移动结果的总数为，

所有落在上的概率为，故答案为．

16．如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点，有下列结论：

①当H为DE的中点时，GH∥平面ABE；

②存在点H，使得GH⊥AE；

③三棱锥B−GHF的体积为定值；

④三棱锥E−BCF的外接球的表面积为．

其中正确的结论序号为________．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①③④

【解析】对①：当H为DE的中点时，取中点为，连接，如下所示：

因为分别为的中点，故可得，，

根据已知条件可知：//，故//，

故四边形为平行四边形，则//，

又面面，故//面，故①正确；

对②：因为面面，故，

又四边形为矩形，故，则两两垂直，

以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：

则，设，，

若GH⊥AE，则，

即，解得，不满足题意，故②错误；

对③：，因为均为定点，故为定值，

又//面，面，故//面，

又点在上运动，故点到面的距离是定值，

故三棱锥的体积为定值，则③正确；

对④：取的外心为，过作平面的垂线，

则三棱锥的外接球的球心一定在上，

因为面，面面，则，

又，面，故面，

又面，

则//，故在同一个平面，

则过作，连接如图所示．

在中，容易知，

则由余弦定理可得，故，

则由正弦定理可得，

设三棱锥的外接球半径为，则，

在中，，，

又，

故由勾股定理可知，

即，解得，

则该棱锥外接球的表面积，故④正确，

故答案为①③④．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知等差数列的前n项和为，，．

（1）求的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设的公差为d，由题意可得，

解得，，

可得．

（2）由（1）知，

所以，

．

所以

，

所以．

18．（12分）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”．某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：

（1）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？

（2）若从年龄在的被调查人群中随机选出3人进行调查，设这三人中打算购买冰墩墩的人数为X，求X的分布列和数学期望．

参考数据：，其中．

【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）解：由表格中的数据，可得年龄低于40岁的人数为人，其中有意向购买的人数为人，

年龄不低于40岁的人数为人，其中有意向购买的人数为人，

可得的列联表，如下表所示：

可得，

所以有的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关．

（2）解：表格中的数据，可得年龄在的人数为7人，其中有意向购买的人数为4人，无意向购买的人数为3人，

从被调查人群中随机选出3人，打算购买冰墩墩的人数可能取值为，

可得，

，

则随机变量的分布列为：

所以期望为．

19．（12分）如图所示，已知四棱锥中，底面是矩形，平面底面且，为中点，点P在平面ABCD上的投影在线段AD上．

（1）求证：；

（2）若与底面所成角的正切值为，求二面角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）平面平面，且交线为，

四边形是矩形，，所以平面，

而平面，所以．

因为，为中点，所以，

由于，所以平面，

由于平面，所以．

（2）如图，作，垂足为，连接．

因为平面平面，且交线为，所以平面，

所以与平面所成角为，

所以，解得，

即为的中点．

分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，

设为平面的法向量，则，

则，故可设，

同理可求得是平面的法向量．

设二面角的平面角为，由图可知为锐角，

所以，故，

所以二面角的正弦值为．

20．（12分）直线交抛物线于，两点，过，作抛物线的两条切线，相交于点，点在直线上．

（1）求证：直线恒过定点，并求出点的坐标；

（2）以为圆心的圆交抛物线于四点，求四边形面积的取值范围．

【答案】（1）证明见解析，；（2）．

【解析】（1）设，，，则，，

直线为：，同理直线为：，

把代入直线，得，

∴，都满足直线方程，

则为直线的方程，故直线恒过定点．

（2）如图，设圆的半径为，，，，，

把代入圆：，整理得，

由题意知：关于的一元二次方程有两个不等实根，则，可得．

，

令，由，得，则，

令且，则，

故在上，，递增；在上，，递减，

所以，

又，，故的取值范围是，

综上，的取值范围是．

21．（12分）已知函数，．

（1）若恒成立，求实数a的值；

（2）若，求证：．

【答案】（1）1；（2）证明见解析．

【解析】（1）设，则．

当时，，单调递增，，不满足恒成立；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为．

即，即．

设，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

即，故的解只有，

综上，．

（2）证明：先证当时，恒成立．

令，，所以在上单调递增，

又，所以．

所以要证，即证，

即证，即证．

设，则，

所以在上单调递减，

所以，即原不等式成立，

所以当时，．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）直线l与曲线C交于A，B两点，设点，求的值．

【答案】（1），；（2）5．

【解析】（1）将代入，得，

所以直线l的普通方程为，

由，得，

即，

所以曲线C的直角坐标方程为．

（2）将代入方程，得，

所以，，

由直线参数方程中的几何意义得，

，

所以．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，等价于，解得，

所以此时不等式无解；

当时，等价于，解得，

所以；

当时，等价于，解得，

所以，

综上所述，不等式解集为．

（2）由，得，

当时，恒成立，所以；

当时，恒成立，

因为，

当且仅当时取等号，所以，

综上，的取值范围是．